Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Symmetrische Gruppen

Inhalt

1. Automorphismengruppen 2. Produkte 3. Kommutierende direkte Summen 4. Differenzkerne 5. Hom-Mengen 6. Erzeugte Untergruppen 7. Elementordnungen 8. Kommutatoren und Abelisierung 9. Das Signum 10. Bemerkungen zur Didaktik Grundlage ist Teil eins.

1. Automorphismengruppen

Eines der fundamentalsten Beispiele für Gruppen ist das folgende: Die symmetrische Gruppe. Es sei X eine Menge. Die Gruppe \mathrm{Sym}(X) besitzt als unterliegende Menge die bijektiven Abbildungen ("Permutationen") \sigma : X \to X. Die Verknüpfung ist die Komposition von bijektiven Abbildungen (die ebenfalls bijektiv ist). Das neutrale Element ist die identische Abbildung \mathrm{id}_X : X \to X. Das inverse Element \sigma^{-1} : X \to X einer bijektiven Abbildung \sigma : X \to X ist die inverse Abbildung. Es ist offensichtlich, dass die Gruppenaxiome erfüllt sind. Beispiel. \mathrm{Sym}(\emptyset) und \mathrm{Sym}(\{1\}) sind triviale Gruppen. Die Gruppe \mathrm{Sym}(\{1,2\}) hat lediglich zwei Elemente, die Identität und die Vertauschung (1 \leftrightarrow 2) (d.h. die Permutation, die 1 auf 2 und 2 auf 1 abbildet). Die Gruppe \mathrm{Sym}(\{1,2,3\}) besitzt sechs Elemente: Die Identität \mathrm{id}=1, drei Vertauschungen von zwei Elementen (bei denen jeweils das dritte festgelassen wird) \tau_1=(2 \leftrightarrow 3), \tau_2=(1 \leftrightarrow 3), \tau_3 = (1 \leftrightarrow 2), sowie die beiden Permutationen \sigma_1=(1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1) und \sigma_2 =(1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1) = \sigma_1^{-1}. Hier eine graphische Veranschaulichung dieser Permutationen: \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@(dr,dl)[] & \\ 2 \ar@(r,u)[] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\mathrm{id}} && 3 \ar@(l,u)[] } ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/_1pc/[dl] & \\ 2 \ar@/_1pc/[rr] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\sigma_1} && 3 \ar@/_1pc/[ul]} ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/^1pc/[dr] & \\ 2 \ar@/^1pc/[ur] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\sigma_2} && 3 \ar@/^1pc/[ll]} \\ \bigskip \\ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@(dr,dl)[] & \\ 2 \ar@/_1pc/[rr] \ar@{}@<3ex>[rr]^{\tau_1} && 3 \ar@/_1pc/[ll] } ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/^1pc/[dr] & \\ 2 \ar@(r,u)[] \ar@{}@<2ex>[rr]^{\tau_2~~~} && 3 \ar@/^1pc/[ul]} ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/^1pc/[dl] & \\ 2 \ar@/^1pc/[ur] \ar@{}@<2ex>[rr]^{~~~\tau_3} && 3 \ar@(l,u)[] } Die Gruppe ist nicht kommutativ, denn man erkennt \tau_1 \circ \sigma_1 = \tau_2 und \sigma_1 \circ \tau_1 = \tau_3. Ordnung der symmetrischen Gruppe. Es sei X eine endliche Menge mit n Elementen. Dann ist die Ordnung von \mathrm{Sym}(X) gleich n!. Beweis. Sei X=\{x_1,\dotsc,x_n\}. Eine Permutation von X ist dasselbe wie eine injektive Abbildung X \to X. Diese kann man abzählen: Für das Bild von x_1 gibt es n Möglichkeiten, für das Bild von x_2 gibt es