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Der Satz von Sierpiński
\geo ebene(200,200) noaxis() xy(-3,3) fill(0,0,black) ## 3D-Ebene ## ======== ## replace() nolabel() punktform(.) color(sky) p(0,0,FL,hide) konstante(ss,0.5) konstante(pp,0) for(ii,0,20,1,\ konstante(ss,ss*2) \ konstante(pp,pp+ss) \ konstante(pp1,pp) konstante(pp2,-pp) \ p(pp1,-3,P) s(FL,P) \ p(pp2,-3,P) s(FL,P) \ ) konstante(ww,-3) for(jj,0,7,1,\ p(-1,ww,P) p(1,ww,Q) g(P,Q) \ konstante(ww,ww*2/3) \ ) ## ## Makro zum Zeichnen eines Alephs ## =============================== ## Parameter: ## 1+2 : obere linke Ecke ## 3+4 : rechte untere Ecke ## 5 : Farbe der Ränder ## 6 : Farbe der Füllung ## 7 : Name makro(LetterAleph,\ replace() \ konst(hoehe,(%2)-(%4)) konst(breite,(%3)-(%1)) \ konst(A_x,%1) konst(A_y,%2) \ konst(B_x,%1+0.15*breite) konst(B_y,%2) \ konst(D_x,%3-0.15*breite) konst(D_y,%4) \ konst(C_x,%3) konst(C_y,%4) \ konst(E_x,%1) konst(E_y,%4) \ konst(F_x,%1) konst(F_y,%4+0.25*hoehe) \ konst(G_x,%1+0.15*breite) konst(G_y,%4+0.25*hoehe) \ konst(H_x,%1+0.15*breite) konst(H_y,%4) \ konst(I_x,%3) konst(I_y,%2) \ konst(J_x,%3) konst(J_y,%2-0.25*hoehe) \ konst(K_x,%3-0.15*breite) konst(K_y,%2-0.25*breite) \ konst(L_x,%3-0.15*breite) konst(L_y,%2) \ konst(M_x,%1+5/14*0.85*breite) konst(M_y,%2-5/14*hoehe) \ konst(N_x,%1+6/14*0.85*breite) konst(N_y,%2-6/14*hoehe) \ konst(O_x,%3-5/14*0.85*breite) konst(O_y,%4+5/14*hoehe) \ konst(P_x,%3-6/14*0.85*breite) konst(P_y,%4+6/14*hoehe) \ konst(Q_x,%1+breite/2) konst(Q_y,%4+hoehe/2) \ \ p(A_x,A_y,A) p(B_x,B_y,B) p(D_x,D_y,D) p(C_x,C_y,C) \ p(E_x,E_y,E) p(F_x,F_y,F) p(G_x,G_y,G) p(H_x,H_y,H) \ p(I_x,I_y,I) p(J_x,J_y,J) p(K_x,K_y,K) p(L_x,L_y,L) \ p(M_x,M_y,M) p(N_x,N_y,N) p(O_x,O_y,O) p(P_x,P_y,P) \ color(%5) \ s(A,B) s(B,P) s(O,C) s(C,D) s(D,N) s(M,A) \ s(E,F) s(G,H) s(H,E) s(I,J) s(K,L) s(L,I) \ param(t,0,1,0.01) \ kurve((M_x-F_x)*cos(pi()/2*(t+1))+M_x,(M_y-F_y)*sin(pi()/2*(t+1))+F_y) \ kurve((N_x-G_x)*cos(pi()/2*(t+1))+N_x,(N_y-G_y)*sin(pi()/2*(t+1))+G_y) \ kurve((J_x-O_x)*cos(pi()/2*(t-1))+O_x,(J_y-O_y)*sin(pi()/2*(t-1))+J_y) \ kurve((K_x-P_x)*cos(pi()/2*(t-1))+P_x,(K_y-P_y)*sin(pi()/2*(t-1))+K_y) \ fill(Q_x,Q_y,%6) insert() \ ) ## Ende Makro pen(2) LetterAleph(-1,2.5,1,1,blue,sky,aleph0) \geooff \geoprint()

Der Satz von Sierpiński

Hallo Freunde der Mengenlehre. Kurt Gödel und Paul Cohen bewiesen in der Mitte des letzten Jahrhunderts aufsehenerregende Tatsachen, die die Mathematik als Ganzes aufrüttelten: Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze, die (u.A.) die Existenz unentscheidbarer Aussagen voraussagten, gefolgt von der tatsächlichen Angabe solcher unentscheidbarer Hypothesen. Die bekanntesten Vertreter sind dabei natürlich das Auswahlaxiom und die Kontinuumshypothese(n), die von den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (und einiger anderer) unabhängig sind. Dieser Artikel stellt den erstaunlich elementaren Beweis einer wundervollen Beziehung zwischen diesen beiden Sätzen vor, nämlich die Tatsache, dass das Auswahlaxiom aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese folgt.
 
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