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Neuer Abschnitt in Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Ar
\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Archimedes´ Genauigkeit unter die Lupe genommen

Was haben wir hier vor? Wir wollen anhand der Näherung für das 96-Eck Rückschlüsse ziehen, welches Wissen Archimedes über das 48 Eck hatte. Ziel wird sein, herauszufinden, welche Näherungswerte für gewisse Wurzelausdrücke bekannt waren, um diese Genauigkeit zu erzielen. Vielleicht gelingt es uns komplett zurück zum 6-Eck zu kommen. Wie bereits angesprochen scheint mir persönlich der Nenner (71stel) zu klein. Aber vielleicht täusche ich mich ja auch. Wir lösen \(u_{5} = 48 \sqrt{ 2 - 2\sqrt{1 - {(\frac{u_{4}}{48})^2}}} \) nach \(u_{4}\) auf und finden mit \( u_{5} = 3 + \frac{10}{71}\) \(u_{4} = \frac{223}{483936} \sqrt{46408127} \) Entsprechend rechnen wir exakt zurück: \(u_{3} = \frac{223}{22482629001216} \sqrt{100057061334282057306431} \) \(u_{2} = \frac{223}{48524986253406600358029950976} \sqrt{465607824794484677809372840105503192328707092109062207}\) \(u_{1} = \frac{223}{226048731925756755223382574950061883216812383604188481847296} \sqrt{10093224821412017478119100520482308104437286046516259737395902725811417617759521080037186214666993733583020014448191}\) Nun gut... es bedarf an der Stelle normalerweise keiner Worte mehr. Wie realistisch ist es, dass Archimedes diese Werte kannte? Wir haben zu Beginn auch festgehalten, dass es ihm beinahe gelang ohne Rundungsfehler auszukommen. Von daher ist es nicht unwahrscheinlich. Was auch immer er getrieben hat. Ich bin einfach nur begeistert. Natürlich bekommt man die gerade berechneten Werte unkompliziert. Lediglich der Rechenaufwand ist "eklig". Zum Selbstexperiment seid Ihr herzlich eingeladen. Es lässt sich in Ansätzen erahnen, wie "aufwendig" diese Rechnungen mit Blatt und Stift sind. Ich möchte es hierbei belassen und unsere Reise beenden. Danke für´s Lesen.
 
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