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Perfekte Paarung

Eine perfekte Paarung

Sei $0 \leq k \leq n$. Wenn $X$ eine Menge mit $n$ Elementen ist und $\binom{X}{k}$ die Menge der $k$-elementigen Teilmengen von $X$ bezeichnet, dann hat man eine Bijektion $\binom{X}{k} \longrightarrow \binom{X}{n-k}$, $T \mapsto X \setminus T$. In diesem Abschnitt formulieren wir eine linear-algebraische Version dieser Bijektion1. Sei $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Mit der universellen Eigenschaft der äußeren Potenz lässt sich eine natürliche lineare Abbildung $\nabla : \Lambda^k(V) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\Lambda^{n-k}(V),\Lambda^n(V))$ definieren durch $(1) \qquad \nabla(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k)(w_1 \wedge \cdots \wedge w_{n-k}) := w_1 \wedge \cdots \wedge w_{n-k} \wedge v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$. Dazu muss man sich klarmachen, dass der Ausdruck $w_1 \wedge \cdots \wedge w_{n-k} \wedge v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ multilinear und alternierend jeweils von $v_1,\dotsc,v_k$ und von $w_1,\dotsc,w_{n-k}$ abhängt, was klar ist. Satz 2. $\nabla$ ist ein Isomorphismus2. Wir können das mit Basen testen: Sei $(b_1,\dotsc,b_n)$ eine Basis von $V$. Dann erhalten wir die Basis $(b_{i_1} \wedge \cdots \wedge b_{i_k})$ von $\Lambda^k(V)$, indiziert durch alle $i_1 < \cdots < i_k$. Nun ist $\nabla(b_{i_1} \wedge \cdots \wedge b_{i_k})$ per Definition die lineare Abbildung $\Lambda^{n-k}(V) \longrightarrow \Lambda^n(V)$ mit $w_1 \wedge \cdots \wedge w_{n-k} \mapsto w_1 \wedge \cdots \wedge w_{n-k} \wedge b_{i_1} \wedge \cdots \wedge b_{i_k}$. Werten wir diese lineare Abbildung auf einem typischen Basisvektor $b_{j_1} \wedge \cdots \wedge b_{j_{n-k}}$ aus, so erhalten wir $0$ wenn $j_p=i_q$ für gewisse $p,q$. Ansonsten ist $\{j_1,\dotsc,j_{n-k}\}$ im Komplement von $\{i_1,\dotsc,i_k\}$ in $\{1,\dotsc,n\}$ enthalten, aus Kardinalitätsgründen sogar gleich dem Komplement. Das Bild ist dann $b_{j_1} \wedge \cdots \wedge b_{j_{n-k}} \wedge b_{i_1} \wedge \cdots \wedge b_{i_k} = \pm b_1 \wedge \cdots \wedge b_n$. Bis auf Vorzeichen ist $\nabla(b_{i_1} \wedge \cdots \wedge b_{i_k})$ also der duale Basisvektor $(b_{j_1} \wedge \cdots \wedge b_{j_{n-k}})^*$. (Den Begriff der dualen Basis können wir verwenden, indem wir hier den Isomorphismus $K \longrightarrow \Lambda^n(V)$, $1 \mapsto b_1 \wedge \cdots \wedge b_n$ anwenden, also letztlich im Dualraum von $\Lambda^{n-k}(V)$ arbeiten.) Also bildet $\nabla$ eine Basis auf eine Basis ab und ist damit ein Isomorphismus. $\checkmark$ 1Tatsächlich kann man mit einem allgemeineren Körperbegriff auch den Körper mit einem Element $\IF_1$ definieren, und lineare Algebra über $\IF_1$ ist dann dasselbe wie Kombinatorik. Der Isomorphismus $\nabla$ ist für $K=\IF_1$ tatsächlich identisch mit der zuvor genannten Bijektion! 2Wir werden das nicht brauchen, aber man kann dieses Resultat auch so formulieren, dass die zu $\nabla$ gehörige lineare Abbildung $\Lambda^{n-k}(V) \otimes \Lambda^k(V) \longrightarrow \Lambda^n(V)$ (die Teil der Multiplikation der äußeren Algebra $\Lambda(V)$ ist) eine perfekte Paarung ist.
 
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