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Neuer Abschnitt in Konstruktion des regelmäßigen Siebzehn

Aufgaben für Interessierte

Für diejenigen, die sich mit der Konstruktion eingehender beschäftigen möchten, könnte ich folgende Übungen vorschlagen:

1.) Konstruktion durchführen

Jedem, der noch mit Zirkel und Lineal umzugehen weiß, würde ich empfehlen, die Konstruktion tatsächlich durchzuführen und damit zuerst einmal praktisch zu testen, ob es wirklich "passt". Natürlich würde sich auch etwa Geogebra für die Nachkonstruktion eignen.

2.) Verifikation (numerisch)

Genauer als durch zeichnerische Konstruktion kann man die Konstruktion durch Nachrechnen prüfen: man stellt die fortlaufend im Konstruktionsgang auftretenden wesentlichen Streckenlängen mittels Ausdrücken dar, die sich aus ganzen Zahlen und der \ \ \sqrt{17}\ \ durch geschachtelte Bruch- und Wurzelterme aufbauen. Sinnvollerweise geht man dabei z.B. von einem Umkreisradius r = 4 aus. Die einzelnen Schritte dabei sind eigentlich recht elementar (Pythagoras, Teilverhältnisse etwa bei Winkelhalbierenden) - die Schwierigkeit besteht in der Akkumulation der Bruch- und Wurzelterme. Man wird deshalb bald einmal gerne zum Rechner greifen und wenigstens noch numerisch nachprüfen, wie exakt man für P_3 bzw. für den Punkt D die richtigen Koordinaten findet, welche man auch auf anderem Weg trigonometrisch darstellen kann, nämlich ausgehend davon, dass \ \ |\overline{ZD}|\ =\ r*cos(\frac{6*\,\pi}{17})\ \ sein sollte, falls die Konstruktion korrekt ist.

3.) Nochmals vereinfacht: Näherungskonstruktion

Wenn man die Konstruktion praktisch durchführt, stellt man fest (falls man nicht ein sehr großes Blatt nimmt), dass die Punkte T und D anscheinend "praktisch identisch" sind. In der Tat sind sie dies aber doch nicht. Trotzdem können wir uns überlegen, wie genau die folgende weiter vereinfachte Konstruktion noch wäre: In der oben dargestellten Konstruktion verzichten wir einfach auf die Ausführung der Punkte (5.), (8.) und (9.) bzw. auf das Einzeichnen der Winkelhalbierenden AW sowie der beiden Hilfsbögen b und c . Anstatt von D aus ziehen wir die Strecke d dann ersatzweise vom Punkt T aus. Eine Aufgabe könnte also etwa darin bestehen, den Abstand zwischen den Punkten T und D zu berechnen. Man kann dann auch noch berechnen, welche relative Winkelabweichung beim Zentriwinkel \alpha\ =\ \angle OZP_3 entsteht, welcher exakt \frac{6\,\pi}{17} betragen sollte, wenn man die Konstruktion wie beschrieben abkürzt.

4.) Verifikation (exakt)

Wer sich mit obigen Vorschlägen für eine (nur) zeichnerische oder numerische Prüfung nicht begnügen kann, sieht sich natürlich vor der schwierigeren Aufgabe, sich mit den komplizierten Bruch- und Wurzeltermen herumzuschlagen, mit denen seinerzeit auch der junge Gauß umgehen musste. Auch für diese Aufgabe stehen uns heute allerdings geeignete Hilfsmittel zur Verfügung, etwa in der Form eines CAS wie in Mathematica.
 
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