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Reproduktionszahl

Beispiel 1: Immunologie: Mit sanftem Anstieg zur Reproduktionszahl

Reproduktionszahl Man hört es immer wieder: Die Reproduktionszahl R muss unter Eins sinken. Intuitiv verstehen das die meisten, die schon einmal mit Exponentialfunktionen in Kontakt gekommen sind. Doch nach den genauen Definitionen muss man etwas suchen. Für die Anfangsphase der Epidemie habe ich folgenden Ausdruck gefunden: \(I(t)=R^{t/T}\) Die Grösse I steht für die Neuinfektionen. R ist die Anzahl der Leute, die eine infizierte Person im Schnitt ansteckt. Die Zeitspanne T, in der die Infektion weitergegeben wird, ist etwa eine Woche (5...7 Tage). Die Zeit t wird daher auch in Tagen gemessen. Mit I wird nicht die Wachstumsfunktion betrachtet, also die Entwicklung der insgesamt Erkrankten, sondern die Änderungsrate. Ist die Reproduktionszahl beispielsweise 2 und starten wir bei zwei Erkrankten, so sind es nach einer Woche 4, nach zwei Wochen 8 Neuerkrankungen usw.. Die Änderungsrate sinkt mit der Zeit wieder, wenn genügend Leute angesteckt sind. Dies wird weiter unten im Abschnitt "Herdenimmunität" behandelt. Manchmal wird auch die Basisreproduktionszahl \(R_0\) genannt (siehe hier). Diese beschreibt das Potential des Erregers, bei ungehemmter Ausbreitung und liegt bei SARS-CoV-2 bei ca. 3.5. \(R_0\) bleibt konstant, solange sich der Erreger nicht ändert. Die effektive Reproduktionszahl R kann mit Kontaktbeschränkungen gesenkt werden, sinkt aber auch wenn der Erreger keine "Nahrung" mehr findet, also wenn die meisten Personen schon immun sind. Die Reproduktionszahl kann noch unterteilt werden in \(R=\kappa \cdot q\cdot D\) wobei \(\kappa\), für die Anzahl der Kontakte eines Infizierten pro Zeiteinheit steht, \(D\), für die mittlere Dauer der Infektiosität und \(q\), für die Wahrscheinlichkeit der Infektion bei Kontakt. Siehe auch hier Hiermit erkennt man auch die Grenzen des Modells. Bei den einzelnen Grössen handelt es sich um Durchschnittswerte. Die Erfahrung zeigt aber, dass oft wenige Personen, sogenannte Superspreader, viele weitere Personen anstecken. Als erster Ansatz ist die Exponentialgleichung sicher gut geeignet, um die Anfangsentwicklung einer Epidemie einzuschätzen. Der Nachteil ist, dass alle Einflüsse in einer einzigen Reproduktionszahl zusammengefasst werden. Wenn man aber die richtigen Massnahmen treffen will, sollte man differenziertere Modelle zur Grundlage nehmen. Eine solches Modell ist auf der Webseite des Physikers Niayesh Afshordi zu finden. Umrechnung der Exponentialfunktionen Obige Gleichung für die Änderungsrate ist auf eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(R\) zurückzuführen. Die Summe aller je Erkrankten ist dann die Summe der entsprechende Reihe. Bei der logistischen Gleichung hatten wir als Basis der Exponentialfunktionen hingegen \(e\) verwendet. Man kann die Gleichungen ineinander umrechnen, sieht aber schnell, wieso jede Anwendung ihre eigene Form bevorzugt. Die Anfangssteigung (Änderungsrate bzw. Neuinfektionen) bei der logistischen Gleichung ist: \(y'= kG\cdot y=kG\cdot e^{kG(t-t_0)}\) Dies wird nun gleichgesetzt mit der Infektionsgleichung: \(I(t)=R^{t/T}=kG\cdot e^{kG(t-t_0)}\), beziehungsweise \(I(t)=e^{ln(R)\cdot t/T}=e^{ln(kG)}\cdot e^{kG(t-t_0)}\) Durch den Vergleich der Exponenten erhält man: \(ln(kG)=kG\cdot t_0\) und