dann nur noch n-1 Möglichkeiten, für das Bild von x_3 dann nur noch n-2 Möglichkeiten, etc., bis es für das Bild von x_n nur noch eine Möglichkeit gibt. Insgesamt gibt es also n \cdot (n-1) \cdot \dotsc \cdot 1 = n! mögliche injektive Abbildungen X \to X. QED Fortsetzen von Permutationen. Es sei T eine Teilmenge von X. Dann gibt es einen ausgezeichneten injektiven Homomorphismus i : \mathrm{Sym}(T) \to \mathrm{Sym}(X): Er bildet eine Permutation \sigma von T auf die Permutation \tilde{\sigma} von X ab, welche durch \tilde{\sigma}|_T =\sigma und \tilde{\sigma}|_{X \setminus T} := \mathrm{id}_{X \setminus T} definiert ist. Bezüglich i fassen wir stets \mathrm{Sym}(T) (genauer: (\mathrm{Sym}(T),i)) als Untergruppe von \mathrm{Sym}(X) auf. Homomorphismen allgemein. In der Mathematik treten natürlich nicht nur Mengen auf, sondern vor allem Mengen mit Zusatzstrukturen. Zwischen diesen Objekten kann man dann strukturerhaltende Abbildungen bzw. Homomorphismen definieren, insbesondere Isomorphismen als invertierbare Homomorphismen erklären. Wir haben das im ersten Teil für Gruppen beleuchtet. Der Leser kennt sicherlich auch Vektorräume, hier sind die linearen Abbildungen die Homomorphismen. Aber auch Mengen selbst (mit leerer Zusatzstruktur) passen in dieses Bild hinein. Bei metrischen Räumen sind wiederum die metrischen Abbildungen die Homomorphismen. Die Kategorientheorie stellt einen allgemeinen Rahmen für diese Konzepte zur Verfügung. Wir wollen aber bei den vier genannten Beispielen bleiben. Automorphismen. Ein Automorphismus ist ein Isomorphismus eines Objektes in sich selbst. Zum Beispiel ist ein Automorphismus einer Menge X eine bijektive Abbildung X \to X. Ein Automorphismus einer Gruppe G ist ein Isomorphismus von Gruppen G \to G. Ein Automorphismus eines Vektorraumes V ist eine bijektive lineare Abbildung V \to V. Ein Automorphismus eines metrischen Raumes X ist eine bijektive Isometrie X \to X. Automorphismengruppen. In all diesen Beispielen beobachten wir, dass die Automorphismen des Objektes X eine Gruppe bilden, nämlich eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe der unterliegenden Menge. Auf diese Weise erhalten wir: 1. Die Automorphismengruppe aka symmetrische Gruppe \mathrm{Sym}(X) einer Menge X. 2. Die Automorphismengruppe \mathrm{Aut}(G) einer Gruppe G. 3. Die Automorphismengruppe aka allgemeine lineare Gruppe \mathrm{GL}(V) eines Vektorraumes V. 4. Die Automorphismengruppe aka Isometriegruppe \mathrm{Isom}(X) eines metrischen Raumes X. In all diesen Fällen misst die Automorphismengruppe die "Symmetrien" des Objektes. Das ist besonders anschaulich im Falle von metrischen Räumen. Diedergruppen. Die Isometriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks ist offenbar zu \mathrm{Sym}(\{1,2,3\}) isomorph: man interpretiere \mathrm{id},\sigma_1,\sigma_2 Drehungen, und \tau_1, \tau_2, \tau_3 als Spiegelungen. Allgemeiner ist die Diedergruppe D_n (sprich: Di-Eder-Gruppe) als die Isometriegruppe des regelmäßigen n-Ecks definiert. Die Isometrien setzen sich aus Drehungen und Spiegelungen zusammen (wie man