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Vorschau:
So schwierig kann es sein.
\color{red} \large{ \textbf{ So schwer kann es sein, eine Diophantische Gleichung zu lösen:}} Wir nehmen dafür die Gleichung \binom{y}{k} = \binom{x}{l} \textbf{ mit } 1 Sie vollständig zu lösen ist viel zu schwer, deshalb nehmen wir für k und l Konstanten. Die Fälle (k,l) \in \{ (2,3),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(4,6) \} sind bereits mit tiefer Mathematik gelöst worden. Wir betrachten den Fall \Huge{ (k,l)=(2,5) }: \binom{y}{2} = \binom{x}{5} \Leftrightarrow 60 y (y-1) = x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) \textbf{ (2) } Zuerst suchen wir nach Lösungen von (2). Schnell finden wir die Lösungen mit: x=0,1,2,3,4,5,6,7,15 und 19. Aber: Sind das die einzigen? Wir merken, dass offensichtlicherweise x größer als 0 ist. \color{red}\large{\textbf{ Theorem 2 (Siegel).}\color{red} \color{orange}\text{Sei F ein irreduzibles Polynom in zwei Variablen } x \text{ und } y \text{ mit ganzzahligen Koeffizienten. Wenn die Lösungen von } F(x,y)=0 \text{ nicht rational parametrisiert werden können, dann hat die Gleichung nur endlich viele ganzzahlige Lösungen. } Das führt uns nicht viel weiter, aber daraus resultiert |x| < 10^{10^{10^{10^{600}}}}. Das wurde mit der Zeit zu |x| < 10^{10^{600}}. Nun betrachten wir das Problem aus einem anderen Blickwinkel: Wir werden nun unser auf den ersten Blick algebraisches Problem in ein geometrisches verwandeln. Eine Gleichung F(x,y)=0 in zwei Variablen definiert eine Teilmenge der Ebene, die aus den Punkten besteht, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Bezeichnen wir die zu (2) gehörende ebene algebraische Kurve mit C. Die Menge der ganzzahligen Punkte auf C wird mit C(\mathbb Z) bezeichnet. Sei J die Jacobi-Varietät von C, also ist J(\mathbb Z) eine abelsche Gruppe und es gilt: \color{red} \large{ \textbf{ Theorem 3 (Weil).}} \color{orange} \text{ Wenn } J \text{ die Jacobi-Varietät einer Kurve ist, dann ist die abelsche Gruppe } J (\mathbb Z) \text{ endlich erzeugt. } Man kann zeigen, dass J(\mathbb Z) eine freie abelsche Gruppe vom Rang 6 ist: J(\mathbb Z) = \sum_{i=1}^6 \mathbb Z P_i \text{ mit explizit genannten Punkten } P_1, \dotsc , P_6 \in J(\mathbb Z) Sei \iota \colon C \to J die Einbettung von C in J. J befindet sich in einem hoch-dimensionalen Raum; ganzzahlige Punkte sind durch eine Anzahl von Koordinaten gegeben. Wenn wir den Logarithmus des Absolutbetrages der Koordinaten nehmen, erhalten wir die "Größe" eines solchen Punktes. Das ergibt eine Funktion h \colon J(\mathbb Z) \to \mathbb R_{\geq 0}, die Höhe. Sie besitzt die folgenden interessanten Eigenschaften:
  • h( \iota(x,y)) \approx \log |x| \text{ für Punkte } (x,y) \in C(\mathbb Z) \text{, falls } x \text{ nicht sehr klein ist. } \textbf{ (6)}
  • h( \sum_{i=0}^6 n_i P_i ) \approx \sum_{i=1}^6 n_i^2 \textbf{ (7)}
