Öffentliches Notizbuch von Gockel
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Gruppentheorie

Inhalt

<ul style='list-style-image:url(uploads/6/4177_bullet.gif);font-size:12pt'> <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'>Übungsaufgaben und Grundlagen der Gruppentheorie <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'>Strukturaussagen <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'>Klassifizierungen <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'>Interessante Eigenschaften aller Art <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'>High-End Gruppentheorie: Die schweren Geschütze
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Übungsaufgaben und Grundlagen der Gruppentheorie
irekte Produkte Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Beweis, dass das semidirekte Produkt eine Gruppe definiert.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ein gruppentheoretischer Beweis dafür, dass ein n-Menge genau (n über k) Teilmengen mit k Elementen hat
Schwierigkeit:
Beschreibung:Hat die Gruppe G drei Normalteiler mit paarweise trivialem Durchschnitt, von denen je zwei die Gruppe erzeugen, so ist G abelsch und alle drei Normalteiler isomorph.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ist N ein NT von G, so dass S3~=N~=G/N, dann ist G~=S3 x S3
Schwierigkeit:
Beschreibung:Die Isomorphien D2n~=Dn x Z2 (n ungerade) und D3~=S3
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ein Trick um Normalteiler zu konstruieren, indem man eine Gruppe auf der Menge ihrer p-Sylowgruppen operieren lässt
Schwierigkeit:
Beschreibung:Das Kapitel aus dem Lüneburg inkl. diverser Sätze und Beweise
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ein bisschen was zu eins-disjunkten Normalteilern
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ein semidirektes Produkt aus IZ8 und IZ4 wird durch Erzeuger und Relationen beschrieben: < x,y | x8=y4=yxy-1x=1 >
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Strukturaussagen
Schwierigkeit:
Beschreibung:Verallgemeinerung der Aussage "|G:U|=2 => U normal" auf den kleinsten Primteiler von |G|.
tur semidirekter Produkte Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Allgemeine Bestimmung des Zentrums semidirekter Produkte
en mit |G|=2m, m ungerade, sind nicht-einfach. Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Eine solche Gruppe enthält eine charakteristische Untergruppe der Ordnung m
Schwierigkeit:
Beschreibung:Sn hat für n>4 genau 3 Normalteiler
Schwierigkeit:
Beschreibung:Interessantes Statement: Ist U<=G mit |G:U|<5 und existiert keine UG mit kleinerem Index, so ist U normal.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Der Beweis zu |G|=pnq => G auflösbar
Schwierigkeit:
Beschreibung:In jeder Gruppe der Ordnung 36 ist entweder die 2- oder die 3-Sylowgruppe normal.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Warum S4 nur die nichttrivialen Normalteiler A4 und V4 hat sowie weitere interessante Fakten über Permuationsgruppen. Es wird z.B. Aut(V4)~=S3 bewiesen.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Hier finden sich die Konstruktion einer einfachen Gruppe mit 168 Elementen sowie der Beweis, dass es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe gibt, die durch GL3(IF2)~=PSL(2,7) gegeben ist.
Schwierigkeit:
Beschreibung:In jeder endlichen p-Gruppe (und sogar jeder endlichen nilpotenten Gruppe) gibt es zu jedem Teiler der Gruppenordnung einen Normalteiler mit dieser Ordnung.
alle Gruppen besitzen nichttriviale Automorphismen Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Aut(G)=1 <=> |G|=1 oder 2
Schwierigkeit:
Beschreibung:Herleitung eines notwendigen Kriteriums für Auflösbarkeit endlicher Gruppen: Damit eine endliche Gruppe G nicht-auflösbar ist, muss eine endliche, einfache Gruppe E existieren, so dass |E| ein Teiler von |G| ist.
von Cauchy Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ist p ein Teiler von |G|, so besitzt G mind. ein Element der Ordnung p.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Die Exponential-Abbildung x->xe ist genau dann bijektiv auf Z/nZ, wenn n quadratfrei und ggT(e,phi(n))=1 ist.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Wie kann man semidirekte Produkte bis auf Isomorphie charakterisieren? Unter welchen Bedingungen gilt die Isomorphie?