sich leicht überlegt). Die Drehungen bilden eine zu \mathds{Z}/n\mathds{Z} isomorphe Gruppe. Sie wird etwa von der Drehung \sigma "eine Ecke weiter im Uhrzeigersinn" erzeugt, d.h. alle weiteren Drehungen haben die Form \sigma^i mit i \in \mathds{Z} (wobei o.E. 0 \leq i < n). Es gibt n Spiegelachsen und damit n Spiegelungen: Für gerades n gehen \frac{n}{2} Achsen durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte und \frac{n}{2} Achsen durch zwei gegenüberliegende Mittelpunkte. Für ungerades n gehen n Achsen durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Mittelpunkt. Die Diedergruppe hat folglich Ordnung 2n. Hier Veranschaulichungen für n=4 und n=5: Wir fixieren einen Eckpunkt, die Spiegelachse durch diesen Punkt und betrachten die Spiegelung \tau entlang dieser Spiegelachse. Die Elemente \sigma und \tau erfüllen die Relationen \sigma^n=1, \tau^2=1 und \tau \circ \sigma \circ \tau = \sigma^{-1}, wie man sich geometrisch klarmacht. Die letzte Relation kann auch als \sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma^{-1} geschrieben werden (woran man sieht, dass D_n nur dann kommutativ ist, wenn n \leq 2). Die Menge der Drehungen ist \{1,\sigma,\sigma^2,\dotsc,\sigma^{n-1}\}, die Menge der Spiegelungen ist \{\tau,\sigma \circ \tau,\sigma^2 \circ \tau,\dotsc,\sigma^{n-1} \circ \tau\}. Diese Menge stimmt mit \{\tau,\tau \circ \sigma,\dotsc,\tau \circ \sigma^{n-1}\} überein, denn \sigma^k \circ \tau = \tau \circ \sigma^{-k} für k \in \mathds{Z} (ergibt sich per Induktion aus \sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma^{-1}). Hieran sehen wir im übrigen auch, dass die Untergruppe der Drehungen tatsächlich ein Normalteiler ist. Isomorphe Automorphismengruppen. Wenn zwei Objekte isomorph sind, so sind ihre Automorphismengruppen ebenfalls isomorph. Wenn etwa f : X \to Y eine Bijektion zwischen zwei Mengen ist, so ist \mathrm{Sym}(X) \to \mathrm{Sym}(Y),~ \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1} ein Isomorphismus von Gruppen. Zum Studium der endlichen symmetrischen Gruppen kann man daher stets X=\{1,2,\dotsc,n\} für ein n \in \mathds{N} annehmen, was dann oft auch gemacht wird. Aber nicht in diesem Artikel. Innere Automorphismen. Es sei G eine Gruppe. Für jedes g \in |G| hat man die Abbildung c(g) : |G| \to |G|,~ a \mapsto g \cdot a \cdot g^{-1}. Tatsächlich ist sie ein Homomorphismus c(g) : G \to G, denn c(g)(a \cdot b) = g \cdot a \cdot b \cdot g^{-1} = g \cdot a \cdot g^{-1} \cdot g \cdot b \cdot g^{-1} = c(g)(a) \cdot c(g)(b). Außerdem ist offenbar c(g^{-1}) invers zu c(g). Daher ist c(g) ein Automorphismus der Gruppe G. Man nennt ihn die Konjugation mit g. Automorphismen dieser Form heißen auch innere Automorphismen; alle anderen äußere Automorphismen. Beispiele. Für die Diedergruppe G=D_n haben wir gesehen, dass der zu \tau gehörige innere Automorphismus c(\tau) : D_n \to D_n das Element \tau festlässt, die Drehung \sigma aber auf \sigma^{-1} abbildet. Wenn G irgendeine kommutative Gruppe ist, ist die Identität der einzige innere Automorphismus, aber x \mapsto x^{-1} ist ein