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Konstruktion der Pseudosphäre
5. Die Konstruktion der Pseudosphäre Wegen der Eigenschaft, an jedem Punkt die gleiche, aber negative Krümmung zu haben, gab Beltrami diesem Modell den Namen Pseudosphäre, was soviel heißt wie "scheinbare Kugel" oder "Anscheinkugel". Die Differentialgleichung x'' = \lambda^2 \cdot x läßt sofort an die hyperbolischen Funktionen denken, doch Vorsicht: deren Ableitungen sind unbeschränkt. Eine Lösung mit beschränkter Ableitung ist x(u) = A \cdot \exp(-\lambda \cdot u), wobei wieder A = \frac{1}{\lambda} gewählt wird. Für z(u) ergibt sich die Differentialgleichung \begin{aligned} z'(u) &= \sqrt{1-\left(x'\right)^2} \\ &= \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2\cdot \lambda \cdot u}} \\ &= \sqrt{1-\left(\lambda \cdot x(u)\right)^2}. \end{aligned} Diese Differentialgleichung kann nicht (oder nur ausgesprochen schwierig) in geschlossener Form gelöst werden, aber schließlich geht es hier nur um die Parameterabhängigkeit von z. Abstrahiert man von der konkreten Durchlaufung der Kurve, indem man direkt z von x abhängig macht, so ergibt sich \displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{z'}{x'} = \frac{\sqrt{1-\lambda^2 \cdot x^2}}{x'} = -\frac{\sqrt{1-\lambda^2 \cdot x^2}}{\lambda \cdot x} = -\frac{\sqrt{\frac{1}{\lambda^2}-x^2}}{x}. Die Lösung dieser Gleichung ist bekannt: es ist genau die Gleichung, die man auch aufzustellen hat für das Problem, die Kurve zu finden, welche ein Hund beschreibt, der sich, soweit es die Hundeleine erlaubt, abseits einer geraden Straße aufhält, von seinem Herrchen an der Leine mit konstanter Länge l = \frac{1}{\lambda} die Straße entlang mitgezerrt wird und dabei seine Eigengeschwindigkeit zu minimieren sucht. Diese Bahn y(x) ist dadurch charakterisiert, daß die Tangentensteigung dem negativen Kathetenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck entspricht, wenn die Hypotenuse die Länge der Leine und die senkrechte Kathete die Entfernung des Hundes von der waagerechten Straße ist: y' = -\frac{y}{\sqrt{l^2-y^2}} Da diese Differentialgleichung ebenfalls keiner geschlossenen Lösung fähig ist, erinnern wir uns an den kleinen Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion aus meinem Artikel "Brachistochrone revisited" und bestimmen statt dessen die Umkehrfunktion aus der Gleichung z' = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, welche also nicht nur die Traktrix (Schleppkurve oder auch "Hundekurve") beschreibt, sondern auch die erzeugende Kurve der Pseudosphäre im Fall \lambda = 1. Ist \lambda \neq 1, so ergibt sich eine geometrisch ähnliche Kurve als Lösung, die um den Faktor \frac{1}{\lambda} am Ursprung zentrisch gestreckt ist. Wir wissen schon jetzt: \fbox{\parbox{12.3cm}{\[\mathsf{\, Die \;\, Pseudosphäre \;\, entsteht \;\, durch \;\, eine \;\, Rotation \;\, der \;\, Traktrix \;\, um \;\, ihre \;\, Asymptote.}\] }} \bigskip Nun aber muß noch der exakte Term für die erzeugende Kurve integriert werden. Dazu braucht man eine Stammfunktion von w(x) = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}. Ich wähle auch dazu einen ausgefallenen Weg, nämlich indem ich die Umkehrfunktion x(w) = \frac{1}{\sqrt{w^2+1}} integriere, von der man die Stammfunktion kennt: es ist \displaystyle \int \frac{dw}{\sqrt{w^2+1}} = \mathrm{arsinh}(w) = \ln(w+\sqrt{1+w^2}).
