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Hyperbolische Mengen
6. Hyperbolische Mengen. Bestimmung von \mathcal{H}_1 und \mathcal{H}_2 Wir können außer zwischen Divergenz und Nichtdivergenz auch nach dem Vorliegen der anderen unter 2. genannten Möglichkeiten fragen. Das führt auf den Begriff der hyperbolischen Menge. Dies ist ein zusammenhängender Bereich der Mandelbrotmenge mit nichtleerem Inneren, dessen Elemente zu einem ähnlichen Verhalten der Iterierten in der Julia-Menge führen. Wenn wir schauen, bei welchen Parametern nur ein Fixpunkt vorliegt, den die Iterierten entweder irgendwann erreichen oder dem sie asymptotisch zustreben, so müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein: - Es existiert ein z aus \mathbb{C}, für das gilt: f_c(z) = z - Der Betrag der Ableitung \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c(z) ist betragsmäßig höchstens 1, so daß eine Fixpunktiteration gemäß dem Satz von Banach kontrahierend ist und einer der Lösungen von f_c(z)=z zustrebt Während die erste Bedingung zur exakten Gleichung z^2-z+c=0 führt, ergibt sich aus der zweiten eine Betragsungleichung |2\cdot z| \leq 1 bzw. |z| \leq \frac{1}{2}. Um die c zu bestimmen, die beides erfüllen, müssen wir die Variable z eliminieren, was hier der einfachen Lösung einer quadratischen Gleichung in \mathbb{C} entspricht, die auf \left|\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-c}\right| \leq \frac{1}{2} führt. Die Randkurve, auf der diese Ungleichung mit Gleichheit erfüllt wird, ist hierbei das Interessante, denn hier wird, wenn man den Rand von innen nach außen überschreitet, gerade der bis dahin attraktive Fixpunkt repulsiv. Parametrisiert man den Einheitskreis als w \in \{\exp(\mathrm{i}\cdot t)\,|\,t \in [0,2\pi]\}, so läßt sich dies in c \in \{\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\exp(\mathrm{i}\cdot t))^2 \,|\, t \in [0,2\pi]\} überführen (siehe Bildfolge). Dies ist die Parametrisierung einer Kardioide, der sogenannten Hauptkardioide \mathcal{H}_1.
Bild 6: Transformation des Einheitskreises durch Skalieren und Verschieben - Quadrieren - Spiegeln und erneutes Verschieben - in die Hauptkardioide \mathcal{H}_1 Grundsätzlich werden wir bei dieser Vorgehensweise bleiben, auch wenn wir noch erheblich schwereres algebraisches Geschütz brauchen werden, um die Randkurve von \mathcal{H}_3 zu bestimmen. Doch zunächst sehen wir uns noch den Bereich an, der die Parameter beinhaltet, für die es in den entsprechenden Julia-Mengen einen attraktiven 2-Zyklus gibt. Das heißt nichts anderes, als daß die zweite Iterierte, f_c^2 = f_c(f_c), einen Fixpunkt besitzt, für den die Ableitung betragsmäßig höchstens 1 wird. f_c^2(z) ist zwar schon ein Polynom 4. Grades, doch werden mit der Fixpunktgleichung f_c^2(z)=z auch bereits die Fixpunkte der Abbildung selbst erfaßt, so daß nach dem Ausdividieren von f_c(z)-z nur noch ein Polynom 2. Grades übrigbleibt, und zwar z^2+z+(c+1). Die Betragsbedingung lautet |z\cdot(z^2+c)|\leq\frac{1}{4}. Da hier der Grad des Polynoms in Betragsstrichen größer ist als der dessen, welches exakt zu erfüllen ist, können wir eine Polynomdivision durchführen und nur deren Rest weiterbetrachten, was uns sofort auf |c+1|\leq\frac{1}{4} bringt. Der Bereich der Parameter, denen in der Julia-Menge attraktive 2-Zyklen entsprechen, ist also exakt eine Kreisscheibe mit Radius \frac{1}{4} um -1. Wir werden noch sehen, daß dies der einzige exakte Kreis im Rand von \mathcal{M} ist.
Bild 7: So weit haben wir die Mandelbrotmenge nun schon erzeugt. Man sieht: Es wird...
 
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