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Mathematisches

Mathematisches

Wachstumsfunktion und Änderungsraten Um Wachstum zu beschreiben werden zwei verschiedenartige Funktionen verwendet. Die eigentliche Wachstumsfunktion beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Bestandes. Man kann damit beispielsweise angeben, wieviel Kupfer insgesamt bereits gefördert wurde. Diese Funktion wächst monoton, da jede geförderte Menge addiert wird. Es könnte sich natürlich auch in die andere Richtung entwickeln. So wächst die Weltbevölkerung insgesamt zwar, aber beispielsweise in Japan schrumpft sie seit einigen Jahren wieder. Die Kurve des Bestands kann also auch ein Maximum aufweisen. An Stelle der Bestandsfunktion werden oft auch Wachstumsraten angegeben, also Grössen, die aus der Ableitung der Wachstumsfunktion gebildet werden, also die Wachstums- oder Änderungsrate. Bei der Bevölkerungszahl verwendet man die Wachstumsrate in Form der prozentualer Änderung pro Jahr. Die absolute Änderungsrate wird hingegen verwendet, um die Jährliche Förderung eines Rohstoffes wie Kupfer anzugeben. Bei der Corona Epidemie werden die wöchentlichen oder täglichen Neuinfektionen bekannt gegeben, also ebenfalls eine absolute Änderungsrate. Beim logistische Wachstum ist der Start exponentiell. Mit der Zeit erschöpfen sich dann die Ressourcen und das Wachstum flacht ab. Der Gesamtbestand nähert sich asymptotisch einer Grenze. Das Resultat ist eine S-förmige Kurve, die Funktion wird deshalb auch als Sigmoidfunktion bezeichnet. Diese ist eine differenzierbare, reelle Funktion, beschränkt monoton und hat genau einen Wendepunkt. Die Ableitung der Sigmoidfunktion, die Änderungsrate hat immer einen "Buckel" oder "Berg", also genau ein lokales Maximum und kein lokales Minimum. Aufgrund ihrer Form wird auch der Begriff Glockenkurve verwendet.
Auch wenn hier in erster Linie das logistische Wachstum betrachtet wird, soll noch erwähnt werden, dass es viele weitere Sigmoidfunktionen gemäss der Definition gibt. Darunter der Arcustangens, der Tangens hyperbolicus, die Fehlerfunktion oder einfache algebraische Funktionen wie \({\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\). Diese können das geeignete Werkzeug sein, um Messwerte zu approximieren, die zu einer Grösse mit Sättigungseffekt gehören. Die Differentialgleichung Je nach Anwendungsgebiet variiert die Schreibweise der logistischen Differentialgleichung. Wird nicht eine spezielle Anwendung betrachtet ist folgende Form üblich: \(y'(t)=k\cdot y(t)\cdot \left(G-y(t)\right)\) Der erste Teil der Gleichung definiert eine Exponentialfunktion. Diese wird aber begrenzt durch den Term \(\left(G-y(t)\right)\). G steht für die obere Schranke und k für die Proportionalitätskonstante oder logistische Wachstumsrate. Die Gleichung mit den Anfangsbedingungen \(t_0\) und \(y_0\) hat die Lösung: \(y(t)=G/\left( 1+\left(\frac{G}{y_0}-1\right) e^{-Gk(t-t_0)}\right)\) Wie die Gleichung gelöst werden kann findet sich hier. Wendepunkt Wie bereits gesagt, hat die Kurve einen Wendepunkt, bei dem die halbe Sättigungsgrenze erreicht wird: \(y(t_W)=G/2\) und \(t_W=t_0+\frac{ln(G/y_0-1)}{kG}\) Beim Wendepunkt ist die absolute Änderungsrate am Grössten: \(y'(t_W)=\frac{kG^2}{4}\) Exponentielles Anfangswachstum Aus der Definitionsgleichung \(y'(t)=k\cdot y(t)\cdot \left(G-y(t)\right)\) lässt sich das Anfangswachstum \(y'(y\ll G)\approx k\cdot G \cdot