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H3 und darüber hinaus
7. Die hyperbolische Menge \mathcal{H}_3 und darüber hinaus Nun werden wir mit dieser Methodik noch den Bereich der stabilen 3-Zyklen untersuchen. Auch wenn wir es jetzt nicht mehr mit leichten Einsichten zu tun haben, sondern wir das ganze Instrumentarium von Lösung linearer Systeme über die Auflösung polynomialer Gleichungen bis hin zur Körpertheorie in Anschlag bringen müssen, bleibt uns hierbei doch das Glück hold. Exakt zu erfüllen: \displaystyle\frac{f_c(f_c(f_c(z)))-z}{f_c(z)-z}=0 bzw. \begin{aligned} z^6 + z^5 &+ (3c+1)\cdot z^4 + (2c+1)\cdot z^3 \\ &+ (3c^2+3c+1)\cdot z^2 + (c^2+2c+1)\cdot z + c^3+2c^2+c+1 = 0 \end{aligned} Betragsmäßig zu erfüllen: \displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f_c(f_c(f_c(z)))\right|\leq 1 bzw. |z\cdot (z^2+c)\cdot((z^2+c)^2+c)|\leq\frac{1}{8} Nach der Polynomdivision durch \begin{aligned} P(c,z):=z^6 + z^5 &+ (3c+1)z^4 + (2c+1)z^3 \\ &+(3c^2+3c+1)z^2 + (c^2+2c+1)z + c^3+2c^2+c+1 \end{aligned} bleibt in Betragsstrichen |c\cdot z^4+(2c^2+c)\cdot z^2+c\cdot z+(c^3+2c^2+c+1)|\leq\frac{1}{8}. Wenn wir hierin zur Randkurve übergehen, können wir dies zu gegebener Zeit als \exists \, t \in [0,2\pi] \,:\, cz^4+(2c^2+c)z^2+cz+(c^3+2c^2+c)=-1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8} umschreiben. Als nächstes haben wir die Variable z zu eliminieren. Dazu suchen wir ein Polynom, R(c,w) über \mathbb{Z}[c], welches unter der Voraussetzung, daß z die Gleichung 6. Grades P(c,z)=0 erfüllt, die algebraische Zahl cz^4+(2c^2+c)z^3+cz+c^3+2c^2+c annulliert. Wir wissen aus der Körpertheorie, daß dies ebenfalls eine ganz-algebraische Zahl 6. Grades über \mathbb{Z}[c] ist, und machen also den Ansatz R(w)\,=\,w^6+k\cdot w^5+l\cdot w^4+m\cdot w^3+p\cdot w^2+q\cdot w+r=0, in welches wir den zu annullierenden Term einsetzen. Dies ergibt zwar ein Polynom 24. Grades, dessen Koeffizienten von c abhängen, doch nachdem wir wiederum P ausdividiert haben, bleibt als Rest formal ein Polynom 5. Grades (konkret in diesem Fall sogar 4. Grades), dessen Koeffizienten Linearkombinationen der Koeffizienten k,l,m,p,q und r über \mathbb{Z}[c] sind. Diese Linearkombinationen setzen wir alle gleich Null, so daß sich ein lineares Gleichungssystem mit 6 Gleichungen in 6 Unbekannten ergibt, welches wir lösen. Dabei stellt sich heraus, daß 4 dieser 6 Gleichungen redundant sind, d.h. von den 6 Koeffizienten sind 4 frei wählbar und nur der des quadratischen und der des konstanten Gliedes sind von diesen abhängig. Wenn wir schon die freie Wahl haben, machen wir es uns so einfach wie möglich und wählen alle freien Koeffizienten des linearen Systems gleich Null. Damit ergibt sich für R: \displaystyle R(c,w) = w^6+(-3c^6-8c^5-5c^4)\cdot w^2-(2c^9+11c^8+20c^7+12c^6) Und wir haben noch ein zweites Mal Glück. Dieses Polynom faktorisiert praktischerweise in drei in w quadratische Polynome, und zwar ist R(c,w)=(w^2-2c^3-3c^2)\cdot(w^2+cw+c^3+2c^2)\cdot(w^2-cw+c^3+2c^2). Nur der letzte dieser Faktoren hat tatsächlich eine Bedeutung für die Randkurve; die beiden übrigen Faktoren haben wir uns durch die Methode eingehandelt, die der Anwendung einer Polynomfunktion 6. Grades auf beiden Seiten entspricht. Da wir R so gewählt hatten, daß R(c,w)=R(c,cz^4+(2c^2+c)z^2+cz+c^3+2c^2+c)=0, wandelt sich die Betragsungleichung in |w+1|\leq\frac{1}{8}, was die Parametrisierung von w als -1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8} gestattet. Wenn wir dies in w^2-cw+c^3+2c^2=0 für w einsetzen, definiert dies implizit die Randkurve von \mathcal{H}_3, wobei t von 0 bis 2\pi läuft. Lösen wir diese Gleichung nach c auf – hierbei haben wie das Cardanosche Verfahren anzuwenden –, so gewinnen wir eine Parametrisierung der Randkurven sämtlicher Zusammenhangskomponenten von \mathcal{H}_3. Hier ist der komplexe Term für die "Hände" von \mathcal{M} und die kardioidenähnliche Kurve bei -\frac{7}{4}. Ein scharfer Vergleich im nächsten Abschnitt wird zeigen, daß es sich um keine exakten Kreise und keine exakte Kardioide handelt. \begin{aligned} c(w)=-\frac{2}{3}&+\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\cdot\sqrt[3]{\frac{w\cdot\sqrt{81w^2+96w+84}}{18}+\frac{27w^2+18w+16}{54}}\\ &-\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\cdot\sqrt[3]{\frac{w\cdot\sqrt{81w^2+96w+84}}{18}-\frac{27w^2+18w+16}{54}} \end{aligned} k nimmt wie üblich die Werte 0, 1, 2 an. Einsetzen von -1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8} für w liefert eine explizite Parametrisierung der blauen Bereiche im folgenden Plot.
