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Abelisierung

8. Kommutatoren und Abelisierung

Bei der Abelisierung geht es darum, eine Gruppe "kommutativ zu machen", genauer gesagt eine "kleinste kommutative Quotientengruppe" zu finden. Anstelle von kommutativ sagt man auch oftmals Abelsch (was ich bisher vermieden habe), daher der Name. Die Eigenschaft "kleinste" bezieht sich nicht auf die unterliegende Menge oder gar die Ordnung der Gruppe, sondern auf die Gruppe selbst. Die präzise Bedeutung werden wir in der universellen Eigenschaft erkennen. Stellen wir zunächst allgemein fest, wann ein Quotient kommutativ ist: Es sei G eine Gruppe und p : G \to G/N eine Quotientengruppe. Dann sind folgende Aussagen offenbar äquivalent: - G/N ist kommutativ. - Für alle a,b \in |G| ist p(a) \cdot p(b) = p(b) \cdot p(a). - Für alle a,b \in |G| ist p(a) \cdot p(b) \cdot p(a)^{-1} \cdot p(b)^{-1} = 1. - Für alle a,b \in |N| ist a \cdot b \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} \in |N|. Einen Ausdruck der Form [a,b] := a \cdot b \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} heißt Kommutator. Er misst nämlich die Abweichung dafür, dass a und b kommutieren: Es gilt a \cdot b = b \cdot a genau dann, wenn [a,b]=1. Die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe von G heißt die Kommutatoruntergruppe und wird mit G' bezeichnet. Für jeden Automorphismus \alpha von G gilt offenbar \alpha(G')=G'. Wendet man dies auf innere Automorphismen an, so sehen wir, dass G' ein Normalteiler von G ist. Wir können also den Quotienten G^{\mathrm{ab}} := G/G' bilden (zusammen mit p : G \to G^{\mathrm{ab}}) und haben oben gesehen, dass G^{\mathrm{ab}} kommutativ ist und ein allgemeiner Quotient G/N genau dann kommutativ ist, wenn G' \subseteq N. Das bedeutet aber, dass sich G \to G/N eindeutig fortsetzt zu G/G' \to G/N. Es ist also G/G' tatsächlich der kleinste kommutative Quotient von G. Genauer gesagt besteht die folgende universelle Eigenschaft: Universelle Eigenschaft der Abelisierung. Die Abelisierung p : G \to G^{\mathrm{ab}} erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist f : G \to H ein Homomorphismus von Gruppen, wobei H kommutativ ist, so gibt es genau einen Homomorphismus \tilde{f} : G^{\mathrm{ab}} \to H mit \tilde{f} \circ p = f. Es ist also p^* : \mathrm{Hom}(G^{\mathrm{ab}},H) \to \mathrm{Hom}(G,H) bijektiv. Beweis. Wegen f(G') \subseteq H' = 1 ist G' \subseteq \mathrm{Kern}(f). Daher können wir den Homomorphiesatz anwenden und sind fertig. QED Mit dieser universellen Eigenschaft kann man dann auch arbeiten. Zum Beispiel: Abelisierung und direkte Summen. Es sei (G_i)_{i \in I} eine Familie von Gruppen. Dann gibt es einen Isomorphismus von kommutativen Gruppen (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}} \cong \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}}. Beweis. Die kanonischen Homomorphismen G_i \to G_i^{\mathrm{ab}} \to \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}} kommutieren paarweise, weil die rechte Seite kommutativ ist, geben also Anlass zu einem Homomorphismus auf der kommutierenden direkten Summe. Weil die Zielgruppe aber kommutativ ist, faktorisiert dieser Homomorphismus bereits über der Abelisierung, etwa f : (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}} \to \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}}. Ganz ähnlich können wir einen inversen Homomorphismus konstruieren: Die G_i \to \bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i induzieren (nach der universellen Eigenschaft der Abelisierung) G_i^{\mathrm{ab}} \to (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}} und damit (nach der universellen Eigenschaft der direkten Summe) g : \bigoplus_{i \in I} G_i^{\mathrm{ab}} \to (\bigoplus^\text{\tiny komm}_{i \in I} G_i)^{\mathrm{ab}}. Dass f und g invers sieht, folgt nun einfach aus der Eindeutigkeit in den