Bild 2: Zur Berechnung der Stammfunktion von f über die Umkehrfunktion f^{-1}. Für monoton fallende Funktionen gilt \begin{aligned} \int_a^b f(x) \, dx \, &= \, \int_{f(b)}^{f(a)} f^{-1}(x) \, dx - (f(a)-f(b)) \cdot a + f(b) \cdot (b-a) \\ &= \left[x \cdot f(x)\right]_a^b-\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) \, dx \, , \end{aligned} was genauso auch für monoton wachsende Funktionen gilt. (Irgendwann schreibe ich mal ein Buch mit dem Titel "Inverse Functionology", wo dann alle meine Tricksereien mit Umkehrfunktionen drinstehen. ;-) ) Nun denn: \begin{aligned} \int_a^b &-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \, dx \, = \, -\int_a^b \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \, dx \\ &= \int_{\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}}^{\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} - \left[x \cdot \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right]_a^b \\ &= \ln\left(\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}+\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}\right)^2}\right)-\ln\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}+\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}\right)^2}\right) \\ &-\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2} \\ &= \ln\left(\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}+\frac{1}{b}\right)-\sqrt{1-b^2} -\left(\ln\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}+\frac{1}{a}\right)-\sqrt{1-a^2}\right) \\ &= \left[\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}\right]_a^b. \end{aligned} Somit lautet die Gleichung für die erzeugende Kurve der Pseudosphäre \displaystyle z(x) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) - \sqrt{1-x^2} + C.
Bild 3: Die Bahn des geschleppten Hundes (Traktrix) ist identisch mit der erzeugenden Kurve der Pseudosphäre. Man kann sie auch an der waagerechten Ebene spiegeln oder in z-Richtung um C verschieben, wodurch sich, wie man sich leicht überlegt, an der Krümmungseigenschaft nichts ändert. Dadurch erhält man ein Traktrikoid mit zwei Hörnern. Daher hat die Pseudosphäre den alternativen Namen "Traktrikoid". Spiegelt man dieses an der waagerechten Ebene, so geht dadurch die z-Koordinate in -z über, was sich auch auf die Parameterableitungen z_u, z_v überträgt. Das wirkt sich wie folgt auf die Tangenten-und Normalenvektoren aus: Skalarprodukte und Beträge bleiben alle erhalten, somit auch die Koeffizienten der ersten Fundamentalform und deren Diskriminante. In Vektorprodukten wie dem Normalenvektor ändern sich die x- und die y-Koordinate, doch ihre Beträge sind ebenfalls erhalten. Bei Spatprodukten wie den Koeffizienten der zweiten Fundamentalform trifft eine zweite Ableitung mit geänderter z-Koordinate auf ein Vektorprodukt mit geänderten x- und y-Koordinaten, was im Produkt als Ganzem das Vorzeichen umdreht. Doch da in die Diskriminante der zweiten Fundamentalform diese Koeffizienten nur paarweise multipliziert bzw. quadriert eingehen, wirkt sich dies nicht auf K aus. Somit hat der an der waagerechten Ebene gespiegelte Rotationskörper die gleiche Krümmung wie das Original und man kann beide zum zweigehörnten Traktrikoid zusammenfassen. Man beachte dabei aber, daß die Gaußsche Krümmung auf dem Rand undefiniert ist, da für z = 0 die Differenzierbarkeit nach dem Parameter u verlorengeht: Beim Übergang wechselt das Vorzeichen des Tangentenvektors, während der Betrag 1 bleibt. Bevor die Eigenschaft der Pseudosphäre, in jedem Punkt gleiche Gaußsche Krümmung zu besitzen, erkannt wurde, hatte sich mit diesem unendlich ausgedehnten Körper bereits Christiaan Huygens beschäftigt und dabei herausgefunden, daß Oberfläche und Volumen des Traktrikoids endlich sind. (Das ist keine Selbstverständlichkeit, wenn man an Torricellis Trompete denkt, bei der das Volumen endlich, die Oberfläche hingegen unendlich ist.) Wenn man es genau ausrechnet (ich habe das nicht gemacht), so erhält man für die Oberfläche des Traktrikoids 4 \cdot \pi \cdot R^2, was genau der Oberfläche einer Kugel mit gleichem Radius entspricht, und für ihr Volumen \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R^3, was genau der Hälfte des Volumens einer Kugel mit gleichem Radius entspricht.
Bild 4: Die Pseudosphäre ist die Rotationsfigur einer Traktrix. In dieser Darstellung hat sie zwei Hörner, die von z = -\infty bis z = +\infty reichen. Quellen: Herbert Meschkowski, Handbuch über die Mathematik, Bibliographisches Institut Mannheim 1967 Guido Walz et al., Lexikon der Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2000 Wikibook zur Differentialgeometrie
 
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