Homologie von Sphären

Eine sehr direkte Folgerung aus den Axiomen ist: Der Beweis schreibt sich von selbst. Wenn (X,A) homotopieäquivalent zu (Y,B) ist, dann gibt es stetige Abbildungen f:(X,A)\to(Y,B) und g:(Y,B)\to(X,A) mit f\circ\ g~-id_(X,A) und g\circ\ f~-id_(Y,B). Da die Homologie nun ein Funktor ist und homotope Abbildungen nicht unterscheidet, gilt: f_\*\circ\ g_\*=\(f\circ\ g\)_\*=\(id_(X,A)\.\)_\*=id_array(H_\*(X,A)) und ebenso g_\*\circ\ f_\*=id_array(H_\*(Y,B)) Also sind f_\* und g_\* zueinander inverse Isomorphismen zwischen den Homologien. \blue\ q.e.d. Eine einfache und beliebte Möglichkeit, dieses Lemma anzuwenden, sind Deformationsretrakte: Die Definition beschreibt ein sehr anschauliches Konzept: Y ist Deformationsretrakt von X, wenn man X stetig auf Y "deformieren" kann. Diese "Deformation" ist dabei durch die Homotopie f_t gegeben, die abhängig vom "Zeit"parameter t beschreibt, wie sich X Stück für Stück in Y deformiert. Man kann zeigen, dass zwei topologische Räume X und Y genau dann homotopieäquivalent gibt, wenn es einen gemeinsamen Oberraum Z gibt, von dem sowohl X als auch Y ein Deformationsretrakt ist. \(siehe z.B. Hatcher für einen Beweis\) In der Situation der Definition sind (X,A) und (Y,A) für alle A\subseteq\ Y homotopieäquivalent. Als Homotopieäquivalenz kann man die Inklusion i:(Y,A)\hookrightarrow(X,A) bzw. f_1: (X,A)\to(Y,A) nehmen. Aus der Definition ergibt sich dann f_1\circ\ i=id_(Y,A) und i\circ\ f_1=f_1~-f_0=id_(X,A) wie gewünscht. Wir werden vor allem die Information H_\*(X,A)=H_\*(Y,A) benutzen. Beispiele: \ll(1)Sei X\subseteq\IR^n sternförmig bzgl. a\in\ X \(z.B. X konvex und a beliebig\). Dann ist menge(a) ein Deformationsretrakt von X. Die Homotopie ist durch f_t(x):=ta+(1-t)x gegeben. \ll()X hat also insbesondere die Homologie des Einpunktraums für alle n. Das ist ein bisschen ernüchternd, da wir ja gehofft hatten, mit Hilfe der Homologie Sätze wie den über die Invarianz der Dimension beweisen zu können. Die Homologie von \IR^n alleine bringt uns aber erstmal nicht weiter. Es hilft jedoch ein Trick: \ll(2)(x,t)\mapsto\ f_t(x):=norm(x)^(-t)*x ist eine Deformationsretraktion \IR^n\.\\\{0\}\to S^(n-1). \ll()Das wird uns den Satz über die Invarianz der Dimension beweisen helfen, denn die Homologien von S^n können wir wirklich zur Unterscheidung dieser Räume heranziehen. \blue\ Beweis: Wir zeigen die Aussage per Induktion nach n. Für n=0 ist S^0=\{\+1\}\union\{\-1\}, d.h. eine disjunkte Vereinigung von Einpunkträumen. Die endliche Additivität liefert H_k(S^0,P)=H_k(menge(\+1)\union\ menge(\-1),menge(\+1)) | | =H_k(menge(\+1),menge(\+1))\oplus\ H_k(menge(\-1),\emptyset) | | =0\oplus\ H_k(menge(\-1)) Das Dimensionsaxiom besagt gerade, dass H_k(menge(-1))=R genau für k=0 ist und sonst 0. Das zeigt unsere Behauptung für n=0. Wir betrachten für den Induktionsschritt eine Zerlegung von S^n: A:=menge((x_0, ...,x_n)\in\ S^n | x_n>-1)=S^n \\ menge((0,0,...,0,\-1)) B:=menge((x_0, ...,x_n)\in\ S^n | x_n<+1)=S^n \\ menge((0,0,...,0,\+1)) A und B sind offene Teilmengen von S^n mit S^n=A\union B. Der Durchschnitt A\cut\ B=menge(x | -1 Sei n\in\IN beliebig. D^n sei die abgeschlossene Kreisscheibe menge(x\in\IR^n | norm(x)<=1). Es gilt für alle p\in\ S^n und k\in\IN: H_(k+1)(D^(n+1),S^n)~=H_k(S^n,menge(p))=cases(R,k=n;0,sonst)