Mathematik: Über die Adjunktion von Wurzeln
Released by matroid on Sa. 20. Februar 2021 08:27:16
Written by Triceratops - (173 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über die Adjunktion von Wurzeln

Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der Form $K(\sqrt{\Delta})$ eines Körpers $K$ der Charakteristik $\neq 2$ für beliebige Untergruppen $\Delta \subseteq K^{\times}$. Es handelt sich um einen relativ einfachen Spezialfall der Kummertheorie, nämlich für den Exponenten $2$.
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Mathematik: Die radiale Brachistochrone: Think big
Released by matroid on Mo. 01. Februar 2021 22:06:00
Written by MontyPythagoras - (455 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Die radiale Brachistochrone: Think big


Brachistochrone AnimationIn meiner Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich diesmal mit dem beliebten Brachistochronen-Problem befassen. Mit dieser Problemstellung haben sich schon vor mehr als drei Jahrhunderten bekannte Wissenschaftler wie Bernoulli, Leibniz und Newton im homogenen Gravitationsfeld befasst. Also sowohl der betrachtete Körper als auch die Wissenschaftler befanden sich im homogenen Gravitationsfeld - letztere zumindest näherungsweise.
Die Lösung dieses Problems, also die schnellstmögliche Fallkurve zwischen zwei Punkten im homogenen Gravitationsfeld ist bekanntermaßen die Zykloide. Auch hier auf dem Matheplaneten hat es dazu schon Artikel gegeben, z.B. hier.
Getreu dem Motto "Think big" habe ich mich dagegen damit beschäftigt, wie die Brachistochrone in einem radialen Schwerefeld wie dem eines Planeten aussieht. Dazu war auch im Internet nicht all zu viel zu finden, außer dem Artikel in der Quellenangabe, dessen Autoren sich alle Mühe gegeben haben, das Problem möglichst kompliziert aussehen zu lassen. Es geht aber auch deutlich übersichtlicher. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Released by matroid on Sa. 06. März 2010 00:35:51
Written by Florian - (18178 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)


Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?


Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.
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Mathematik: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
Released by matroid on Fr. 29. Januar 2021 08:31:10
Written by easymathematics - (845 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Der logische Zusammenhang zwischen
dem Sinussatz und dem Kosinussatz



Hallo,
in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen.

(1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen?
(2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen?
(3) Sind beide Sätze sogar äquivalent?

Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent.

Anmerkung: Wir reden hier von Dreiecken in der Ebene.

Der Beweis ist, wie man erwarten darf, simpel.
Die Aussage als solche dennoch erwähnenswert. \(\endgroup\)
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Matheplanet-Award: Verleihung der 19. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Released by matroid on So. 24. Januar 2021 15:00:00
Written by matroid - (936 x read)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \)
Verleihung
der 19. Matheplanet-Mitglieder-Awards

24. Januar 2021
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Mathematik: Über Berührungen und Ableitungen
Released by matroid on Di. 19. Januar 2021 06:36:43
Written by Triceratops - (239 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über Berührungen und Ableitungen

In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relation dort nur kurz in der Definition auf und wird nicht weiter benutzt, und andere Quellen verwenden ohnehin einen eher rechnerischen Zugang. In diesem Artikel möchte ich die Berührungsrelation in den Vordergrund stellen und die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, konzeptionell aus entsprechenden Eigenschaften der Berührungsrelation ableiten. Schließlich gibt es auch noch eine kategorientheoretische Einordnung der ganzen Theorie.
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buhs Montagsreport: ZUKUNFT: Haben wir eine?
Released by matroid on Mo. 11. Januar 2021 16:35:54
Written by buh - (293 x read)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
ZUKUNFT: Haben wir eine?

Gibt es ein Leben nach dem März?


Zinbiel: Ein trüber Wintertag beginnt. Frierend stehen die Witten, Chatten und Solingen, sogar einige der ausgestorbenen Skripten auf der Weite vor Zinbiel, um die Ankunft des Le und den Blick in die Zukunft zu erwarten. Da! Am Hang gegenüber bebt die Erde und eine gleißende Flamme brennt eine Spur in den Hang, bevor sie sich, eine Schreibfeder formend, gen Himmel wendet.
Und mit Buchstaben aus Feuer erscheint am Himmel DIE PROPHEZEIUNG!
Die Schrift ist klar und lesbar und rot.
So kann buhs MontagsReport alles verlustfrei wiedergeben. \(\endgroup\)
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Mathematik: Optimale Steuerung bzw. Neuronales Netz mit variablen Gewichten - ein Beispiel
Released by matroid on Mi. 06. Januar 2021 19:41:41
Written by Delastelle - (177 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Im Artikel berechne ich die Lösung eines Problems der Optimalen Steuerung. Die Steuerungen u kann man auch als Gewichte w eines Neuronalen Netzes mit variablen Gewichten sehen. Gelöst wird das Achtproblem - hier mit 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Zur Lösung werden Fortran und Matlab/Octave eingesetzt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick
Released by matroid on Mo. 04. Januar 2021 20:20:17
Written by easymathematics - (821 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)
In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler
zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~>~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen.
Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden:

a) euklidischer Algorithmus
b) Primfaktorzerlegung
c) Beziehung zum kgV

1.1 Theorem:
Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~>~0\) gilt:
\[
\mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \sum_{k=1}^{a} \left\lfloor \frac{b}{a}k \right\rfloor}
\] \(\endgroup\)
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