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Beispiele

5. Beispiele

In diesem Abschnitt berechnen wir einige Beispiele von Determinanten. Wir werden dabei die hergeleiteten Eigenschaften der Determinante benutzen. Beispiel A. Es sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad (über einem festen Körper). Dieser ist n-dimensional mit Basis 1,T,\dotsc,T^{n-1}. Betrachte den Endomorphismus f : V \to V, f(p) := p(T-1), der also in einem Polynom T durch T-1 ersetzt. Es gilt hierbei f(T^i) \in \langle 1,T,\dotsc,T^i \rangle, d.h. f ist trigonalisierbar. Der Koeffizient von T^i in f(T^i)=(T-1)^i ist offensichtlich 1. Also ist \det(f)=1. Betrachten wir stattdessen f(p) = p(2T-1), so ist der Koeffizient von T^i in f(T^i) = (2T-1)^i offenbar 2^i, sodass also \det(f)=2^0 \cdot 2^1 \cdot \dotsc \cdot 2^{n-1} = 2^{n(n-1)/2}. Beispiel B. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f ein Endomorphismus von V. Es gebe einen Vektor v mit V=\langle f^k(v) : k \in \mathds{N} \rangle. Dann kann man sich V = \langle v,f(v),f^2(v),\dotsc,f^{n-1}(v) \rangle überlegen, d.h. \{v,f(v),\dotsc,f^{n-1}(v)\} ist eine Basis von V. Dann gibt es also Koeffizienten \lambda_0,\dotsc,\lambda_{n-1} mit f^n(v) = \lambda_0 v + \lambda_1 f(v) + \dotsc + \lambda_{n-1} f^{n-1}(v). Für \omega \in \mathrm{A}_n(V) gilt \omega\bigl(f(v),\dotsc,f(f^{n-1}(v))\bigr) = \omega\bigl(f(v),\dotsc,f^{n-1}(v),\lambda_0 v + \lambda_1 f(v) + \dotsc + \lambda_{n-1} f^{n-1}(v)\bigr) = \omega\bigl(f(v),\dotsc,f^{n-1}(v),\lambda_0 v\bigr) = (-1)^{n-1} \lambda_0 \, \omega\bigl(v,f(v),\dotsc,f^{n-1}(v)). Daher ist \det(f) = (-1)^{n-1} \lambda_0. Beispiel C. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und definiere \tau : V \oplus V \to V \oplus V durch \tau(v,w) = (w,v). Wenn X eine Basis von V ist, dann ist \bigcup_{x \in X} \{(x,0),(0,x)\} eine Basis von V \oplus V. Auf dieser Basis wirkt \tau als Permutation, nämlich als Produkt aus den n Transpositionen, die (x,0) mit (0,x) vertauschen. Daher ist \det(\tau)=(-1)^n. Beispiel D. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Basis X und definiere f : V \to V durch f(x)=\sum_{y \in X \setminus \{x\}} \,y für x \in X. Es sei n \geq 1. Für u := \sum_{x \in X} \,x gilt dann u \neq 0 und f(u)=\sum_{x \in X} \sum_{y \in X \setminus \{x\}} \, y = (n-1) \cdot u, denn hierbei wird jedes y \in X genau (n-1) mal summiert. Es ist also U = \langle u \rangle ein eindimensionaler Unterraum, der unter f invariant ist, und für f|_U : U \to U gilt \det(f|_U) = n-1. Der Quotientenraum V/U hat \{[x] : x \in X \setminus \{x_0\}\} als Basis, wobei wir ein x_0 \in X fixiert haben. Für den Endomorphismus \overline{f} : V/U \to V/U gilt \overline{f}([x]) = [f(x)] = [f(x)-u] = [-x]=-[x] für alle x \in X \setminus \{x_0\}. Daher ist \det(\overline{f}) = (-1)^{n-1}. Zusammen erhalten wir also \det(f) = \det(\overline{f}) \cdot \det(f|_U) = (-1)^{n-1} (n-1). Ein ähnliches Vorgehen zeigt: Sind a,b \in K fest und definiert man f(x)=ax + b \sum_{y \in X \setminus \{x\}} \, y, so gilt \det(f) = (a-b)^{n-1} \cdot (a+(n-1) b). Natürlich muss man hier einräumen, dass die Definition von f gar nicht koordinatenfrei ist, sondern eine Basis von V benutzt, aber die Bestimmung der Determinante geht offenbar leichter von der Hand, wenn man an koordinatenfreie elementare Konstruktionen für Vektorräume wie zum Beispiel Quotientenräume denkt. Beispiel E. