Mathematik: Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten
Released by matroid on Mo. 16. August 2021 18:59:39
Written by easymathematics - (278 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\) In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) können mit Stift und Papier nach und nach mittels Polynomdivision berechnet werden. Problem: Um einen Koeffizienten \(q_i\) zu berechnen, müssen die vorherigen \( q_{i+1}, ..., q_{n-1}\) bekannt sein. Wie wäre es mittels einer Matrix eine direkte Formel anzugeben? "Direkt" heißt hier: Ohne Kenntnis der vorherigen Koeffizienten. Ist es möglich? Falls nein, warum nicht? Und falls doch... wie sieht \[ q_{i} = f(a_{i}, b_{i}) \] aus? Ich habe mit auf die Suche begeben und das Resultat gibt es hier: \[ q_{n-1-i} = \sum \limits_{t=0}^{i} (-1)^{i+t} \quad b_{1}^{t-i-1} \quad b_{0}^{i-t} \quad a_{n-t}, \quad i=0, ..., n \] und speziell gilt \( q_{-1} = \frac{r}{b_1} \), welcher mit dem Koeffizienten der Laurent-Reihe an der Indexstelle -1 übereinstimmt. Hübsch, oder? Wir diskutieren in diesem Artikel den Beweis. \(\endgroup\)
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Stern Physik: MontyPythagoras Wunderbare Welt Der Schwerkraft
Released by matroid on Sa. 19. Januar 2019 23:47:20
Written by MontyPythagoras - (888 x read)
Physik  \(\begingroup\)
And now for something completely differential
S chwerkraft ist wohl die erste Kraft, mit der jeder Mensch in seinem Leben Erfahrungen macht. Meistens negative, nämlich bei seinen ersten Versuchen, ihr zu trotzen und aufrecht zu gehen, wie es sich für einen Homo sapiens gehört. Trotzdem hat es sehr lange gebraucht, bis die dahinter stehenden, mathematischen Gesetzmäßigkeiten erkannt wurden, und zwar durch den oben etwas gestresst wirkenden Sir Isaac Neutonne in seiner berühmten, 1687 erschienenen Schrift Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Übrigens nicht in der heute gebräuchlichen, expliziten Formel, die entstand erst fast 200 Jahre später. Ein Apfel soll bei der Entdeckung auch eine entscheidende Rolle gespielt haben, aber das ist wohl nur Mythos. Während wohl jeder wissenschaftsaffine Mensch die berühmte Formel kennt (vielleicht die zweitberühmteste nach $E=mc^2$), möchte ich in diesem Artikel aus meiner Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" einige sich daraus ergebende Schlussfolgerungen zum Besten geben, die offenkundig weniger bekannt sind. Gleichzeitig ist der Artikel auch zu einer kleinen Hommage an die berühmte und für mich namensstiftende Komikertruppe geworden. \(\endgroup\)
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Mathematik: Typische Beweismotive
Released by matroid on So. 20. Juni 2021 16:23:34
Written by Triceratops - (816 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Typische Beweismotive

Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann. Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und illustriere sie wieder mit zahlreichen Beispielen. Es geht hierbei um keine konkreten Beweistechniken wie Induktion, Widerspruchsbeweis und dergleichen, wozu es schon sehr viel Material gibt, sondern um viel grundsätzlichere Denkweisen, die einem dabei helfen, einen Beweis zu finden.
• Reduktion auf einen Spezialfall • Teile und herrsche • Verschärfe die Behauptung • Führe einen Parameter ein • Verallgemeinere den Kontext
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Mathematik: Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen
Released by matroid on Do. 20. Mai 2021 12:49:04
Written by Triceratops - (586 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen

Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Verständnis dafür, was Matrizen und die Matrixmultiplikation eigentlich sind, wobei hier sogar Blockmatrizen inbegriffen sind. Dieser Artikel setzt lediglich Vektorräume, Basen und lineare Abbildungen als bekannt voraus, richtet sich also insbesondere an interessierte Studienanfänger*innen.
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Mathematik: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
Released by matroid on Mi. 28. April 2021 23:08:33
Written by Bernhard - (676 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\)

Steinchen wechsel Dich!

Ein neues Brettspiel von Bernhard

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Mathematik: Hüllenoperatoren
Released by matroid on Mi. 21. April 2021 13:00:05
Written by Triceratops - (401 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Hüllenoperatoren

Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Algebren ist sogar eine transfinite Rekursion nötig.
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Mathematik: Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett
Released by matroid on So. 18. April 2021 21:29:31
Written by Delastelle - (183 x read)
Mathematik  \(\begingroup\) Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
Released by matroid on Do. 08. April 2021 00:00:50
Written by Ueli - (345 x read)
Analysis  \(\begingroup\)

Einleitung

Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen. Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, die oft kontrovers diskutiert werden. Neben der Immunologie habe ich das Bevölkerungswachstum und die Hubbert-Linearisierung gewählt. Letztere Anwendung ist ein wichtiges Werkzeug zur Abschätzung von Ressourcen (bzw. Reserven). Alle Beispiele beziehen sich auf ein beschränktes Wachstum, wie es in der realen Welt üblich ist. Die Frage lautet oft, wo denn die Grenzen dieses Wachstums liegen. Durch Extrapolationen mit einfachen Modellen können solche Grenzen geschätzt werden. Zudem geht es mir darum grundlegende Begriffe und Formeln vorzustellen, in Themen die oft in der öffentlichen Diskussion auftauchen. Eine mathematische Einführung in die Wachstumsfunktionen findet sich in diesem Artikel von Diophant. \(\endgroup\)
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Mathematik: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
Released by matroid on Mo. 05. April 2021 20:51:12
Written by easymathematics - (486 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes

In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekommen, wie aufwendig sein Vorhaben gewesen sein muss, um diese faszinierende Präzision (bezogen auf seine Zeit) zu bekommen. Vorweg: Der exakte Wert seines 96-Ecks (einbeschrieben) lautet: \[ 48 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }} = 3,141031...\] Die Näherung von Archimedes: \[ 3,140845... \] Anders gesagt: Der relative Fehler bezogen auf sein 96-Eck liegt knapp unter 0,006 %. Der relative Fehler zu \(\pi\) liegt knapp über 0,02. Wir wollen in diesem Zusammenhang versuchen, folgende zwei Fragen zu klären. a) Wie konnte Archimedes Rundungsfehler nahezu vermeiden? b) In welcher Zeit ist diese Leistung bei einem gemütlichen Kaffee zu schaffen? Reden wir von Stunden? Von Tagen? Von Wochen? Ja, der Pi-Tag liegt bereits eine gewisse Zeit zurück. Ich bin frischer Vater und da klappen dann solche Planungen dann doch nicht, wie man es möchte. Um Gottes Willen, besser später als nie. Ich freue mich, wenn Ihr mich auf dieser historischen Reise begleitet. \(\endgroup\)
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