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Beweis
\(\usepackage{setspace}\)

Beweis

Die entscheidende Beweisidee ist folgende: Wäre obiges c als Lösung eine nicht näher spezifizierte Zahl q, dann gibt es natürlich für a und b jeweils q-adische Darstellungen. Diese seien \[a=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i q^i\] \[b=\sum \limits_{j=0}^{m} b_j q^j\] Wir setzen nun in \(c\cdot (ab+1)=q\cdot (ab+1)=a^2 +b^2\) diese beiden Darstellungen ein und machen einen Koeffizientenvergleich zwischen den so entstehenden Polynomen in q. Man erhält \((1+a_0 b_0 )q +(a_0 b_1 +a_1 b_0 )q^2 +(a_0 b_2 +a_1 b_1 +a_2 b_0)q^3 + ... =a_0^2 +b_0^2 +2(a_0 a_1 +b_0 b_1 )q+(2a_0 a_2 +a_1^2 +2b_0 b_2 +b_1^2 )q^2 +...\) Daraus erhält man zunächst \(a_0^2 +b_0^2 =0\) und damit \(a_0 =b_0 =0\). Aber schon die Koeffizienten von q können nicht gleich werden, d.h. um die gesamte Gleichung doch noch erfüllen zu können, müsste \(q=0\) gesetzt werden, es wäre also a = b = c = 0; c kann also nicht einfach irgendeine natürliche Zahl sein. Lt. Aufgabenstellung ist sie das auch nicht, wir setzen also \(c=q^2\) an, die q-adischen Darstellungen von \(a\) und \(b\) bleiben. Diese eingesetzt in nunmehr \(q^2 (ab+1)=a^2 +b^2\) ergibt: \((1+a_0 b_0 )q^2 +(a_0 b_1 +a_1 b_0 )q^3 +(a_0 b_2 +a_1 b_1 +a_2 b_0)q^4 + ... =a_0^2 +b_0^2 +2(a_0 a_1 +b_0 b_1 )q+(2a_0 a_2 +a_1^2 +2b_0 b_2 +b_1^2 )q^2 +...\) und im Koeffizientenvergleich zunächst ebenfalls \(a_0^2 +b_0^2 =0\) und damit \(a_0 =b_0 =0\). Aber schon für die nächsten Koeffizienten gilt \(a_1^2 +b_1^2 =1\), also insbesondere (o.B.d.A. wegen der Symmetrie zwischen und a und b) \(a_1^2=1\) und \(b_1=0\). Das aber bedeutet bereits, es könnte Lösungspaare (a,b) geben für die die in der Aufgabenstellung behauptete Eigenschaft zutrifft. Um den Beweis abzuschließen, müssen wir noch prüfen, dass es für \(c=q^l\) mit \(l>2\) keine Lösungen gibt. Wir setzen also \((1+a_0 b_0 )q^l +(a_0 b_1 +a_1 b_0 )q^{l+1} +(a_0 b_2 +a_1 b_1 +a_2 b_0)q^{l+2} + ... =a_0^2 +b_0^2 +2(a_0 a_1 +b_0 b_1 )q+(2a_0 a_2 +a_1^2 +2b_0 b_2 +b_1^2 )q^2 +...\) Hier erhält man, wie man leicht sieht, in Folge stets \(a_k^2 +b_k^2 =0\) und damit \(a_k =b_k =0\) für alle \(k\ge 0\), sprich auch hier erhält man lediglich die trivialen Lösungen a = b = c = 0. Wir können also letztlich sagen, dass, wenn c überhaupt eine natürliche Zahl ist, diese eine Quadratzahl sein muss. q.e.d. Sei (a,b) ein nichttriviales Lösungspaar der Gleichung (1) \(\frac{a^2+b^2}{ab+1}=c\) (also \(c>1\)). Dann lässt sich aus diesem Paar eine Folge \(g(c)=\{g_i, i\in \IZ\}\) ganzer Zahlen erzeugen, für die gilt \(\frac{g_i^2+g_{i+1}^2}{g_i g_{i+1} +1}=c\) (2) mit stets demselben c. Beweis: Sei o.B.d.A. \(a>b\), dann lässt sich ein \(a'>a\) aus \(\frac{a'^2+a^2}{a'a+1}=c\) wie folgt berechnen. Umgestellt ergibt sich die quadratische Gleichung \(a'^2-aca'+a^2-1=0\) für a'. Setzen wir für \(c=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\) ein, lässt sich diese quadratische Gleichung elementar lösen mit den Ergebnissen \(a'=b\) (für uns ungeeignet, weil \(a'>a\) sein soll) und \(a'=\frac{a^3-b}{ab+1}\). Dieser Wert ist tatsächlich größer als a und er ist ganzzahlig, wie man nach einer kurzen Umrechnung feststellen kann. Dazu wird im Zähler \(ab^2-ab^2\) "addiert", was \(a'=ac-b\) ergibt. Analog lässt sich ein \(b'a' bzw. b''hier). Deshalb berechnen wir jetzt insbesondere \(g_0\), also den kleinsten nichtnegativen Wert (die \( g_i\) für alle \(i<0\) sind negativ, entsprechend sind die \( g_i\) für alle \(i\ge0\) nichtnegativ). Dies erschliesst sich erstaunlich leicht durch folgende Überlegung: es ist \( g_0=0\). Wäre dies nämlich nicht der Fall, dann gäbe es mit \(g_0\) und \(g_{-1}\) zwei Nachbarn für die die obige Gleichung (2) entgegen ihrer Konstruktion nicht gelten würde. Negative und positive Werte von g(c) liegen also symmetrisch bzgl. der Null. Für \(g_1\) setzen wir nun einfach und vor allem in aller Allgemeinheit q. Die nichtnegativen Werte von g(c) ergeben sich damit als die bereits unten in den Kommentaren von mir angegebenen \( f_k(q)\). Weitere Lösungen gibt es nicht. Und insbesondere ist mit \(\frac{g_1^2+g_0^2}{g_1g_0+1}=q^2=c\) nun auch gezeigt, dass c stets eine Quadratzahl ist. q.e.d.
 
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