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Vorschau:
Herleitung einiger Werte der Gammafunktion
Wir definieren den hyperelliptischen Arcus Sinus n-ter Ordnung für \(n \in \mathbb{N}\) als \(arcs_{n}(x) := \int \limits_{0}^{x} \dfrac{1}{\sqrt{1-r^n}} \ dr\) für \(\ x \in V_n := \left\{\begin{array}{lr} [-1,1] & \text{für n gerade}\\ (-\infty, 1], & \text{für n ungerade}\\ \end{array}\right\}\) Genauso wie Gauß definieren wir die n-te hyperelliptische Konstante für \(n \in \mathbb{N}\) als \(\pi_n := 2 \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-r^n}} \ dr\) Also ist z.B. \(\pi_2 = \pi = 3,1415...\) und \(\pi_4 = \varpi = 2,62205...\). Über die binomische Reihe und gliedweises Integrieren erhalten wir die Reihenentwicklung \(\forall \ \lvert x \rvert < 1: arcs_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \dfrac{x^{nk+1}}{4^{k} \cdot (nk+1)}\) speziell erhalten wir mit dem Abelschen Grenzwertsatz \(\frac{\pi_n}{2} = arcs_{n}(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \dfrac{1}{4^{k} \cdot (nk+1)}\) Zur analytischen Fortsetzung auf die komplexe Ebene bräuchte man eine Verdopplungsformel oder gleich ein Additionstheorem, aber das scheint sich als sehr schwierig zu gestalten. Nun zur Gammafunktion! (Eine vollständige Einführung würde hier den Rahmen sprengen; ich verweise auf die hervorragenden Bücher [Königsberger, Analysis 1] und [Freitag & Busam, Funktionentheorie 1] ohne die das hier nicht entstanden wäre) Die Gammafunktion kann nach Euler für \(Re(x) > 0\) definiert werden als \(\Gamma(x) := \int \limits_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot e^{-t} \ dt\) und erweitert die Fakultätsfunktion. Ich persönlich bevorzuge die Definition nach Gauß [Carl Friedrich Gauss Werke Band III, S.230] für \(Re(s) > 0\) mit \(\Gamma(s) := \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{s \cdot x} \cdot e^{-(e^x)} \ dx\) Die wichtigsten Formeln für uns sind: - Die "Funktionalgleichung" \(\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)\) - Die "Legendresche Verdopplungsformel" \(\Gamma(x) \cdot \Gamma(x + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{2x-1}} \cdot \Gamma(2x)\) - Die "Gaußsche Multiplikationsformel" \(\forall \ n \in \mathbb{N}: \ \Gamma(x) \cdot \Gamma(x + \dfrac{1}{n}) \cdot ... \cdot \Gamma(x + \dfrac{n-1}{n}) = \dfrac{(2 \pi)^{\frac{n-1}{2}}}{n^{nx - \frac{1}{2}}} \cdot \Gamma(nx)\) Wir brauchen außerdem die Eulersche Betafunktion für \(Re(w), Re(z) > 0\): \(B(w,z) := \int \limits_{0}^{1} t^{w-1} \cdot (1-t)^{z-1} \ dt\) mit der zentralen Identität \(\forall \ Re(w),Re(z) > 0: \ B(w,z) = \dfrac{\Gamma(w) \cdot \Gamma(z)}{\Gamma(z+w)}\) Jetzt schauen wir uns mal die folgenden bereits bekannten Werte der Gammafunktion an: \(\Gamma(\dfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\) \(\Gamma(\dfrac{1}{4}) = \sqrt{2 \varpi \sqrt{2\pi}}\) Wir beobachten zwei Dinge: 1.) \(\Gamma(\dfrac{1}{2})\) hat irgendwas mit \(\pi_2\) zu tun und \(\Gamma(\dfrac{1}{4})\) hat irgendwas mit \(\pi_4\) zu tun. 2.) Die Vorfaktoren ändern sich um das Produkt mit 2 und es kommt noch eine Quadratwurzel dazu; dies suggeriert eine Verbindung zu 2-er Potenzen. Vermutung: \(\Gamma(\dfrac{1}{8}) = \sqrt{4 \pi_8 \sqrt{4 \pi_4 \sqrt{4\pi_2}}}\) Numerische Überprüfung zeigt Übereinstimmung aller relevanten Nachkommastellen. Nach einem Beweis habe ich länger suchen müssen, die Inspiration