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Maßlosigkeit ist eine Sünde

Maßlosigkeit ist eine Sünde

Da die Lebesgueschen Räume und die Lebesguesche Integrationstheorie unumgänglich für eine adäquate Darstellung Wavelets sind, möchte ich kurz darlegen, in welchem Sinne ich die Notationen o.g. Räume und Folgenräume verwende: Je nach Zusammenhang werden selbige ohne Argument, mit dem zugrundeliegenden Maß, der zugrundeliegenden Algebra oder der ihr zugrundeliegenden (abstrakten) Menge oder letztendlich mit dem einem Tripel als Argument notiert. In dieser Reihenfolge gilt beispielweise für abstrakte Mengen X mit \sigma-Algebra \calA über X \frame \calL^p=\calL^p(\mu)=\calL^p(\calA)=\calL^p(X) =\calL^p(X, \calA, \mu):={f:X->\IK \| f \mu-meßbar und norm(f)_p < \inf}\frameoff Hier bildet \IK=\IR, \IC den zugrundeliegenden Skalarenkörper mit Abschluss \IK^^=\IR^-, \IC versehen mit der dazugehörigen \sigma-Algebra \calB^^:=\calB, \calB^2 . Ist p reell, so handelt es sich also um die Menge aller messbaren Funktionen f:X->\IK mit abs(f)^p \mu-integrierbar . Dabei ist \frame\ norm(f)_p:=(\int(abs(f)^p, \mu, X))^(1/p) für f \el L^p und 1 <= p < \inf norm(f)_\inf:=ess sup(x\el X,abs(f(x))) = inf{a >= 0 \| \mu({x: abs(f(x))>a})=0}\frameoff Der (topologische) Raum \calL^p ist jedoch lediglich ein halbnormierter Vektorraum und erfüllt insbesondere nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, wenn es nicht-leere \mu -Nullmengen gibt. Definiert man N als Menge aller messbaren Funktionen f:X->\IK mit f=0 \mu - fast überall , so kann man, da N ein Unterraum von \calL^p ist, den Quotientenraum L^p:=\calL^p \/N, 0 < p <= \inf betrachten. Dabei werden zwei Funktionen (als Elemente der Nebenklassen f+N ) f, g \el L^p als gleich, d.h. einer Äquivalenzklasse angehörend, angesehen, wenn sie fast überall gleich Null sind, d.h. norm(f-g)_p=0 gilt. Nun werden Operationen (wie z.B. Addition und skalare Multiplikation) auf Vertretern der Äquivalenzklassen durchgeführt und L^p wird zu einem normierten Vektorraum über \IK . Ist nun F \el L^p so ist norm(f)_p für alle (Vertreter) f \el F gleich und es gilt norm(F)_p=0 <=> F=0 ; das Hausdorffsche Trennungsaxiom ist hier erfüllt.
Jede wie oben definierte Norm induziert eine invariante Metrik via d_p(x,y):=norm(x-y)_p und für 1 <= p <= \inf ist der metrische Raum (L^p, d_p) vollständig. Im Spezialfall p=2 wird durch das innere Produkt :=\int(f g^-, \mu, X) mit f, g \el L^2(\mu) der L^2 zu einem Hilbert-Raum. Allgemein kann man die abstrakt gegebene Menge X natürlich auch konkret wählen, wie wir es später häufig tun werden, z.B. X=\IR , oder in ähnlicher Weise X=[a, b] \subset \IR (näheres hierzu entnehme man Büchern über Maß- und Integrationstheorie).
Analog dazu gibt es Folgenräume, die durch konkrete Wahl von \mu als Zählmaß auf I=\IN oder \IZ erzeugt werden: l^p(I) := {x:I->\IK \| norm(x)_p < \inf} Dabei sind gleichfalls die Normen definiert: \frame\ norm(x)_p := (sum(abs(x_n)^p, n \el I))^(1/p) für 1 <= p < \inf norm(x)_\inf := sup(n \el I, abs(x(n)))\frameoff und ebenso kann man für p=2 den Hilbertschen Folgenraum spezifizieren, der durch das Skalarprodukt =sum(x_i y^-_i, i \el I) mit x, y \el l^2(I) zum Hilbertraum wird. Zwei Zahlen p, q mit 1 <= p, q <= \inf, 1/p+1/q=1 nennt man konjugierte Exponenten. Für solche gilt für meßbare Funktionen f,g:x->\IK^^ die
Höldersche Ungleichung: \frame\ \red norm(fg)_1 <= norm(f)_p norm(g)_q . Dies ist klar im Falle p=\inf oder q=\inf, ebenso wenn norm(f)_p=0 oder norm(g)_q=0 (=> f*g=0 \mu-fast-überall). Interessant ist der Fall 1 < p,q < \inf und 0 < norm(f)_p, norm(g)_q < \inf. Es ist (ohne Beweis) ab <= 1/p*a^p + 1/q*b^q \forall a,b \el [0,\inf]. Wir setzen a:=abs(f)/norm(f)_p , b=abs(g)/norm(g)_q und integrieren über X, was zusammen mit der letzen Ungleichung die Höldersche Ungleichung beweist.\frameoff Aus dieser lässt sich unter anderem eine Inklusion der \calL^p, bzw. L^p-Räume herleiten: \frame\Im Fall 0 < p < q < \inf sei dazu r:=q/p und s:=(1-1/r)^(-1) definiert; damit sind r und s konjugierte Exponenten. Wir schauen uns an, was die Höldersche Ungleichung, angewendet auf abs(f)^p und auf die 1-Funktion macht (wobei f \el \calL^q): \int(abs(f)^p, \mu, X) <= (int(abs(f)^pr , \mu, X))^(1/r) * (\mu(x))^(1/s) Daraus folgt norm(f)_p <= (\mu(x))^(1/p-1/q) norm(f)_q sowie f \el \calL^p, und das bedeutet nichts anderes, als dass Konvergenz in \calL^q auch Konvergenz in \calL^p mit sich zieht bei gleichem Limes. Absolut unerlässlich ist dabei die Endlichkeit des Maßes \mu!!. Das Resultat ist also: Ist 0 < p < q < \inf und \mu(X) < \inf, so ist \calL^q \subset \calL^p\frameoff
 
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