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Neuer Abschnitt in Kurvenintegrale
\big Kurvenlänge Um die Kurvenlänge einer Funktion f(x) im \IR^(2) zu berechnen, hatten wir uns der Formel int(sqrt(1+f'(x)^2),x,a,b) bedient. Um diese Formel anwenden zu können, musste y=f(x) explizit gegeben sein. Hatte man hingegen nur die Parameterdarstellung der Kurve (x(t);y(t)) mit a<= t<= b,so konnte man die Kurvenlänge mit der Formel int(sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2),t,a,b) berechnen. Natürlich mussten die Funktion und die Parameterdarstellung differenzierbar sein. Haben wir nun eine Kurve C im \IR^3 gegeben, so gilt allgemein für die Bogenlänge dieser Kurve l=int(,l,C). Hat C die Parameterdarstellung (x(t);y(t);z(t)) mit a<= t<= b ,dann lässt sich die Bogenlänge dieser Kurve auch mit l=int(sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2),t,a,b) berechnen. Die folgende Abbildung zeigt solch eine Kurve C Bild Schauen wir uns dazu einen kleinen Teilbogen an : Bild Die Länge \Delta l_i kann durch die Länge der Sekante \Delta s_i angenähert werden, welche die Länge \sqrt((\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2) hat. Damit gilt für die Gesamtlänge der Kurve C l=\Delta l_1+...+\Delta l_(n-1)\approx\Delta s_1+...+\Delta s_(n-1) =\sqrt((\Delta x_1)^2+(\Delta y_1)^2+(\Delta z_1)^2)+...+\sqrt((\Delta x_(n-1))^2+(\Delta y_(n-1))^2+(\Delta z_(n-1))^2) Nach dem Grenzübergang n->\inf nähert sich \Delta s_i der Teilbogenlänge \Delta l_i an und es gilt dl=ds, wobei ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)* dt damit ist dann l=int(,l,C)=int(sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt. Damit haben wir unsere Grundlage geschaffen das Kurvenintegral bezüglich der Bogenlänge einzuführen. An dieser Stelle werde ich keine Beispiele zeigen, sondern im nächsten Kapitel.
 
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