Schwierigkeit:
Beschreibung:Wenn x->xn Ein Homomorphismus und G torsionsfrei ist, ist G abelsch. Eine Verallgemeinerung des Satzes (xy)2=x2y2 <=> G abelsch
Schwierigkeit:
Beschreibung:Endliche Produkte von n-ten Potenzen bilden eine Untergruppe.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Lässt sich jede UG von GxH als dir.Produkt von Untergruppen von G und von H darstellen? Im Allgemeinen nicht, wie Buri hier demonstriert. Es gilt aber, wenn G und H endlich mit ggT(|G|,|H|)=1 ist.
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Klassifizierungen
Schwierigkeit:
Beschreibung:Eine topologische Gruppe ist lokal-kompakt und total unzusammenhängend gdw. jede Umgebung der 1 eine offen-kompakte Untergruppe enthält.
owgruppen in GL(n,q) Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:p-Sylowgruppen von GL(n,q) und SL(n,q), ihre Normalisatoren und ihre Anzahl.
Restklassengruppen und ihre Untergruppen enthalten alle Isomorphietypen endlicher, abelscher Gruppen. Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Für jede endliche, abelsche Gruppe existiert ein n, so dass die Gruppe zu einer Untergruppe und zu einer Faktorgruppe von IZnx isomorph ist
en mit zyklischen Sylowgruppen Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Alle endlichen Gruppen, deren sämtliche Sylowgruppen zyklisch sind, sind auflösbar der Stufe zwei und insbesondere sogar isomorph zu einem semidirekten Produkt zweier zyklischer Gruppen
_n) Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Aut(Sn) ~= Sn für n!=2,6. S6 besitzt einen äußeren Automorphismus.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Die Klassifzierung aller Gruppen der Ordnung 333. Freie Gruppen sowie Erzeuger-Relation-Darstellungen werden hier definiert und besprochen.
terungen durch vollständige Gruppen Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ist 1->N->G->Q->1 exakt und N vollständig, so ist G~=N x Q
che Gruppe mit genau einer max. UG Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Eine endliche Gruppe ist genau dann eine zyklische p-Gruppe, wenn sie genau eine maximale Untergruppe besitzt.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Jede Gruppe ist Automorphismengruppe eines (gerichteten, gefärbten) Graphen
Schwierigkeit:
Beschreibung:Wie schaut Aut(F(X)) aus? Für endliche X geklärt.
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Interessante Eigenschaften aller Art
tatorgruppe Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Ist G = < E > und E invariant unter Konjugation, so ist [G,G]=[E,E].
Schwierigkeit:
Beschreibung:Aut(G) x Aut(H) ist zu einer Untergruppe von Aut(G x H) isomorph und manchmal sogar die ganze Gruppe
rthogonale Darstellung von SU(2)xSU(2) Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Es gibt einen surjektiven Homomorphismus SU2 x SU2->SO4.
Schwierigkeit:
Beschreibung:Jede endliche Gruppe lässt sich in eine einfache Gruppe einbetten.
rthogonale Darstellung von SU(2) Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Es gibt einen surjektiven Homomorphismus SU2->SO3 mit Kern {+-1}. Konsequenz daraus ist u.A. PSU2 ~= SO3 ~= Aut(IH)
Schwierigkeit:
Beschreibung:Buri weist nach, dass zwei Elemente Erzeuger von SL2(Z) sind
sammenhang der linearen Gruppen Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:SLn(IR), SLn(IC) und GLn(IC) sind wegzusammenhängend; die Wegzusammenhangskomponente der 1 in GLn(IR) hat Index 2.
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High-End Gruppentheorie: Die schweren Geschütze
Schwierigkeit:
Beschreibung:Es gilt |SX|=2|X| und SX~=SY => |X|=|Y|. Mit GCH gilt sogar |SX|=|SY| => |X|=|Y|
Schwierigkeit:
Beschreibung:Man kann diverse Arten von Gruppen (normale Gruppen, Lie-Gruppen, topologische Gruppen) auf einen Schlag definieren und bestimmte Eigenschaften direkt nachweisen.
= kleinster Primteiler => Normal Die ganze Notiz lesen Druckerfreundliche Ansicht
Schwierigkeit:
Beschreibung:Der übliche Beweis, dass eine Untergruppe H einer endlichen Gruppe G mit |G:H|=p=kleinster Primteiler von |G| automatisch ein Normalteiler ist, benutzt Gruppenoperationen. Hier ist ein elementarer Beweis.
Gliederungspunkt Register #ddddff Öffentliche Einträge ampen diagrams and Tarski Monster Groups Dateianlage vorhanden Druckerfreundliche Ansicht

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