Die Tatsache, dass es möglich ist, die Ebene nichtperiodisch zu parkettieren, wurde erstmals 1966 von Robert Berger bewiesen, der kurz darauf ein Beispiel mit 20426 verschiedenen Kacheln vorstellte. In der Folge wurden immer kleinere aperiodische Kachelsätze gefunden, bis Penrose die Zahl der Protokacheln auf zwei reduzieren konnte. Ganz natürlich drängt sich die Frage auf, ob es nicht auch aperiodische Kachelsätze gibt, die aus nur einer Protokachel bestehen. Die Frage nach der Existenz einer solchen aperiodische Monokachel stellt eines der spannendsten offenen Probleme aus der diskreten Geometrie dar. Im Englischen wird eine aperiodische Monokachel oft als Einstein bezeichnet. Dieses Wortspiel mit den Wörtern Ein und Stein, stellvertretend für eine (einzelne) Kachel, wird Ludwig Danzer zugeschrieben. Die Assoziation zu dem Physiker Albert Einstein ist dabei gewollt und der eigentliche Witz des Wortspiels, auch wenn das Problem selbst nichts mit der Person oder seiner wissenschaftlichen Arbeit zu tun hat. Die bisher besten Näherungslösungen für eine aperiodische Monokachel wurden 1996 von Petra Gummelt und 2010 von Joshua Socolar und Joan Taylor vorgestellt. Gummelt konstruierte ein dekoriertes regelmäßiges Zehneck (Abb. 14 links). Socolar und Taylor präsentierten eine undekorierte Protokachel auf Basis eines regelmäßiges Sechsecks, die aber nicht zusammenhängend und damit nach Definition keine abgeschlossene topologische Scheibe ist. Die Socolar–Taylor-Kachel besteht aus insgesamt 19 Teilen in fester Anordnung (Abb. 14 rechts). Die 18 Rechtecke lassen sich dabei aus nur einem Rechtecktyp konstruieren. Ob es möglich ist, die Protokachel auf nur sieben Teile zu reduzieren, kann an dieser Stelle nicht beantwortet werden. Die Dekoration der Kachel (schwarze Linien) dient lediglich dazu, die Nichtperiodizität des Parketts optisch besser hervorzuheben. Abb. 14 Die Protokachel $T_{12}$ in Abbildung 15 zeigt eine weitere Näherungslösung auf Basis der P2-Kacheln, deren Parkett allerdings Lücken besitzt (Abb. 16). Ihre Form vereint sowohl Drachen als auch Pfeil so gut wie möglich. Da Penrose-Kacheln nicht denselben Flächeninhalt besitzen, lässt sich eine echte aperiodische Monokachel mit einer 5-fachen Rotationssymmetrie nicht aus ihnen realisieren. Andere Formen als $T_{12}$ sind allerdings möglich, ebenso eine leichte Modifikation der Kanten, um die Zusammenfügungsregeln zu forcieren. Variationen mit größerer Fläche führen dann wie bei der Gummelt-Kachel zu Überlappungen statt Lücken. $T_{12}$ ist ein unregelmäßiges konkaves Zwölfeck, auf Basis eines verbundenen $T_{10};T_{11}$ Paares (Abb. 9 und 15a). Die Kachel lässt sich in eine Raute $(a,b, c,p)$, zwei kongruente Drachen $(c,d,r,p)$ und $(g,h,i,r)$, zwei nicht kongruente Trapeze $(d,e,f,r)$ und $(i,j,k,r)$, im Folgenden $T_{13}$ und $T_{14}$ genannt, und ein unregelmäßiges Viereck $(l,n,q,r)$ zerlegen (Abb. 15b). Abb. 15: Die Protokachel $T_{12}$ Viele Eigenschaften der Penrose-Kacheln beinhalten den Goldenen Schnitt $\varphi=(1+\sqrt{5})/2\approx1.618$. Die Kantenlängen in Abbildung 15b, in Bezug auf die Einheitskanten der Rauten-Dekoration, sind $\vert fg \vert=\vert ij \vert=\vert pq \vert=\varphi$, $\vert ab \vert= \vert bc \vert=\vert cd \vert=\vert gh \vert=\vert hi \vert=\vert lo \vert=\vert op \vert=\vert pa \vert=\vert pc \vert=\vert qr \vert=\vert fr \vert=\varphi+1$, $\vert dr \vert=\vert gr \vert=\vert hj \vert=\vert ir \vert=\vert lr \vert=\vert pr \vert=2\varphi+1$ und $\vert de \vert=\vert kl \vert=\vert lm \vert=2$. Abb. 16 Eine $T_{12}$-Kachelung besitzt immer fünf Arten von Lücken. Ein unregelmäßiges Dreieck $(l,m,n)$, ein unregelmäßiges Viereck $(n,o,p,q)$ und drei Arten von "Propellern" (konkave 15-Ecke), die in $T_{13}$ und $T_{14}$ Kacheln zerlegt werden können (Abb. 15b und 17). Dabei kann ein $T_{13};T_{14}$ Paar wieder eine Raute mit Kantenlängen von $2\varphi+1$ bilden. Die dekorierten $T_{12}$-Kacheln (Abb. 15a) erlauben auch eine P3-Kachelung mit den beschriebenen Lücken. Die Substitutionsregeln für $T_{12}$ sind noch einmal gesondert in Abbildung 18 angegeben. Abb. 17 Abb. 18 Es existieren übrigens genau sieben Möglichkeiten, P2-Kacheln lückenlos um einen gemeinsamen Punkt anzuordnen (Abb. 19). Damit lässt sich u. a. beweisen, dass alle in diesem Artikel vorgestellten dekorierten Kachelsätze wieder zu einer exakten P3-Kachelung führen. Abb. 19 Die Form von Protokacheln tierisch zu formen und zu dekorieren, ist übrigens nicht neu und wurde bereits von Penrose selbst in seinem Artikel Pentaplexity gezeigt. Abbildung 20 zeigt links Penrose Beispiel mit dekorierten P2-Kacheln (Hühner), und rechts ein Beispiel mit Fischen auf Basis der P3-Kacheln. Abb. 20