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f : V \to V ein Endomorphismus. Dieser induziert einen Endomorphismus f_* : \mathrm{End}(V) \to \mathrm{End}(V), g \mapsto f \circ g. Wir möchten \det(f_*) in Abhängigkeit von \det(f) berechnen. Dazu ist es günstig, die Situation zu verallgemeinern: Sei W ein m-dimensionaler Vektorraum. Dann erhalten wir den Endomorphismus f_* : \mathrm{Hom}(W,V) \to \mathrm{Hom}(W,V), g \mapsto f \circ g. Wenn W eindimensional ist, dann identifiziert sich f_* mit f und wir erhalten \det(f_*)=\det(f). Im allgemeinen Fall zerlegt sich W in eine direkte Summe von m eindimensionalen Unterräumen und f_* zerlegt sich entsprechend. Es folgt \det(f_*)=\dim(f)^{m}. Mit einer ähnlichen Überlegung zeigt man \det(f^* ) = \det(f)^{m}, wobei f^* : \mathrm{Hom}(V,W) \to \mathrm{Hom}(V,W), g \mapsto g \circ f. Dabei muss man sich aber im eindimensionalen Fall überlegen, dass die Determinante eines Endomorphismus f : V \to V mit der Determinante des dualen Endomorphismus f^* : V^* \to V^* übereinstimmt. Das sieht man zum Beispiel mit der Leibniz-Formel, aber es gibt auch andere Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man sich überlegen, dass \mathrm{A}_n(V^*) und \mathrm{A}_n(V)^* natürlich isomorph sind, wobei hier die Natürlichkeit im Sinne der Kategorientheorie zu lesen ist. Beispiel F. Sofern der Leser bereits mit Tensorprodukten vertraut ist: Seien f \in \mathrm{End}(V) und g \in \mathrm{End}(W) mit n=\dim(V), m = \dim(W). Wir möchten die Determinante von f \otimes g \in \mathrm{End}(V \otimes W) bestimmen. Wegen f \otimes g = (f \otimes \mathrm{id}_W) \circ (\mathrm{id}_V \otimes g) reicht es, \det(f \otimes \mathrm{id}_W) und analog \det(\mathrm{id}_V \otimes g) zu berechnen. Wenn wir eine Basis von W wählen, d.h. einen Isomorphismus W \cong K^m, erhalten wir daraus einen Isomorphismus \alpha : V \otimes W \to V \otimes K^m \to V^m, und das Diagramm \begin{tikzcd} V \otimes W \ar{r}{f \otimes \mathrm{id}_W} \ar{d}[swap]{\alpha} & V \otimes W \ar{d}{\alpha} \\ V^m \ar{r}{f^m} & V^m \end{tikzcd} kommutiert. Daher gilt \det(f \otimes \mathrm{id}_W) = \det(f^m)=\det(f)^m. Analog folgt \det(\mathrm{id}_V \otimes g) = \det(g)^n. Zusammen erhalten wir daher \det(f \otimes g) = \det(f)^m \cdot \det(g)^n. Aufgabe. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Basis \{v_1,\dotsc,v_n\}. Definiere die lineare Abbildung f : V \to V durch f(v_i)=v_{i-1}+v_i + v_{i+1} für 1 und (falls n \geq 2) f(v_1)=v_1 + v_2 und f(v_n)=v_{n-1}+v_n. Berechne \det(f) in Abhängigkeit von n.
Ich bedanke mich bei meinen Korrekturlesern KidinK, sbechtel und gonz.
In den Kommentaren können wir gerne weiter über das Thema diskutieren.
 
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