damit \(t_0=\frac{ln(kG)}{kG}\cdot \) und \(kG=ln(R)/T\) Herdenimmunität Bisher haben wir den exponentiellen Anfangsanstieg betrachtet. Wachstum ist aber immer beschränkt, vielleicht mal abgesehen vom Universum. Bei der logistischen Gleichung wird das Wachstum zwar immer geringer, braucht aber asymptotisch alle Ressourcen auf. Dies ist in der Immunologie nicht ganz der Fall. Die Krankheit "hungert aus" bevor die ganze Bevölkerung angesteckt ist. Man hat es also nicht exakt mit dem logistischen Wachstum zu tun. Auf den ersten Blick erscheint das Problem recht knifflig, ist aber für unser einfaches Modell leicht zu bestimmen. Die Grenze ist erreicht, wenn die Reproduktionszahl unter 1 sinkt. Oben wurde gezeigt, wie diese Zahl zusammengesetzt ist: \(R=\kappa \cdot q\cdot D\) uns interessiert \(q\), für die Wahrscheinlichkeit der Infektion bei Kontakt. Diese Wahrscheinlichkeit sinkt mit dem Anteil der immunen Personen. Es muss also werden: \(R=1=R_0\cdot(G-y)/G=R_0\cdot(1-G/y)\) , wobei G die Bevölkerungszahl bezeichnet und y/G den Anteil der Immunen. Die Gleichung wird umgestellt und wir erhalten den immunisierten Anteil der Bevölkerung, der zur Erreichung der Herdenimmunität nötig ist: \(y/G=1-1/R_0\) Das heisst nicht, dass man nicht mehr angesteckt werden kann, sondern nur, dass die Reproduktionszahl R<=1 wird. Es sind keine Massnehmen mehr nötig um die Epidemie zu stoppen, daher wird die Basisreproduktionszahl \(R_0\) verwendet. Da diese momentan bei ca. 3.5 liegt, wird die Herdenimmunität bei etwa 70% Durchseuchung erreicht. Dies gilt natürlich nur, wenn die Immunität erhalten bleibt. In der Zwischenzeit sind leider neue Mutationen in Umlauf geraten, mit höheren Reproduktionszahlen. Mutanten Mittlerweile sind neue Formen des Virus aufgetaucht. Diese seien ansteckender. Aus diesem Grund wurde die Reproduktionszahl für diese Varianten heraufgesetzt, also beispielsweise von 3 auf 6. Doch dann hat man gemerkt, dass die neuen Varianten nicht ansteckender sind, sondern dass die ansteckende Phase länger dauert, also die Genartionenzeit steigt bei gleichbleibender Ansteckungsrate. Eingesetzt in die Formel ergibt sich: \(I_M(t)={R_M}^{t/T}=6^{t/10d}\). Diese mutierte Gleichung zeigt aber ein Problem auf; die neue Steigerungsrate ist geringer als die vom nicht mutierten Virus, denn die Reproduktionszahl des nicht mutierten Virus könnte man auch folgendermassen schreiben: \(I_n(t)={R_n}^{t/T_n}=3^{2*t/10d}\), beziehungsweise \(I_n(t)=9^{t/10d}\). Natürlich stecken sich mehr Leute an, wenn die infektiöse Phase länger dauert, im Widerspruch zum mathematischen Modell. Woran liegt das? Die Reproduktionsgleichen lässt den Verlauf während der ansteckenden Phase unberücksichtigt. Man tut so, als würden alle Ansteckungen am Ende einer gewissen Zeitspanne erfolgen und dann wieder einige Tage nichts geschehen. Aus diesem und ähnlichen Gründen gibt es Modelle, die die Ansteckungsphase und den Krankheitsverlauf genauer mit einfliessen lassen: SI-Modell: Keine Gesundung SIS-Modell: keine Immunitätsbildung SIR-Modell: Immunitätsbildung berücksichtigt SEIR-Modell: mit Immunitätsbildung, nach der Infektion nicht sofort infektiös Wie auch bei den folgenden Beispielen zeigt sich hier: Es gibt zwar gute und nützliche Näherungen für Prognosen, doch die Realität ist einiges komplizierter.
 
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