zur 1. Hälfte des Beweises kommt aus dem Königsberger. Hilfsformel: \(\forall n \in \mathbb{N}: \ \dfrac{\Gamma(\frac{1}{n})^{2} \cdot 2^{(\frac{2}{n} - 1)}}{\Gamma(\dfrac{2}{n}) \cdot n} = \dfrac{\pi_n}{2}\) Beweis: Seien \(m,n \in \mathbb{N}\). Einerseits gilt: \(B(\dfrac{1}{2}, \dfrac{m}{n}) = \dfrac{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\dfrac{m}{n})}{\Gamma(\dfrac{m}{n} + \dfrac{1}{2})}\) Andererseits: \(B(\dfrac{1}{2}, \dfrac{m}{n}) = B(\dfrac{m}{n}, \dfrac{1}{2}) = \int \limits_{0}^{1} t^{\frac{m}{n} - 1} \cdot (1-t)^{- \frac{1}{2}} \ dt\) Substitution mit \(t := u^n\): \(= n \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{u^{m-1}}{\sqrt{1 - u^{n}}} \ du\) Zusammen also: \(\dfrac{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\dfrac{m}{n})}{\Gamma(\dfrac{m}{n} + \dfrac{1}{2})} = n \cdot \int \limits_{0}^{1} \dfrac{u^{m-1}}{\sqrt{1 - u^{n}}} \ du\) Für \(m=1\) ergibt sich: \(\dfrac{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(\dfrac{1}{n})}{\Gamma(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2}) \cdot n} = \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^{n}}} \ du = \dfrac{\pi_n}{2}\) \(\implies \dfrac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2})} = \dfrac{n \cdot \pi_n}{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2}\) (*) Nun formen wir die Legendresche Verdopplungsformel passend um zu: \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(x + \dfrac{1}{2})} = \dfrac{\Gamma(x) \cdot 2^{2x - 1}}{\Gamma(2x)}\) Für \(x = \dfrac{1}{n}\) erhalten wir: \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2})} = \dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2^{\frac{2}{n} - 1}}{\Gamma(\dfrac{2}{n})}\) Ein Vergleich mit (*) ergibt: \(\dfrac{n \cdot \pi_n}{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2} = \dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2^{\frac{2}{n} - 1}}{\Gamma(\dfrac{2}{n})}\) Elementare Umformung ergibt das, was zu zeigen war. Wir erhalten also folgende "Halbierungsformel" für spezielle Werte: \(\forall n \in \mathbb{N}: \ \Gamma(\dfrac{1}{2n}) = \sqrt{\dfrac{\pi_{2n} \cdot \Gamma(\dfrac{1}{n}) \cdot 2n}{2^{\frac{1}{n}}}}\) Nun folgt induktiv für die "Viertellänge" der "Einheitskurve" \(q_n := \dfrac{\pi_n}{2}\): \(\Gamma(\dfrac{1}{2^{n}}) = \sqrt{2^n \cdot q_{2^n} \cdot \sqrt{2^n \cdot q_{2^{(n-1)} \cdot \sqrt{... \cdot \sqrt{2^n \cdot q_{2}}}}}}\) Zum Schluss noch ein letzter Wert. Im Königsberger findet man auch die folgende Übungsaufgabe: \(\dfrac{\Gamma(\dfrac{1}{3})^3}{\sqrt{3} \cdot \pi \cdot \sqrt[3]{2^4}} = \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^{3}}} \ du\) Daraus folgt sofort: \(\Gamma(\dfrac{1}{3}) = \sqrt[3]{\sqrt[2]{3} \cdot \pi_{3} \cdot \pi_{2} \cdot \sqrt[3]{2}}\) Über die Halbierungsformel erhält man z.B. dann auch \(\Gamma(\dfrac{1}{6}) = \sqrt[2]{\pi_6 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[2]{3} \cdot \pi_2 \cdot \pi_3}}\) Übrigens lässt sich zeigen, dass bis auf den trivialen Spezialfall \(\pi_1 = 4\) alle anderen \(\pi_n\) transzendent sind. Offen bleibt, welche von Ihnen untereinander algebraisch unabhängig sind. Ich vermute, dass nur n, welche Primzahlpotenzen sind, wirklich unabhängig sind. (Wer etwas genauer nachlesen möchte, den verweise ich auf meinen kläglichen 1. Versuch einen Fachartikel zu schreiben: hier)
 
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