Bild 8: Wir haben die "Hände" des Apfelmännchens exakt parametrisiert, und auch der Hauptkörper des größten Satelliten in der Antenne zeigt sich bereits. Kenneth Falconer nennt in [3] diese Strukturen "kreisförmig (circular)" - hat er damit recht? Mit dem hier angewendeten Verfahren, ein nichtlineares System aus zwei Polynomgleichungen in zwei Variablen zu lösen, ließe sich prinzipiell auch die Bestimmung sämtlicher hyperbolischer Mengen angehen. Man hat allerdings zu beachten, daß durch die Anwendung einer höhergradigen Polynomfunktion die Lösungsmenge vergrößert wird, d.h. es wird so sein, daß das aufgefundene Polynom zwar stets faktorisiert, doch daß dessen Faktoren nicht alle zu einer Randkurve einer hyperbolischen Menge in \mathcal{M} gehören. So findet man für den Rand der hyperbolischen Menge \mathcal{H}_4 ein Polynom 12. Grades R(c,w), doch nur dessen Faktor F_3(c,w):=w^3+c^2\cdot w^2-(c^4+c^3-3c^2)\cdot w-(c^6+3c^5+4c^4+4c^3) entsprechen tatsächlich die Ränder sämtlicher hyperbolischer Bereiche, deren Elementen in den ihnen entsprechenden Julia-Mengen attraktive Zyklen der Länge 4 zuzuordnen sind. Das rasche Anwachsen der Polynomgrade mit der Zyklenlänge verdeutlicht aber, wie rasch die Grenzen der Bestimmbarkeit exakter Grenzkurven erreicht ist. Die explizite Darstellung des Randes von \mathcal{H}_4 ist schon aufgrund des Satzes von Abel-Ruffini nicht mehr möglich. Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten dieses Bereichs ist übrigens, wie man aufgrund des Beispiels \mathcal{H}_3 vermuten könnte, durch den Grad dieses Polynoms in c festgelegt. F_3 hat Grad 6 in c, und es existieren 6 hyperbolische Zusammenhangskomponenten: zwei sind die 4-Knospen an der Hauptkardioide rechts von den "Händen" von \mathcal{M}, eine bildet den "Dutt" am "Kopf" \mathcal{H}_2 des Apfelmännchens, eine vierte bildet den kardioidenartigen Hauptkörper eines kleinen Satelliten in der "Antenne" von \mathcal{M} bei c=-\frac{3}{4}\cdot(1+\sqrt[3]{4})\,=\,-1,9405507\ldots (diese Zahl ist nebenbei für mich das schönste Ergebnis dieser Befassung mit der Materie überhaupt), und die übrigen beiden sind kardioidenförmige hyperbolische Bereiche, die im Komplexen innerhalb von Verästelungen liegen, die von den beiden "Händen" von \mathcal{M} ausgehen. Wurzeln Doch auch wenn es nicht möglich ist, die gesamte Randkurve eines hyperbolischen Bereichs zu bestimmen, um sie sich z.B. plotten zu lassen, so läßt sich zumindest der zu t=0 gehörige Punkt bestimmen. Für diesen nimmt w den Wert -1+\frac{1}{2^n} an, wobei n die Zyklenlänge ist. Das sich so ergebende Polynom in \mathbb{Z}[c] läßt sich stets in Faktoren zerlegen, denn es gibt für jedes n \in \mathbb{N} hyperbolische Bereiche auf den Hauptkörpern der Mandelbrotmenge, die an ausgezeichneten Punkten der Randkurven als "Knospen" sitzen. Deren Aufsitzpunkte erfüllen also stets Polynomgleichungen niedrigeren Grades. (Welche das sind, wird in Kapitel 9 näher erörtert.) Für die übrigen hyperbolischen Bereiche - man denke an kleine Satelliten irgendwo in den Verästelungen von \mathcal{M} - hat man aber weitere Faktoren, die mit den Standardverfahren im Allgemeinen nicht mehr faktorisierbar sind. Doch kann zumindest numerisch im Komplexen dieser Anfangspunkt gefunden werden. Als dieser ist die Wurzel der hyperbolischen Menge definiert. Zwei Fälle sind also möglich: Die Wurzel sitzt entweder auf der Randkurve eines größeren hyperbolischen Bereichs, dann ist die hyperbolische Menge kreisähnlich, oder sie hängt in den Verästelungen des Randes von \mathcal{M} und ähnelt dann einer Kardioide, an der sich sämtliche Substrukturen der gesamten Mandelbrotmenge unter leichter Verzerrung wiederentdecken lassen. Die Zyklenlänge, denen die Elemente dieser Substrukturen jeweils entsprechen, ergibt sich dabei aus der Zyklenlänge, die der mit dieser verbundenen Kardioide zugeordnet ist, multipliziert mit der Zyklenlänge der gleichartigen Knospe an der Hauptkardioide \mathcal{H}_1.
 
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