Bei Penrose-Parketten wird zwischen drei Varianten unterschieden. Das originale Penrose-Parkett (P1), bestehend aus sechs Protokacheln, die sich wiederum auf vier Protokacheln reduzieren lassen (Fünfeck, Stern, Raute und Boot), das Drachen-und-Pfeil-Parkett (P2), sowie das Rauten-Parkett (P3), welche je aus nur zwei Protokacheln bestehen. Alle drei Varianten sind gegenseitig lokal voneinander ableitbar. Im Englischen wird dafür die Abkürzung MLD (mutually locally derivable) verwendet. Zwei Parkettierungen gehören genau dann zur selben MLD-Klasse, wenn eindeutige Regeln existieren, die es ermöglichen, das eine Parkett aus dem anderen zu konstruieren. Dies kann z. B. durch eine Modifikation der Kanten oder eine Dekoration der Protokacheln geschehen. Abb. 1 Untersuchungsgegenstand für diesen Artikel war die folgende Frage: Welches sind die zwei kleinstmöglichen zusammenhängenden Ausschnitte aus der P3-Parkettierung, die selbst einen aperiodischen Kachelsatz bilden und ohne zusätzliche Regeln, die das korrekte Zusammenfügen sicherstellen, wieder zwingend zu einer P3-Parkettierung führen? Die dekorierten Protokacheln $T_2$ und $T_3$ in Abbildung 2 geben eine Antwort auf diese Frage. Es existieren allerdings noch endlich viele weitere Lösungen, deren genaue Anzahl nicht bekannt ist. Wegen der geforderten Zusammenhängigkeit im Sinne einer abgeschlossenen topologischen Scheibe dürften es aber nicht besonders viele sein. Die hier gezeigten Beispiele wurden wegen ihrer äußeren Form gewählt, die im weiteren Verlauf noch eine Rolle spielen wird. $T_1$ ist leider nicht zusammenhängend. $T_3$ setzt sich aus einem $T_1;T_2$ Paar zusammen. Die Kachelsätze aus $T_1;T_2$ bzw. $T_2;T_3$ führen jeweils ohne Zusammenfügungsregeln zwingend zu einer P3-Parkettierung. Beschränkt man den Kachelsatz nicht nur auf zwei Protokacheln, sind natürlich weitere und kleinere Lösungen möglich. Abb. 2 Parkettierungen wie P2 und P3 besitzen eine skalierende Selbstähnlichkeit, wie sie sich auch bei Fraktalen findet. Grund dafür sind die Substitutionsregeln, die es ermöglichen, jede Kachel in kleinere Versionen der Protokacheln zu zerlegen. So können größere Kacheln aus kleineren zusammengesetzt werden. Dabei sind Penrose-Kacheln stark mit der Fibonacci-Folge verbunden. So ist zum Beispiel das Verhältnis zwischen beiden Protokacheln, die eine größere Kachel parkettieren können, immer durch eine Zahl dieser besonderen Folge gegeben. Dieses Verhältnis findet sich auch in den Kacheln aus Abbildung 2 wieder. $T_1$ besteht aus 5 schmalen und 8 breiten Rauten, $T_2$ aus 8 schmalen und 13 breiten Rauten, und $T_3$ - wenig überraschend - aus 13 schmalen und 21 breiten Rauten. Die Abbildungen 3 und 4 zeigen die Anordnungen für $T_1;T_2$ bzw. $T_2;T_3$ basierend auf der übergeordneten Drachen- und Pfeilform (rot gestrichelt). Die Anwendung der Substitutionsregeln für die P2-Parkettierung (Abb. 11) führt dann zu einem quasiperiodischen Parkett. Die Anordnung für die Pfeilform (rechts) findet sich vollständig in der Drachenform (links) wieder. Abb. 3 (ohne Dekoration) Abb. 4 (mit Dekoration) Die gestrichelten Drachen- und Pfeilformen lassen sich auch vollständig mit Rauten dekorieren, wofür aber auch diagonal halbierte Rauten an den gestrichelten Kanten zugelassen werden müssen. Auch die so dekorierten P2-Kacheln ergeben eine exakte P3-Parkettierung, wobei sich die halbierten Rauten wieder zu vollständigen Rauten ergänzen.