y\) unmittelbar herauslesen. Zu beachten gilt, dass aufgrund der Definition auch die obere Schranke G mit eingeht, auch wenn sie im Anfangsbereich keine Rolle spielt. Dies muss man berücksichtigen, wenn man das Anfangswachstum der logistischen Gleichung mit anderen exponentiellen Wachstumsfunktionen ohne Schranke vergleicht. Ableitung Bilden wir die zeitliche Ableitung der logistischen Gleichung, so erhalten wir die Änderungsrate: \(y'(t)=G^2 k \left(\frac{G}{y_0}-1\right)e^{-Gk(t-t_0)}/\left( 1+\left(\frac{G}{y_0}-1\right) e^{-Gk(t-t_0)}\right)^2=G^2 k/\left(\frac{y_0}{G-y_0}e^{Gk(t-t_0)}+2+\frac{G-y_0}{y_0} e^{-Gk(t-t_0)}\right)\) welche bereits weiter oben in der "Buckelkurve" visualisiert wurde. Gaußverteilung Die Kurve der Gaußverteilung und die Änderungsrate der logistischen Gleichung sehen sich sehr ähnlich, wie in der Darstellung unten zu sehen ist.
Der Unterschied der Kurven liegt vor allem darin, dass die Kurve der logistischen Änderungsrate zu grossen Beträgen von t exponentiell abfällt, die Normalverteilung jedoch quadratisch exponentiell. Es fragt sich, ob die Gauß-Verteilung nicht auch das passende Modell für gewisse Situationen sein kann. Hinter der Modellbildung der folgenden Beispiele stehen keine physikalischen Grundgesetzte, sondern viele überlagerte Einflüsse, die nur in ihrer Summe betrachtet werden. Es kann daher auch gerechtfertigt sein die statistische Gaußverteilung zu verwenden. Als Beispiel sei ein Goldrausch genannt. Der Verlauf der Goldförderung folgt einer Glockenkurve. Dies lässt sich mit der logistischen Gleichung begründen. Am Anfang steigt die Goldförderung, da immer mehr Goldgräber tätig werden und sich auch die Infrastruktur verbessert. Mit der Zeit erschöpfen sich die Quellen und die Förderung geht zurück. Aus der Sicht des Goldgräbers handelt es sich eher um eine Frage des Zeit. Für ihn ist es wichtig, dass er den richtigen Zeitpunkt erwischt. Kommt er zu früh an, ist er auf sich alleine gestellt und er muss sich vor allem um sein Überleben kümmern, kommt er zu spät ist das meiste Gold schon weg. Die Modellbildung ist also immer auch mit einer individuellen Gewichtung der Einflüsse verbunden. Alternative Darstellungen Nicht immer ist obige Form praktisch. Je nach Anwendungsgebiet verwendet man daher Darstellungen, bei denen die interessierenden Variablen explizit eingebaut sind. Daher stehen hier die Definitionen in Kurzform. Eine genauere Erklärung folgt in den entsprechenden Kapiteln. In der Epidemiologie wird die Reproduktionszahl \(R\) verwendet. Solange nur ein kleiner Teil der Bevölkerung immun ist benötigt man nur den exponentiellen Anfangs-Anstieg. Die Lösung der Gleichung für die absolute Änderungsrate (Buckelkurve) wird vereinfacht zu: \(I(t)=R^{t/T}\) Wobei I die Infektionsrate ist und T der Zeitraum, indem die Krankheit ansteckend ist. Die Reproduktionsrate sagt aus, wie viele Personen durch eine erkrankte Person (im Zeitraum T) angesteckt werden. Um den Abbau von Ressourcen zu beschreiben wird folgende Form verwendet: \({\displaystyle {\frac {dQ(t)}{dt}}=P(t)=r\cdot Q(t)\cdot \left(1-\frac{Q(t)}{URR}\right)\!}\) Q(t): Bestand zum Zeitpunkt t (bereits geförderte Menge eines Minerals,usw.) P(t): Bestandsänderung (Förderquote) URR: Ultimately Recoverable Resource (Das gesamte förderbare Volumen) r: Proportionalitätskonstante (viele weitere Bezeichnungen sind gebräuchlich)
 
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