Automorphismus von G, der in Regel nicht die Identität ist und daher also ein äußerer Automorphismus ist. Für symmetrische Gruppen gibt es aber ein irrwitziges Resultat: Jeder Automorphismus von \mathrm{Sym}(X) ist ein innerer, außer wenn X genau 6 Elemente hat: Dann gibt es (genau) einen äußeren Automorphismus. Anschauung. Man kann sich die Konjugation mit g geometrisch recht gut anhand von Bewegungsgruppen (etwa eines Würfels) vorstellen (wobei wir g mit g^{-1} vertauschen): Man möchte eine Bewegung a machen, aber nicht sofort: Man bringt "sich" erst mittels einer Bewegung g zu einem anderen Ort, führt dann die Bewegung a aus, und macht die Hilfsbewegung g anschließend wieder rückgängig. Dieses Prinzip kennen wir sogar aus dem Alltag. Aber auch Freunde des Zauberwürfels werden das unter dem Begriff "Setup-Moves" kennen. \xymatrix@C=30pt{\bullet \ar@/_1pc/[r]^{g} & \bullet \ar@/_1pc/[l]_{g^{-1}} \ar@(ur,dr)[]^{a}} Das Zentrum. Man rechnet ohne Probleme c(g \cdot h) = c(g) \circ c(h) nach. Das bedeutet, dass c selbst ein Homomorphismus ist, und zwar der Form c : G \to \mathrm{Aut}(G). Die inneren Automorphismen bilden daher eine Untergruppe \mathrm{Inn}(G):=\mathrm{Bild}(c) \subseteq \mathrm{Aut}(G). Der Kern \mathrm{Z}(G) von c heißt das Zentrum von G. Es ist ein Normalteiler von G mit unterliegender Menge \{g \in |G| : c(g)=\mathrm{id}\} = \{g \in |G| : \forall a \in |G| (g \cdot a \cdot g^{-1} = a)\} = \{g \in |G| : \forall a \in |G| (g \cdot a = a \cdot g)\} Die Elemente sind also genau jene, die mit allen anderen Elementen der Gruppe kommutieren. Das Zentrum misst daher die Abweichung von der Kommutativität. Je größer das Zentrum, desto "kommutativer" ist die Gruppe. Aus dem 1. Isomorphiesatz folgt übrigens G/\mathrm{Z}(G) \cong \mathrm{Inn}(G). Wir wollen das Zentrum nun einmal in einem Beispiel ausrechnen: Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe. Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Dann ist \mathrm{Z}(\mathrm{GL}(V))=K^* \cdot \mathrm{id}. Beweis. Sei A im Zentrum enthalten und v \in V \setminus \{0\}. Falls v,A(v) linear unabhängig sind, gibt es P \in \mathrm{GL}(V) mit P(v)=v+A(v) und P(A(v))=A(v). Aber dann A(v)=P(A(v))=A(P(v))=A(v+A(v))=A(v)+A^2(v) \Rightarrow A^2(v)=0 \Rightarrow v=0, Widerspruch. Also gibt es ein \lambda \in K^* mit A(v)=\lambda v. Wir müssen zeigen, dass \lambda unabhängig von v ist. Also sei A(v)=\lambda v und A(w)=\mu w. Wähle ein P \in \mathrm{GL}(V) mit P(v)=w. Dann ist \mu w = A(w) = A(P(v))=P(A(v)) = P(\lambda v) = \lambda P(v) = \lambda w und damit \lambda=\mu. QED Ausblick. Die Quotientengruppe \mathrm{PGL}(V) := \mathrm{GL}(V) / \mathrm{Z}(\mathrm{GL}(V)) heißt die projektive lineare Gruppe und ist - wie der Name schon sagt - in der projektiven Geometrie von Bedeutung. Es handelt sich im endlich-dimensionalen Fall um die Automorphismengruppe des projektiven Raumes \mathds{P}(V) im Sinne der algebraischen Geometrie. Aufgabe. Es sei X eine Menge mit mehr als zwei Elementen. Zeige, dass \mathrm{Z}(\mathrm{Sym}(X))=1.
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]