Mathematik: Pi und die Gammafunktion
Released by matroid on So. 03. Oktober 2021 09:00:15
Written by jjzun - (328 x read)
Analysis  \(\begingroup\) Ich möchte in diesem Artikel zeigen, wie man nur mit elementarer Analysis und etwas Trigonometrie einige neue Werte der Gammafunktion im Intervall (0,1) ausrechnen kann. Es soll hier eher um die Grundidee gehen, darum bin ich an manchen Stellen nicht rigoros. Die Inspiration dazu kommt (mal wieder) von Carl Friedrich Gauß. Der junge Carl Friedrich beschäftigt sich nämlich bereits 1796 als 19-jähriger in seinem Tagebuch [Carl Friedrich Gauss Werke Band X.1] mit folgendem Problem: Die Lemniskate zum "Radius" a ist gegeben durch die Menge aller Punkte (x,y) für die gilt: \((x^2 + y^2)^2 = 2 a^2 (x^2 - y ^2)\) Wie für den Einheitskreis mit Radius 1, beschränken wir uns im Folgenden auf die "Einheitslemniskate" mit \(a= \frac{1}{\sqrt{2}}\), damit die Gleichung so einfach wie möglich ist. 1.) Gegeben den Abstand r eines Punktes auf der Lemniskate zum Ursprung, wie lang ist die Bogenlänge der Kurve s vom Ursprung bis zu diesem Punkt? Und andersrum: 2.) Gegeben die Bogenlänge s, was ist der Abstand r dieses Punktes? \(\endgroup\)
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Mathematik: Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten
Released by matroid on Mo. 16. August 2021 18:59:39
Written by easymathematics - (325 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\) In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) können mit Stift und Papier nach und nach mittels Polynomdivision berechnet werden. Problem: Um einen Koeffizienten \(q_i\) zu berechnen, müssen die vorherigen \( q_{i+1}, ..., q_{n-1}\) bekannt sein. Wie wäre es mittels einer Matrix eine direkte Formel anzugeben? "Direkt" heißt hier: Ohne Kenntnis der vorherigen Koeffizienten. Ist es möglich? Falls nein, warum nicht? Und falls doch... wie sieht \[ q_{i} = f(a_{i}, b_{i}) \] aus? Ich habe mit auf die Suche begeben und das Resultat gibt es hier: \[ q_{n-1-i} = \sum \limits_{t=0}^{i} (-1)^{i+t} \quad b_{1}^{t-i-1} \quad b_{0}^{i-t} \quad a_{n-t}, \quad i=0, ..., n \] und speziell gilt \( q_{-1} = \frac{r}{b_1} \), welcher mit dem Koeffizienten der Laurent-Reihe an der Indexstelle -1 übereinstimmt. Hübsch, oder? Wir diskutieren in diesem Artikel den Beweis. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Released by matroid on Sa. 06. März 2010 00:35:51
Written by Florian - (18459 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?

Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt. Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen. Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat. Viel Vergnügen. \(\endgroup\)
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Mathematik: Typische Beweismotive
Released by matroid on So. 20. Juni 2021 16:23:34
Written by Triceratops - (853 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Typische Beweismotive

Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann. Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und illustriere sie wieder mit zahlreichen Beispielen. Es geht hierbei um keine konkreten Beweistechniken wie Induktion, Widerspruchsbeweis und dergleichen, wozu es schon sehr viel Material gibt, sondern um viel grundsätzlichere Denkweisen, die einem dabei helfen, einen Beweis zu finden.
• Reduktion auf einen Spezialfall • Teile und herrsche • Verschärfe die Behauptung • Führe einen Parameter ein • Verallgemeinere den Kontext
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Mathematik: Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen
Released by matroid on Do. 20. Mai 2021 12:49:04
Written by Triceratops - (619 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen

Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Verständnis dafür, was Matrizen und die Matrixmultiplikation eigentlich sind, wobei hier sogar Blockmatrizen inbegriffen sind. Dieser Artikel setzt lediglich Vektorräume, Basen und lineare Abbildungen als bekannt voraus, richtet sich also insbesondere an interessierte Studienanfänger*innen.
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Mathematik: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
Released by matroid on Mi. 28. April 2021 23:08:33
Written by Bernhard - (691 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\)

Steinchen wechsel Dich!

Ein neues Brettspiel von Bernhard

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Mathematik: Hüllenoperatoren
Released by matroid on Mi. 21. April 2021 13:00:05
Written by Triceratops - (412 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Hüllenoperatoren

Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Algebren ist sogar eine transfinite Rekursion nötig.
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Mathematik: Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett
Released by matroid on So. 18. April 2021 21:29:31
Written by Delastelle - (186 x read)
Mathematik  \(\begingroup\) Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
Released by matroid on Do. 08. April 2021 00:00:50
Written by Ueli - (356 x read)
Analysis  \(\begingroup\)

Einleitung

Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen. Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, die oft kontrovers diskutiert werden. Neben der Immunologie habe ich das Bevölkerungswachstum und die Hubbert-Linearisierung gewählt. Letztere Anwendung ist ein wichtiges Werkzeug zur Abschätzung von Ressourcen (bzw. Reserven). Alle Beispiele beziehen sich auf ein beschränktes Wachstum, wie es in der realen Welt üblich ist. Die Frage lautet oft, wo denn die Grenzen dieses Wachstums liegen. Durch Extrapolationen mit einfachen Modellen können solche Grenzen geschätzt werden. Zudem geht es mir darum grundlegende Begriffe und Formeln vorzustellen, in Themen die oft in der öffentlichen Diskussion auftauchen. Eine mathematische Einführung in die Wachstumsfunktionen findet sich in diesem Artikel von Diophant. \(\endgroup\)
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