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Neuer Abschnitt in Lösungen der Gleichung
\ Das Integral: int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) lässt sich jetzt durch partielle Integration lösen. Es gilt int(f * g') = f*g - int(f' * g) Hier mit f = u und g' = u * exp(-u^2) Dann haben wir f' = 1 und g = - 1/2 * exp(-u^2) uns somit: int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) = = stammf(-1/2 u exp(-u^2),-\inf,\inf) + 1/2 int(exp(-u^2),u,-\inf,\inf) stammf(-1/2 u exp(-u^2),-\inf,\inf) = 0 (Wie man durch berechnen der Grenzwerte sieht) int(exp(-u^2),u,-\inf,\inf) = sqrt(\pi) Wie dieses Integral zu lösen ist, findet ihr in folgendem Link. Somit ist: \ll(4) int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) = sqrt(\pi)/2 Die Berechnung des oben angegebenen Integrals findet ihr hier. \ Mit Gleichungen (3) und (4) erhalten wir: x_(rms)^2=(4 D * t)/( sqrt(\pi)) * int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) =(4 D * t)/( sqrt(\pi)) * sqrt(\pi)/2 = 2 D t Und somit erhalten wir für das mittlere Verschiebungsquadrat: \ll(5) x_(rms) = sqrt(2 D t) Wenn man die Gleichungen für die mehrdimensionalen Analogen lösen würde, würde man hier Werte von 4 bzw. 6 anstelle von 2 bekommen.
 
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