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Vorschau:
S. 3 u. 4
Während ein Wasserteilchen also einmal in Fahrtrichtung kreist, kreist es knapp dreimal quer dazu (s. Abb. 4 u. 5). Dieses Verhältnis passt zum Erscheinungsbild der Wellengruppe. Wenn man über die Bordwand eines Schiffes schaut, kann man die abgebildete Bewegung erahnen. Es handelt sich um eine dreidimensionale Lissajousche Figur. Weil das Verhältnis der Umlaufzeiten nicht ganzzahlig ist ( T_v: T_w=2,83 ) , erfolgen die Bewegungen nach einem ganzen Umlauf jeweils verschoben (2. Umlauf s. Abb. 4, dünner Strich), wobei die Schnittpunkte S auf dem Zylinder umlaufen. Nach vielen Umläufen ist dann die ganze Zylinderoberfläche regelmäßig mit den Bahnen bedeckt, wie man es auch von zweidimensionalen Lissajouschen Figuren kennt.
Abb. 4: Räumliche Bewegung eines Wasserteilchens, qualitativ (Schrägsicht) Entsprechend Abb.2 liegen neben dem dargestellten virtuellen Zylinder weitere Zylinder, auf welchen sich Wasserteilchen durch die koppelnde Kohäsionskraft gleichartig, aber phasenverschoben, bewegen. Die Teilchen bewegen sich effektiv aber orthogonal zur Gruppenwellenfront bzw. zur Zylinderachse, so als rollte der Zylinder (rückwärtsdrehend wie in Abb. 2). Sie bewegen sich nicht orthogonal zu den Kammlinien der Phasenwellen. Die Phasenwellen sind also keine echten Wellen, sondern sozusagen Scheinwellen. Die Gruppenwellenoberfläche wird aus räumlichen Zykloiden gebildet, von Punkten auf räumlichen Lissajou-Figuren, die sich phasenverschoben in zwei Dimensionen aneinanderreihen. Die um den Winkel δ gegenüber der Gruppenwellenfront angewinkelten sog. Phasenwellen entstehen durch die Interferenz der Bugwelle in v-Richtung und der Querwelle in w-Richtung, wobei ihre Kammlinien durch die Überlagerung der Maxima der beiden Einzelwellen entstehen. Die Kammlinie der v-Welle ist die Mittellinie der ganzen Wellengruppe mit dem Winkel α zur Fahrtrichtung. Die „eigentlich“ (nämlich ganz vorne an der Spitze der Bugwelle) orthogonal zur Fahrtrichtung liegende Kammlinie der v-Welle ist durch die sukzessive Entstehung um den Winkel α angewinkelt, weil ihre weiter außen liegenden Punkte früher entstanden sind (auf der vorderen gestrichelten Linie, s. Abb. 5) und folglich mehr Zeit hatten, um im Ruhesystem, dem Bezugssystem des Erregers, nach hinten zu wandern. Im bewegten Bezugssystem, über Grund, sind die weiter innen liegenden Punkte weiter vorgerückt, weil sie früher entstanden sind (auf der hinteren gestrichelten Linie). Entsprechen ist die Kammlinie der w-Welle, welche gedanklich ursprünglich parallel zur Fahrtrichtung liegt, um den Winkel β zur Fahrtrichtung angewinkelt. Denn ihre Punkte, welche weiter hinten liegen, hatten mehr Zeit, um nach außen zu wandern (unabhängig von der Wahl des Bezugssystems). Obwohl w < v ist, demzufolge auch die dabei zurückgelegten Wege s_w
Abb. 5: oben: \alpha=19,5° (s.Abb.9.6) ; \lambda_v: \lambda_w=8:1 (Gl.2);T_v=2,82 T_w (Gl.3) unten: \alpha=8° (s.Abb.9.1) ; \lambda_v: \lambda_w=50:1 ; T_v=7,12 T_w im hinteren Teil Andeutung der Verbreiterung der Wellengruppe wegen der Koppelung benachbarter Wassermoleküle Wenn der Winkel α kleiner als 19,5° sein kann, dann kann er bei kleinen Geschwindigkeiten des Erregers auch größer sein. Die Keilwelle entsteht entsprechend dem Machschen Kegel, wenn die Erregergeschwindigkeit größer als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Eigenwelle (abhängig von der Amplitude) wird (wenn in Luft also die Schallmauer durchbrochen wird; mit α = 90°). In Abb. 12 sieht man Winkel α bei Wellengruppen-Wolken, welche deutlich größer als 19,5° sind. In Abb. 13 sind wie in Abb. 5 Wellengruppen mit den α-Werten 30°und 45° dargestellt. Außerdem wird dort die Formel für die Berechnung des Winkels β aus dem Winkel α \beta=arctan(2 tan\alpha) für \alpha<=45°\label(4) hergeleitet. Daraus ergeben sich für die Winkel α,β und δ= β - α folgende Werte-Tripel: (8°; 15,7°; 7,7°); (19,5°; 35,3°; 15,8°), (30°; 49,1°; 19,1°); (45°; 63,4°; 18,4°), welche gut mit den Zeichnungen übereinstimmen. Die interferierte Gesamtwelle, die Wellengruppe, breitet sich mit der Gruppengeschwindigkeit v_g=v*sin\alpha (4) unter dem Winkel α zur Fahrtrichtung aus. Die Kammlinie der Phasenwellen schließt mit der Fahrtrichtung den Winkel β=arcsin(c/v) (4) und mit der Gruppenfront den Winkel δ=β-α ein. Bei kleinen Erregergeschwindigkeiten gilt für diese Geschwindigkeiten näherungsweise α = 19,5° (sin⁡α=1/3), β = 41,8° und δ = 22,3° (4). Während sich nun die Wellengruppe um eine Strecke a (s. Abb. 3) senkrecht zur Gruppenwellenfront fortbewegt, erfährt z.B. ein Maximum durch seine Phasenwelle eine zusätzliche seitliche Verschiebung, legt also in derselben Zeit t eine größere Strecke b zurück und hat damit eine größere Geschwindigkeit. Dabei gilt: b=a/cos\delta
 
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