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Neuer Abschnitt in Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungsk
Auch dies erwies sich als recht leicht. Zur Konstruktion wählte ich dann zwei mögliche Approximationen aus, nämlich: 1.) sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ \frac{20}{3}\, - \, 2\,\sqrt{10} 2.) tan\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ 2.6\, - \, \sqrt{5} Die Konstruktion nach der zweiten Formel gefiel mir besser, weil sie genauer ist und insbesondere auch, weil ich sie fast analog zu meiner vorherigen Näherungskonstruktion für das Siebeneck anordnen konnte. Wieder wählte ich den Umkreisradius r = 5 , um ohne Brüche als Ausgangswerte auszukommen. Die Konstruktion:
Man beginnt mit dem Umkreis mit dem Radius r = 5 und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O. Der obere Schnittpunkt des Umkreises mit der vertikalen Achse sei der Eckpunkt A des zu konstruierenden Neunecks. Man markiert die Punkte P(10|0) und Q(-3|0) auf der x-Achse. Man kann diese Punkte natürlich auch nach allen Regeln der Kunst konstruieren. Nun zeichnet man den Strahl PA sowie einen Kreisbogen um den Punkt P, der durch Q geht und diesen Strahl im Punkt S schneidet. Man kann nun (zuerst einmal rechnerisch) verifizieren, dass die Länge m der Strecke \overline{AS} fast exakt dem 5-fachen Tangenswert des Winkels 20° = \pi /\, 9 entspricht. Die Konstruktion geht so weiter, dass man die Streckenlänge m von A aus auf der Tangente nach rechts bis zum Punkt T abträgt und dann den Kreis um T mit Radius m mit dem Umkreis schneidet. So kommt man zum Eckpunkt I des Neunecks. Anschließend kann man die Figur durch wiederholtes Abtragen der Seitenlänge |\overline{AI}| entlang des Umkreises und z.B. durch Nutzung der Symmetrie bezüglich der y-Achse ergänzen. Die Genauigkeit der Näherung übertrifft auch hier die übliche Zeichengenauigkeit für geometrische Konstruktionen. Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge beträgt für diese Konstruktion ziemlich genau 0.1 Promille.
 
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