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Mit dem Beweis haben wir aber noch mehr gewonnen, nämlich eine Möglichkeit zur Konstruktion von a und b. Damit können wir dann auch zeigen, ob c überhaupt eine natürliche Zahl sein kann (ausser für die trivialen Fälle). Dabei ist folgendes zu berücksichtigen: 1. n und m müssen endlich sein, d.h. sie müssen terminiert werden. Dabei gehen wir so vor, dass wir peu á peu für a das Laufindexende n auf 1, dann auf 2, 3 usw. setzen, sprich es werden dadurch jeweils alle anderen \(a_i =0\) für \(i>n\). Daraus ermitteln wir, wenn möglich, das zugehörige b. 2. Natürlich ist die q-adische Darstellung eindeutig und die Koeffizienten sind die möglichen Reste der Division durch q, also die Ziffern 0, 1, 2, ..., q-1; es wäre also bspw. \((q-1)\cdot q^2\) eine solche Zahl. Da q aber unbekannt ist, könnte dies als \(-q^2 +q^3\) erscheinen, sprich wir lassen auch negative ganzzahlige Koeffizienten zu. Sollte es Lösungen mit negativen ganzen Zahlen geben, dann sind diese leicht in korrekter q-adischer Darstellung angebbar. Daher sind insbesondere zwei Fälle zu beachten nämlich \(a_1=1\) und \(a_1=-1\), in beiden Fällen ist \(b_1=0\). Für \(n=1\) und \(a_1=1\) (also \(a_i=0\) für \(i>1\)) finden wir folgende Gleichungen für die jeweiligen Koeffizienten: \(q^3 : a_0 b_1 +a_1 b_0 =0=2(a_0 a_3 +a_1 a_2 +b_0 b_3 +b_1 b_2 )\), was erfüllt ist. \(q^4 : a_0 b_2 +a_1 b_1 +a_2 b_0 =0=2a_0 a_4 +2a_1 a_3 +a_2^2 +2b_0 b_4 +2b_1 b_3 +b_2^2\), was \(b_2=0\) ergibt. \(q^5\) : erfüllt sich aus dem bisherigen zu 0, ergibt also nichts Neues. \(q^6\) : ergibt \(b_3 = b_3^2\), also \(b_3=1\). Alle anderen \(b_i=0\) für i > 3. D.h. unsere erste Lösung lautet \(a=q\) und \(b=q^3\) für beliebige q (bspw. a=2 und b=8 wäre das erste nichttriviale Beispiel und ergibt 4). Ganz analog erhält man \(a=-q+q^5\) und wiederum \(b=q^3\), hier wäre a=30, b=8 das erste Beispiel.
 
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