Triangulierungen

In den vorangegangen Abschnitten haben wir bereits Invarianten gewisser topologischer Räume kennen gelernt, die als Homologie bzw. Kohomologiegruppen bezeichnet wurden. Eine weitere bekannte Invariante ist die Euler-Charakteristik einer Fläche, die zu den historischen Wurzeln der algebraischen Topologie gehört. Eine Möglichkeit, sie sich zu veranschaulichen, ist folgende: Man stelle sich eine endliche, glatte Fläche vor, d.h. eine kompakte, zweidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand. Viele Flächen (eigentlich alle, aber das ist schwer zu beweisen) lassen es zu, dass man sie "trianguliert", d.h. mit einem (nichtentarteten) Gitter aus Dreiecken überzieht. Die Euler-Charakteristik solch einer Triangulierung ist nun die Zahl, die sich aus der bekannten Formel \chi=e-k+f ergibt, wobei e die Anzahl der Knotenpunkte, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Flächen in unserer Triangulierung ist. Man kann zeigen, dass die Eulercharakteristik nicht von der gewählten Triangulierung, sondern nur von der Geometrie der Fläche abhängt. So hat z.B. die Kugeloberfläche die Eulercharakteristik 2, die Oberfläche eines Torus jedoch 0. Die Eulercharakteristik ist eine Homöomorphie-Invariante, denn ein Homöomorphismus zwischen zwei Flächen überführt eine Triangulierung der einen Fläche in eine Triangulierung der anderen und beide haben dieselbe Euler-Charakteristik. In der Tat stellt sich mit der entsprechenden Maschinerie in der Hinterhand heraus, dass sie, wie die vorangegangenen Beispiele ebenfalls, sogar eine Homotopie-Invariante der Fläche ist. Hat man also eine Methode zur Berechnung dieser Euler-Charakteristiken zur Hand, kann man sie ggf. nutzen, um zwei Flächen topologisch zu unterscheiden. Euler-Charakteristiken treten nicht nur in der Topologie auf. Sie sind mit geeigneten Methoden für sehr allgemeine Räume definierbar, die teilweise gar nicht mehr unbedingt topologische Räume sein müssen. So führt der Versuch, die Idee der Triangulierungen ins Höherdimensionale zu verallgemeinern, sehr schnell zum Konzept des Simplizialkomplexes. Dabei werden die Punkte, Kanten und Dreiecke aus obigen Vorgehen durch Simplizes verschiedener Dimensionen ersetzt. Was ein Simplex dabei genau ist, hängt von der Sichtweise auf dieses Konzept ab. Geometrisch mag man sich unter einem n-Simplex eine homöomorphe Kopie des Standard n-Simplex \Delta_n:=menge((x_0, ..., x_n)\in\IR^(n+1) | x_i>=0, x_0+x_1+...+x_n=1) vorstellen. Für topologische Räume, die sich auf eine gutartige Weise aus endlich vielen Simplizes zusammensetzen lassen, lässt sich nun ebenfalls die Euler-Charakteristik definieren. Für triangulierbare Flächen kommt wieder die obige Definition heraus. Da man auf Simplizialkomplexe nicht nur geometrisch schauen kann, das Konzept im Gegenteil viel allgemeiner anwendbar ist, etwa in der Kombinatorik, lassen sich so Mittel der algebraischen Topologie auf auf andere Bereiche der Mathematik anwenden. So ist etwa die Eulersche Polyeder-Formel e-k+f=2, die für planare Graphen gilt, bei geeigneter Sichtweise nur eine Umformulierung der topologischen Tatsache, dass die Euler-Charakteristik der Sphäre gleich 2 ist. Gewissen Objekten der diskreten Mathematik wie partiellen Ordnungen lassen sich auf kanonische Weise Simplizialkomplexe zuordnen. Hinreichend verallgemeinert tritt das Konzept z.B. auch in der Kategorientheorie auf.