Invarianz der Dimension

Jetzt haben wir das nötige Werkzeug, um den Satz über die Invarianz der Dimension beweisen zu können: \blue\ Beweis: "<==" ist klar. Sei also für die Umkehrung f:\IR^n\to\IR^m ein Homöomorphismus. Indem wir f ggf. durch f-f(0) ersetzen, können wir f(0)=0 annehmen. Sei dann 0!=a\in\IR^n beliebig, aber fest und b:=f(a)\in\IR^m. Wegen der Bijektivität ist dann b!=0. Indem wir ggf. nochmal reskalieren, nehmen wir außerdem norm(a)=norm(b)=1 an. f induziert nun einen Homöomorphismus (\IR^n \\ menge(0), menge(a))\to(\IR^m \\ menge(0), menge(b)). Aufgrund der Funktorialität der Homologie wird das zu einem Isomorphismus f_\*: H_\*(\IR^n \\ menge(0),menge(a)) \to H_\*(\IR^m \\ menge(0),menge(b)) Da S^(n-1) ein Deformationsretrakt von \IR^n \\ menge(0) ist, ergibt das einen Isomorphismus H_\*(S^(n-1),menge(a)) \to H_\*(S^(m-1),menge(b)) Nun ist H_k(S^(n-1),menge(a)) genau dann ungleich 0, wenn k=n-1, und H_k(S^(m-1),menge(b)) genau dann ungleich 0, wenn k=m-1. Da beide Homologien isomorph sind, muss also n-1=m-1, d.h. n=m sein. \blue\ q.e.d. Wir können den Satz noch etwas verschärfen, indem wir eine Variante für alle offenen Mengen beweisen. Dazu brauchen wir folgendes Lemma: \blue\ Beweis: Das folgt sofort aus dem Ausschneidungsaxiom, denn es gilt U=X \\ (X\\U), U \\ menge(x) = (X \\ menge(x)) \\ (X\\U) und X\\U^-=X\\U^opimg(\circ)\subseteq\ X \\ menge(x)=X \\ menge(x)^- = (X \\ menge(x))^opimg(\circ). \blue\ q.e.d. Die Gruppen H_\*(X,X \\ menge(x)) heißen auch manchmal array(lokale Homologiegruppen)____ von x. Wir werden sie nutzen, um den allgemeinen Satz von der Invarianz der Dimension zu beweisen: \blue\ Beweis: Ist f:N\to\ M ein Homöomorphismus, so induziert f für alle x\in\ N einen Isomorphismus \lr(1)f_\*: H_\*(N,N\\\{x\})\to\ H_\*(M,M\\\{f(x)\}) \(man beachte: N und M sind Hausdorff, d.h. alle Einpunktmengen sind abgeschlossen\) Da N eine Mannigfaltigkeit ist, gibt es eine Umgebung U von x, die zu D^n homöomorph ist. Wir untersuchen die Homologiegruppen \lr(2)H_\*(X,X\\\{x\})~=H_\*(U,U\\\{x\})~=H_\*(D^n,D^n\.\\\{0\}) genauer. Die Abbildung h_t(x):=norm(x)^(-t)*x ist ein Deformationsretrakt D^n\.\\\{0\}\to\ S^(n-1), es gilt also H_\*(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))~=H_\*(S^(n-1),S^(n-1))=0. Wenn wir nun die lange, exakte Sequenz des Tripels (S^(n-1), D^n\.\\\{0\}, D^n) betrachten, erhalten wir: \cdots\to H_k(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))\to\ H_k(D^n,S^(n-1))\to\ H_k(D^n,D^n\.\\\{0\})\to\ H_(k-1)(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))\to\cdots was wegen H_\*(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))=0 bedeutet, dass \lr(3)H_k(D^n, S^(n-1))\to\ H_k(D^n,D^n\.\\\{0\}) ein Isomorphismus ist. Wenn wir alle Isomorphismen, die wir bisher hatten, zusammensetzen, erhalten wir: H_k(D^n,S^(n-1))~=H_k(D^n,D^n\.\\\{0\}) | | wegen \ref(3) | | \void~=H_k(N,N\\\{x\}) | | wegen \ref(2) | | \void~=H_k(M,M\\\{f(x)\}) | | wegen \ref(1) | | \void~=H_k(D^m,D^m\.\\\{0\}) | | wegen \ref(2) | | \void~=H_k(D^m,S^(m-1)) | | wegen \ref(3) Die Homologien H_k(D^n,S^(n-1)) kennen wir aber. Sie sind genau dann ungleich 0, wenn k=n ist. Wegen der Isomorphie muss also n=m sein. \blue\ q.e.d.