Mit |x|<10^{10^{600}}, (6) und (7) kommt man dann auf: \color{red} \large{ \textbf{ Lemma 1.}} \color{orange} \text{ Wenn } (x,y) \in C(\mathbb Z) \text{ ist, dann haben wir } \iota(x,y) = \sum_{i=1}^6 n_i P_i \text{ mit } n_j \in \mathbb Z \text{ für die } |n_j| < 10^{300} \text{ gilt.} Wir haben jetzt einen enormen Heuhaufen H := \{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6 \in \mathbb Z^6 : |n_j| < 10^{300} \}. Die Nadeln suchen wir nicht, indem wir jeden Strohhalm rausnehmen und gucken, ob sich dahinter eine Nadel verbirgt, sondern wir decken ganz große Bereiche auf einmal ab: Unsere Objekte J, C und \iota \text{ sind über } \mathbb Z definiert. Also können wir die definierenden Gleichungen modulo p nehmen, wobei p eine Primzahl ist. Bezeichnen wir den Körper \mathbb Z /p \mathbb Z mit p Elementen als \mathbb F_p. Die Menge der Koordinaten aus \mathbb F_p, die die definierenden Gleichungen erfüllen mod p erfüllen bezeichnen wir mit C(\mathbb F_p) \text{ und } J( \mathbb F_p). Nun ist für endlich viele p (die Ausnahmen können explizit angegeben werden) J(\mathbb F_p) wieder eine abelsche Gruppe, und sie enthält das Bild \iota( C(\mathbb F_p)) von C(\mathbb F_p). Weiterhin kommutiert das folgende Diagramm, und die geometrische Gruppenstruktur impliziert, dass die rechte senkrechte Abbildung ein Gruppenhomomorphimus ist: \begin{xy} \xymatrix{ C(\mathbb Z) \ar[r]^{\iota} \ar[d] & J(\mathbb Z) \ar[d] \ar@{=}[r] & \mathbb \mathbb{Z}^6 \ar[dl]^{\alpha_p} \\ C(\mathbb F_p) \ar[r]_{\iota_p} & J(\mathbb F_p) } \end{xy} Die senkrechten Abbildungen erhält man durch das Reduzieren der Koordinaten mod p. Die diagonale Abbildung \alpha_p ist wieder ein Gruppenhomomorphismus, der durch das Bild der Erzeuger P_1,...,P_6 von J(\mathbb Z) festgelegt ist. Nun ist das Folgende klar: \Large{ \color{red} \textbf{ Lemma 2.}} \color{orange} \text{ Seien }(x,y) \in C(\mathbb Z) \text{ und }n_1,...,n_6 \in \mathbb Z \text{ mit } \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \iota(x,y)=\sum_{i=1}^6 n_i P_i \\ \\ \text{ Dann ist} \\ \\ \alpha(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6) \in \iota(C(\mathbb F_p)). Die Teilmenge \Lambda_p = \alpha_p^{-1} ( \iota_p (C (\mathbb F_p))) \subseteq \mathbb{Z}^6 ist (normalerweise, wenn \alpha_p surjektiv ist) eine Vereinigung von | ( \mathbb F_p)| Nebenklassen einer Untergruppe vom Index | J(\mathbb F_p) | \text{ in } \mathbb Z^6. Da man zeigen kann, dass | C(\mathbb F_p) | \approx p \text{ und } | J(\mathbb F_p)| \approx p^2 (hier zeigen sich die Dimensionen 1 und 2), sehen wir, dass die Schnittmenge unseres Heuhaufens H mit \Lambda_p nur ungefähr \frac{1}{p} mal so viele Elemente hat wie der ursprüngliche Heuhaufen. Das hilft uns noch nicht viel, aber wir können versuchen, die Einschränkungen vieler Primzahlen zu kombinieren. Wenn S eine (endliche, aber große) Menge von Primzahlen ist, dann setzen wir \Lambda_S = \bigcap_{ p \in S } \Lambda_p und erhalten \iota(C (\mathbb Z)) \subset \Lambda_S \cap H. Wenn wir S genügend groß konstruieren, (ca. 1.000 Primzahlen), dann ist es sehr warscheinlich, dass die Menge auf der rechten Seite ziemlich klein ist, also können wir leicht die verbleibenden Möglichkeiten überprüfen. \color{red} \large{ \textbf{Theorem 4 (Bugeaud, Mignotte, Siksek, Stoll, Tengely).} Seien x,\,y ganze Zahlen, die die Gleichung \binom{y}{2} = \binom{x}{5} erfüllen. Dann ist x \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,15,19\}. So aufwändig wurde also die Gleichung gelöst! So kompliziert!
 
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