universellen Eigenschaften. QED Elemente. Was die Elemente der Abelisierung angeht, muss man die Elemente der Kommutatoruntergruppe G' verstehen. Nach Konstruktion haben diese die Form a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1} \dotsc a_n b_n a_n^{-1} b_n^{-1} mit n \in \mathds{N}, a_i \in |G| und b_i \in |G|. Es ist also relativ schwierig zu zeigen, dass ein Element nicht in der Kommutatoruntergruppe liegt. Es sei denn, man benutzt die universelle Eigenschaft: Ein Element a \in |G| liegt genau dann nicht in |G'|, wenn es einen Homomorphismus f : G \to H in eine kommutative Gruppe H gibt mit f(a) \neq 1. Zum Beispiel haben wir für einen endlich-dimensionalen K-Vektorraum V den Homomorphismus \mathrm{det} : \mathrm{GL}(V) \to (K^*,*,1). Die Zielgruppe ist kommutativ, sodass also \mathrm{GL}(V)' \subseteq \mathrm{Kern}(\mathrm{det}) =: \mathrm{SL}(V). Tatsächlich gilt hier sogar Gleichheit (außer für K=\mathds{F}_2 und \dim(V)=2), was wir hier aber nicht beweisen werden. Aber aus dieser Inklusion folgt sofort, dass eine Matrix mit Determinante \neq 1 nicht in der Kommutatoruntergruppe liegen kann. Alternative Darstellung. Es gilt |G'| = \{a_1^{-1} \cdot \dotsc \cdot a_n^{-1} : a_1 \cdot \dotsc \cdot a_n = 1, n \in \mathds{N}, a_i \in |G|\} Beweis: Die rechte Seite ist die unterliegende Menge einer Untergruppe \tilde{G} von G (Untergruppenkriterium!). Wenn G kommutativ ist, gilt \tilde{G}=1, denn dort gilt a_1^{-1} \cdot \dotsc \cdot a_n^{-1} = (a_1 \cdot \dotsc \cdot a_n)^{-1}. Für jeden Homomorphismus f : G \to H ist f(\tilde{G}) \subseteq \tilde{H}. Insbesondere ist \tilde{G} ein Normalteiler. In der Gruppe G/\tilde{G} gilt die Implikation abc = 1 \Rightarrow a^{-1} b^{-1} c^{-1} = 1, d.h. a^{-1} b^{-1} = (ab)^{-1} für alle Elemente, d.h. G/\tilde{G} ist kommutativ. Daher ist G' \subseteq \tilde{G}. Umgekehrt: Weil der Homomorphismus G \to G/G' die Gruppe \tilde{G} abbildet nach \widetilde{G/G'}=1, liegt \tilde{G} im Kern G'. QED Bemerkung. Man hätte das auch mit Elementen direkt (insb. ohne Quotienten) nachrechnen können. Diese Rechnung ist dann aber wesentlich länger (Übung?). Genauso bei der folgenden Beobachtung: Kommutatoren von Erzeugern. Es sei X ein Erzeugendensystem einer Gruppe G. Dann wird G' als Normalteiler von den Kommutatoren [x,y] mit x,y \in X erzeugt, d.h. G' = \langle \langle [x,y] : x,y \in X \rangle \rangle. Insbesondere ist G kommutativ (d.h. G'=1) genau dann, wenn x \cdot y = y \cdot x für alle x,y \in X. Beweis. Wir zeigen zunächst die Folgerung, also dass G genau dann kommutativ ist, wenn x \cdot y = y \cdot x für alle x,y \in X. Die Richtung \Rightarrow ist trivial. Zur Richtung \Leftarrow: Für x \in X gilt für den Zentralisator Z(x) nach Annahme X \subseteq |Z(x)|, also Z(x)=G. Die Elemente von |G| kommutieren also mit den Elementen von X. Für festes a \in |G| gilt für den Zentralisator Z(a) demnach X \subseteq |Z(a)|, und folglich Z(a)=G, d.h. a kommutiert mit allen Elementen von G. Das bedeutet, dass G kommutativ ist. Nun sei N = \langle \langle [x,y] : x,y \in X \rangle \rangle und betrachte den Quotienten p : G \to G/N. Es ist p(X) ein Erzeugendensystem von G/N und nach Konstruktion kommutieren die Erzeuger miteinander. Also ist nach Obigem G/N kommutativ, d.h. G' \subseteq N. Aber N \subseteq G' ist ohnehin klar. Daher ist G'=N. QED Bemerkung. Es wird G' nicht unbedingt von den [x,y] als Untergruppe erzeugt (es gibt ja auch gar keinen Grund dafür, warum die erzeugte Untergruppe ein Normalteiler sein sollte!). Ansonsten hätte jede Gruppe, die von zwei Elementen erzeugt wird, eine zyklische Kommutatoruntergruppe, wofür aber symmetrische Gruppen Gegenbeispiele liefern, vgl. Abschnitt 9. Aufgabe. Es sei G eine Gruppe, die von zwei Elementen a,b erzeugt wird mit bab^{-1}=a^2. Zeige, dass G^{\mathrm{ab}} zyklisch ist.
 
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