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Mathematik: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
Freigegeben von matroid am So. 19. August 2018 21:47:41
Verfasst von Dune - (8 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen Informationen zwei konkrete Matrizen bestimmt, die \( J_1 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) erzeugen müssen (sofern sie denn überhaupt existiert!). Die tatsächliche Existenz von \( J_1 \) wurde erst später von Ward mit Hilfe eines Computerprogramms bewiesen.

In diesem Artikel möchte ich Jankos Ansatz anhand eines sehr viel einfacheren Beispiels demonstrieren. Wir betrachten hier die symmetrische Gruppe \( S_5 \). Indem wir alle (modularen) Charaktertafeln dieser Gruppe aufstellen, werden wir zeigen, dass sich die \( S_5 \) als Untergruppe in der \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{K}) \) bezüglich jedem beliebigen Körper \( \mathbb{K} \) wiederfindet. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass die \( S_5 \) genau dann als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{K}) \) auftritt, wenn \( \mathbb{K} \) ein Körper der Charakteristik 5 ist. Mit Hilfe eines entsprechenden Charakters werden wir auf systematische Weise eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe der \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) konstruieren.

Dieser Artikel richtet sich an alle, die ein klein wenig Vorwissen aus der herkömmlichen Darstellungstheorie endlicher Gruppen mitbringen und noch eine Motivation für die Beschäftigung mit der (noch viel spannenderen!) modularen Darstellungstheorie suchen. \(\endgroup\)
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Physik: Urknall vs. Big Bang
Freigegeben von matroid am So. 12. August 2018 00:53:54
Verfasst von Hans-Juergen - (287 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)
Im Thread über die gestohlene Fields-Medaille erwähnt Bernhard den "Dichterwettbewerb im Sommerloch" früherer Jahre. Im Folgenden erlaube ich mir  – unpoetisch – diesen Betrag für das besagte "Loch":

Urknall vs. Big Bang

In den zwanziger Jahren des vorigen Jahrhunderts wurde festgestellt, dass astronomische Objekte, die mit den damaligen Fernrohren nur nebelhaft zu erkennen waren, sich immer weiter vom irdischen Beobachter entfernen, was als die "Flucht der Spiralnebel" bezeichnet wurde. Man schloss daraus, dass nicht nur sie, sondern alle Himmelskörper früher enger beisammen waren. Das sollte so weit gegangen sein, dass sie anfangs einen einzigen kleinen, sehr dichten und heißen Körper bildeten, der scherzhaft "kosmisches Ei" genannt wurde. Seine Größe wird bis heute manchmal mit der einer Pampelmuse verglichen. Meistens aber nehmen die Kosmologen einen Punkt mit unendlicher Dichte und Temperatur an, obwohl diese der Physik an sich fremd sind. Irgendwann, so wurde weiter vermutet, explodierte das kosmische Ei, und aus seinen Trümmern entstanden alle Sterne und Galaxien, aus denen das jetzige Universum besteht.

Diese "Explosion" wurde im Englischen "Big Bang" genannt, d. h. einfach nur "Großer Knall", während es damit im Deutschen anders aussieht. Hier hat sich der Ausdruck "Urknall" eingebürgert, wodurch eine bestimmte Denkrichtung entstand: Da die Vorsilbe "Ur" wie bei Urwald, Urmensch, Urvogel u. ä. etwas beschreibt, das als erstes da war und keinen Vorgänger hat, bezeichnet der Begriff "Urknall" nicht nur besagte angenommene Explosion, sondern gleichzeitig auch den Anfang des Universums, was beim Wort "Big Bang" nicht automatisch vorausgesetzt wird.

Man glaubte sogar, und viele glauben immer noch daran, angenähert den Zeitpunkt des vermeintlichen "Urknalls" angeben zu können, und damit auch, wann das Universum entstand. Das soll vor ca. 13,7 Milliarden Jahren gewesen sein. (Nach anderen Angaben könnten es auch 14,5 Mrd. Jahre sein, vgl. hier, Fußnote.)

In einem YouTube-Video, das dieser Thematik gewidmet ist, vermeidet Herr Professor Harald Lesch den Ausdruck "Urknall" und verwendet statt dessen den weniger verfänglichen englischen Begriff; doch behauptet auch er, wie es die Urknall-Theoretiker tun, dass das Universum ungefähr fünfzehn Milliarden Jahre alt ist.

