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Infinitesimalrechnung in der Physik

Infinitesimalrechnung in der Physik

Neben der innermathematischen Anwendung der Infinitesimalrechnung ist vor allem auch die Anwendung der hier vorgestellten Techniken in anderen Disziplinen wie der Physik zu betonen. In der Tat ist es so, dass viele physikalische Größen über Integrale und Ableitungen erst definiert werden.

Mechanik

Man kann die Geschwindigkeit eines Objekts als Änderungsrate des Weges interpretieren. Aus diesem Grund wird, sofern die Mittel dafür zur Verfügung stehen, die Geschwindigkeit als erste Ableitung des Weges nach der Zeit definiert: v(t):=s'(t) \small\ Anmerkung: Gerade in der Physik ist es üblich, die Ableitung nach der Zeit mit einem Punkt zu notieren. In dieser Notation wäre also v:=s^* Ganz ähnlich kann man die Beschleunigung als erste Ableitung der Geschwindigkeit interpretieren\/definieren: a(t):=v'(t)=s''(t) Umgekehrt kann man auch Geschwindigkeit und Weg aus Beschleunigung bzw. Geschwindigkeit erhalten: v(t)=int(a(\t),\t,t_0,t) s(t)=int(v(\t),\t,t_0,t) Auf diese Weise erhält man schnell und einfach wichtige Formeln und Zusammenhänge zwischen diesen drei Größen, die man sonst nur anschaulich erklären konnte. So wird unmittelbar klar, wieso der Schwinger einer Schwingung mit der Gleichung y(t)=y^^*sin(\omega*t+\phi_0) die Geschwindigkeit v(t)=y^^*\omega*cos(\omega*t+\phi_0) und die Beschleunigung a(t)=-y^^*\omega^2*sin(\omega*t+\phi_0) hat. Ebenso kann man problemlos die 3 Grundgleichungen für eine glm. beschleunigte Bewegung ermitteln: a(t)=a^^ \(konstant\) v(t)=int(a(\t),\t,t_0,t)=a^^*t+v_0 s(t)=int(v(\t),\t,t_0,t)=1/2*a^^*t^2+v_0*t+s_0 Andere Größen wie die Arbeit kann man ebenfalls über Integrale definieren: W=int(F(s),s,s_1,s_2) Wenn man F als konstante Kraft betrachtet, folgt daraus die früher bekannte Gleichung W=F*\Delta||s. In anderen Fällen, wie z.B. einer gespannten Feder, ist F(s)=D*s und somit W=1/2*D*s^2, was als Hooke'sches Gesetz bekannt sein sollte.

Elektrizitätslehre

In der E-Lehre treten ganz ähnlich an vielen Stellen Integrale und Ableitungen auf, wo in niedrigeren Klassenstufen nur die Spezialfälle notiert wurden. So kann man z.B. die Stromstärke I als Q^* oder andersherum Q(t) als int(I(\t),\t,t_0,t) definieren. Das Potential zwischen zwei Punkten s_1 und s_2 kann als int(E(s),s,s_1,s_2) definiert werden. In einer Spule mit N Windungen kann die Induktionsspannung mit U(t)=-N*\Phi||'(t) berechnet werden, wobei \Phi der magnetische Fluss ist. Auf diese und viele andere Weisen, tritt die Infinitesimalrechnung bei einer Unzahl von Größen und Gleichungen der Mechanik, der Elektrizitätslehre und anderen Gebieten der Physik auf. So lassen sich das Trägheitsmoment, der (Dreh)Impuls, die Leistung, die (magnetische und elektrische) Spannung und viele, viele mehr über Integrale und Ableitungen definieren, wodurch sich viele Formeln und Zusammenhänge ähnlich wie oben demonstriert als einfache Spezialfälle dieser Definitionen ergeben. Hat man etwas mehr Mathematik zur Verfügung, so kann man diese Größen auch im Raum mit Integralen definieren, statt wie jetzt allein im Eindimensionalen.
 
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