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Neuer Abschnitt in Kurvenintegrale
\light\blue\ Kurvenintegral über ein Vektorfeld \big\ Näherung des Kurvenintegrals durch den Begriff der Arbeit Durchläuft unsere Kurve kein Skalarfeld, sondern ein Vektorfeld, wie zum Beispiel ein Kraftfeld oder Magnetfeld, so können wir nicht mehr mit unserem obigen Kurvenintegral bzgl der Bogenlänge rechnen, sondern müssen ein neues einführen. Dazu müssen wir uns erst einmal einige Sachen klar machen, die ich jetzt vorstellen möchte. Wir nähern uns dem Kurvenintegral durch den Begriff der Arbeit. Wird ein Punkt P mit der Kraft K in Richtung vec(r), norm(vec(r))=1 um die Länge l verschoben, dann gilt für die Arbeit (Kraft mal Weg) A=(vec(K)*vec(r))* l=vec(K)*(vec(r)* l)=vec(K)*vec(x) Bild Dies ist unsere Grundlage, um unser Kurvenintegral einzuführen. Wir setzen ein stetiges Vektorfeld und eine glatte Kurve voraus. Unsere Kurve befindet sich nun in einem Vektorfeld. Stellt euch einen Punkt im Raum vor, dieser wird entlang unserer Kurve mit der immer wechselnden Kraft K(x,y,z) verschoben. Die Frage ist nun, wie groß ist die Arbeit, die verrichtet werden muss. Die folgende Abbildung zeigt uns ein Vektorfeld (grüne Pfeile) und eine Kurve. Bild Betrachten wir nun ein kleines Bogenelement dl; wir werden dort die Arbeit dA berechnen. Wir können den Bogen dl durch die Tangente T(x,y,z) mit norm(T)=1 approximieren, dann ist die Arbeit die in diesem Bogenelement wirkt dA=(K* T)dl=K*(T* dl)=K* d vec(x). Bild Die gesamte Arbeit A erhalten wir dann, wenn wir integrieren, A=int(K,vec(x),C,)=int(K* T,l,C) Dabei ist natürlich zu beachten, dass K jedem Punkt auf der Kurve einen Vektor zuordnet, sodass K wie folgt aussehen könnte: K(x,y,z)=(u(x,y,z);v(x,y,z);w(x,y,z)) Ist unsere Kurve C durch p(t)=(x(t);y(t);z(t)) beschrieben, so gilt für den allgemeinen Tangentialvektor im Punkt p(t)=(x;y;z) T_(allg)(x,y,z)=p'(t)=(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt), normieren wir noch T_(allg), so erhalten wir T(x,y,z)=1/norm(T_(allg))* T_(allg)=1/sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt) Beachten wir noch, dass für die Länge des Bogenelements dl=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt gilt, lässt sich dA=K* Tdl schreiben mit dA=K* T*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)*dt=K(x(t),y(t),z(t))*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt)dt also ist A=int(K(x(t),y(t),z(t))*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt),t,a,b) oder auch kürzer A=int(K(p(t))* p'(t),t,a,b). Dieses Integral wird auch als (Kurvenintegral zweiter Art) bezeichnet. Wir haben uns dem Kurvenintegral über dem Begriff der Arbeit genähert, indem wir eine Kurve über ein Kraftfeld integriert haben, doch unsere Definition lässt sich auch auf ein beliebiges auf der Kurve C stetiges Vektorfeld definieren. Ist vec(h) ein auf der Kurve C: p(t)=(x(t);y(t);z(t)), t\el\intervall(a,b) stetiges Vektorfeld, so ist das Kurvenintegral über vec(h) entlang der Kurve C int(vec(h)(p),vec(x),C)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b) Führen wir eine Parametertransformation durch, die die Durchlaufrichtung nicht ändert, so ist das Kurvenintegral gleich. Sei r eine Abbildung von intervall(c,d) auf intervall(a,b) stetig. Da r die Durchlaufrichtung nicht ändern darf, muss r' auf intervall(c,d) größer Null sein. Sei dazu P(u)=p(r(u)), u\el\intervall(c,d) dann müssen wir zeigen, dass int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b) ist. Aus der Gleichung P(u)=p(r(u)) folgt, dass P'(u)=p'(r(u))* r'(u) ist. Also ist int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(r(u)))* p'(r(u))* r'(u),u,c,d), nun substituieren wir t=r(u)=> dt=r'(u)* du und beachten, dass r(c)=a und r(d)=b ist, folgt int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b) array(Beispiel:)__ Sei das Vektorfeld vec(h) gegeben durch h(x,y,z)=(xy;yz;xz) und eine Kurve durch p(t)=(t;t^2;t^3), t\el\[-1,1] dann ist vec(h)(p(t))* p'(t)=vec(h)(t,t^2,t^3)*(1;2t;3t^2) =(t* t^2;t^2* t^3;t* t^3)*(1;2t;3t^2)=t* t^2* 1+t^2* t^3* 2t+t* t^3* 3t^2=t^3+5t^6 und damit ist int(t^3+5t^6,t,-1,1)=10/7
 
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