Der Abbildungsgrad

Ein sehr mächtiges Konzept, das sich an der Grenzschicht zwischen Analysis und algebraischer Topologie befindet, ist der Abbildungsgrad. Das Grundkonzept dabei ist es, einer stetigen Funktion f: U^-\to\IR^n eine ganze Zahl d(f,U) zuzuordnen, die in gewisser Weise die Nullstellen von f mit geeigneten Vielfachheiten und Vorzeichen zählt. Dabei soll U eine beschränkte, offene Menge sein und f auf dem Rand von U nirgendwo verschwinden. Die Menge aller solchen Funktionen f nennen wir vorerst C_0(U^-). Es gibt nun viele verschiedene Möglichkeiten, dieses d konkret anzugeben, die alle mehr oder minder technisch sind. Wir beschränken uns auf eine axiomatische Behandlung und betrachten folgende Axiome für solch eine Abbildung d: \ll(1)Wenn 0\in\ U, dann ist d(id_array(U^-),U)=1 \ll(2)Wenn U\supseteq\ V_1\union\ V_2 mit disjunkten, offenen Mengen V_1 und V_2, sodass f^(-1)(0)\subseteq\ V_1\union\ V_2 ist, dann gilt d(f,U)=d(f,V_1)+d(f,V_2) \ll(3)Wenn h_t: U^-\to\IR^n eine Homotopie mit h_t(x)!=0 für alle t und alle x\in\partial||U ist, dann gilt d(h_0,U)=d(h_1,U). Man kann zeigen, dass es genau eine Abbildung d gibt, die diese Axiome erfüllt. Sie heißt array(\(Brouwer'scher\) Abbildungsgrad)____. Der Abbildungsgrad hat nun eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften. So gilt etwa: \ll(4)Ist d(f,U)!=0, so enthält f(U) eine Nullumgebung. Insbesondere ist damit die Gleichung f(x)=0 lösbar! Die Theorie des Abbildungsgrades findet mit diesem Satz bemerkenswerte Anwendungen etwa in der Theorie der Differentialgleichungen, wo damit diverse Existenzsätze gefolgert werden können. Diverse Verallgemeinerungen des Konzeptes auf unendlichdimensionale Settings \(etwa der Leray\-Schauder\-Grad\) spielen hier ebenfalls bedeutsame Rollen. Weiter lässt sich der Abbildungsgrad für eine große Klasse von Funktionen sehr einfach berechnen, indem man die folgenden beiden Eigenschaften ausnutzt: \ll(5)Ist V\subseteq\ U offen und f^(-1)(0)\subseteq\ V, so gilt d(f,U)=d(f,V). \ll(6)Ist f:U\to\IR^n stetig diffbar und a\in\ U eine reguläre Nullstelle von f, d.h. det$f'(a)!=0, dann gibt es einen kleinen Ball V\subseteq\ U um a, sodass a die einzige Nullstelle von f in V ist. Dann gilt d(f,V)=sgn$det(f'(a)). Beides zusammen erlaubt etwa die einfache Berechnung von d(f,U), falls 0 ein regulärer Wert von f ist, d.h. falls alle Nullstellen regulär sind. Dann kann sich auf kleine Umgebungen der Nullstellenmenge beschränken nach (5). Ist diese Umgebung klein genug gewählt, zerfällt sie in offene Mengen, die jeweils nur noch eine einzige Nullstelle enthalten. In jeder dieser Mengen kann man mit (6) den Abbildungsgrad berechnen. Der Gesamtgrad d(f,U) ergibt sich nach (2) durch Addition. Zusammen mit der Homotopie\-Invarianz des Abbildungsgrades \(Eigenschaft (3)\) wird so die Berechnung deutlich vereinfacht, weil man oft in der Lage ist, durch eine leichte Deformation der Funktion eine homotope Abbildung zu erhalten, die C^1 ist und 0 als regulären Wert hat und so eine einfache Berechung des Abbildungsgrades erlaubt. Weitere Anwendungen der Eigenschaften des Abbildungsgrades sind klassische Aussagen der algebraischen Topologie wie etwa die Invarianz der Dimension, der Satz über die Gebietstreue und der Brouwersche Fixpunktsatz: Sätze wie diese, die bereits Brouwer bekannt waren, und viele weitere, die sich mit Hilfe des Abbildungsgrades beweisen lassen, haben wesentlich zur Entwicklung der algebraischen Topologie beigetragen und zeigen, wie man mächtige Resultate mit den Mitteln der algebraischen Topologie gewinnen kann, solange man sich nur auf die etwas aufwändige Vorarbeit einlässt, die dafür zu leisten ist. Den Satz von der Invarianz der Dimension und den Brouwerschen Fixpunktsatz werden wir im Laufe der folgenden Artikel auch noch beweisen, allerdings mit homologischen Methoden und nicht mit Hilfe des Abbildungsgrades.