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Die Form der Grenzkurven
8. Die Form der Grenzkurven Noch einmal zurück zu den Knospen von \mathcal{H}_3. Deren gesamte Randkurve gliedert sich in drei Zusammenhangskomponenten: eine liegt symmetrisch auf der reellen Achse bei z = -\frac{7}{4}, innerhalb der reellen "Antenne" der Mandelbrotmenge und ähnelt einer verkleinerten Kopie der Hauptkardioide. Die anderen beiden liegen symmetrisch bezüglich der reellen Achse und berühren die Hauptkardioide genau dort, wo diese waagerechte Tangenten hat. Kenneth Falconer behauptet in [3], diese Kurven seien "kreisförmig (circular)". Ich habe mich gefragt: Sind dies wirklich exakte Kreise und, falls ja, warum lassen sich ihre Gleichungen nicht einfacher auffinden, warum muß man dafür so tief in die algebraische Werkzeugkiste greifen? Um die Frage zu beantworten, verlassen wir kurz die strengen Pfade der Algebra und bedienen uns der komplexen Analysis, um den Schmiegekreis der Zusammenhangskomponente im Kontaktpunkt mit der Hauptkardioide zu bestimmen. Dazu setzen wir K_{q,r,\xi}\,:=\,\{q+\mathrm{i}r\xi\cdot(1-\exp(\mathrm{i}\cdot t))\,|\,t \in [0,2\pi]\} an und wählen die drei Parameter q \in \mathbb{C}, \xi \in S^1, r \in \mathbb{R}_{>0} so, daß für t = 0 am Kreis die reellen und imaginären Aufpunktkoordinaten, die Richtung des Tangentenvektors sowie die Krümmung \kappa(t)=\frac{1}{r(t)}=\frac{\dot{x}(t)\cdot\ddot{y}(t)-\dot{y}(t)\cdot\ddot{x}(t)}{\left(\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)\right)^{\frac{3}{2}}} (x(t) und y(t) sind Real- bzw. Imaginärteil der Parametrisierung der Randkurve) mit denjenigen der Randkurve identisch werden. Wir erhalten: \begin{aligned}\displaystyle q &= -\frac{1}{8}+\mathrm{i}\cdot\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}, \\ \xi &= 1, \\ \kappa &= \frac{2687}{441}\cdot\sqrt{3} \\ \end{aligned} Wäre die Zusammenhangskomponente der Randkurve tatsächlich ein Kreis, so müßte sie nicht nur lokal im Kontaktpunkt, sondern global mit ihrem eigenen Schmiegekreis K_{q,r,\xi} zusammenfallen. Schaut man sich den entsprechenden Plot sehr genau an, so erkennt man aber, daß die Kurven in dem Bereich, der zwischen "halb elf" und "halb zwei" auf dem Schmiegekreis liegt, auseinanderlaufen. Die Ausschnittsvergrößerung bestätigt die Diskrepanz, und ebenso täte dies ein Nachrechnen – welches wir uns aber an dieser Stelle ersparen, da der Augenschein deutlich genug ist. Diese Teile der Randkurve von \mathcal{H}_3 sind also tatsächlich keine Kreise - wenn auch die Abweichung unter 1% liegt.
Bild 9: Vergleich der oberen "Hand" des Apfelmännchens, eines Teils des Randes von \mathcal{H}_3, mit ihrem Schmiegekreis K_{q,r,\xi} im Kontaktpunkt mit der Hauptkardioide. Bei exakter Kreisform müßten die Kurven überall übereinstimmen; es erweist sich jedoch, daß sie dies nicht tun
Bild 10: Ausschnittvergrößerung des linken oberen Bildbereichs Man kann sich dies auch anderweitig überlegen, indem man die Entstehung der Kurve aus dem Kreis nachvollzieht, mit dem wir das Argument der Betragsungleichung parametrisiert haben: s(t)=-1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8}. Dieser wird einer polynomialen Abbildung 2. Grades unterworfen, und solche Abbildungen überführen im Allgemeinen einen Kreis in eine Epizykloide, wie wir am Beispiel der Hauptkardioide bereits sahen. Doch in diesem Fall wird noch eine inverse polynomiale Abbildung nachgeschaltet, und zwar eine, die ein Polynom 3. Grades invertiert – ein Term, der dritte Wurzeln enthält. Die Mehrdeutigkeit dieses Wurzelausdrucks ist auch dafür verantwortlich, daß die Randkurven der höheren hyperbolischen Mengen nicht mehr zusammenhängend sind, sondern in so viele Zusammenhangskomponenten zerfällt, wie der Grad des Polynoms in c angibt. Es gilt jedoch: Je kleiner der Radius des Ausgangskreises und je weiter seine Peripherie vom Koordinatenursprung entfernt bleibt, desto geringer fallen die Abweichungen von einem exakten Kreis nach den beiden Transformationen aus. Hieraus können wir den Schluß (zumindest aber die begründete Vermutung) ziehen, daß die beiden spiegelsymmetrischen Knospen von \mathcal{H}_3 diejenigen unter den nicht-kardioidenförmigen hyperbolischen Mengen in der ganzen Mandelbrotmenge sind, die am stärksten von der exakten Kreisform abweichen.
Bild 11: Vergleich des kardioidenartigen Hauptkörpers des Satelliten innerhalb von \mathcal{H}_3 mit einer exakten Kardioide, die in der Symmetrieachse die gleiche Breite hat.
 
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