Professor Lesch kann nicht verstehen, dass es Menschen gibt (angeblich "vierzig Prozent der Bundesbürger" nach einer Emnid-Umfrage), die fragen, was vor dem Big Bang war. Er meint, dass mit diesem einfach Alles entstand: nicht nur die Sterne, Galaxien usw., sondern auch die Naturgesetze, der Raum und die Zeit. Deshalb ließe sich die Frage, was davor war, gar nicht erst stellen.

Trotzdem geht er in dem Video auf sie ein und argumentiert temperamentvoll "mit Händen und Füßen", wie er selber sagt. Dabei schwingt Unsicherheit mit. "Verzweifelt" fragt der Professor: "Wie soll ich Ihnen das jetzt erklären?". Minutenlang redet er bildhaft von "Erbsensuppe", später auch, dem andächtig lauschenden Publikum einzelne Brocken aus dem Vokabular der Quantentheorie hinwerfend, von "Badeschaum", wobei er sich die Bemerkung "Vielleicht hat der liebe Gott gebadet" nicht verkneifen kann. Am Ende seines Vortrags kommt er zu der wenig überraschenden Feststellung, dass sich manches, wie zum Beispiel die Liebe, naturwissenschaftlich nicht erklären lässt.

Nicht erwähnt wird in dem Video ein anderes Gedankenmodell, bei dem es durchaus sinnvoll ist zu fragen, was vor einem Big Bang war: das pulsierende oder oszillierende Universum. Dieses dehnt sich abwechselnd aus und zieht sich wieder zu einem Punkt zusammen, wobei es jedesmal "knallt". Träfe diese Vorstellung zu, dann wäre der Big Bang, von dem die meisten annehmen, er sei der einzige gewesen, in Wirklichkeit der vorläufig letzte in einer vielleicht unendlich langen Reihe; das Universum hätte keinen Anfang und kein Ende.

Selber denke ich dazu: wenn in dem Video gesagt wird, dass die Naturgesetze die Folge des Big Bang waren, ist das eine willkürliche Setzung. Das Umgekehrte ist ebenso denkbar: der Big Bang war eine Folge der Naturgesetze. Sie waren vor ihm da; er fand in ihrem Rahmen statt; sie bewirkten ihn. Bei dieser Betrachtungsweise ist das Unverständnis Professor Leschs gegenüber den oben erwähnten "vierzig Prozent" nicht angebracht.

Denkbar ist vieles, Wahres und Falsches. Deshalb bin ich keineswegs der Ansicht, dass es ein oszillierendes Universum wirklich gibt. Weder für dieses noch für das Ein-Urknall-Modell, wie ich das von Herrn Professor Lesch bevorzugte einmal nennen möchte, gibt es den direkten experimentellen Beweis, nur indirekte Indizien und mehr oder weniger zahlreiche Ad-hoc-Annahmen, siehe dazu z. B. hier, S. 660ff.

Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
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Physik: Die Bernoulli-Gleichung in rotierenden Systemen
Freigegeben von matroid am Di. 24. Juli 2018 17:13:07
Verfasst von Liverpool - (457 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)


Stellen wir uns doch mal einem simplen Problem aus der Strömungsmechanik:
Gegeben sei ein Rasensprenger mit abgewinkelten Armen.
Durch eine Pumpe wird ein Volumenstrom durch die Leitungen gezwängt, aufgrund der Drallerhaltung beginnt der Rasensprengerkopf zu drehen, sobald der Wasserstrahl in den abgewinkelten Rohrteil eintritt und zwangsweise um die Kurve gelenkt wird.

Nun möchten wir irgendwelche Systemeigenschaften herausfinden, z.B. welche Enddrehgeschwindigkeit vom Sprenger eingenommen wird bei bekanntem Reibmoment.
Der Lösungsweg ist ein simpler: Wir benutzen die Bernoulli-Gleichung unter Zuhilfenahme von Randbedingungen, sowie die Kontinuitätsgleichung.
Mit dem erhaltenen Druck- und Geschwindigkeitsfeld ist nun alles ermittelbar: Alle Kräfte, Momente und somit auch die Endwinkelgeschwindigkeit.

Jedoch liegt der Teufel im Detail, der Rechenweg ist richtig, jedoch ist in diesem Fall die klassisch definierte Bernoulligleichung unbrauchbar.
\(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Wo ist Paul?
Freigegeben von matroid am Mi. 13. Juni 2018 20:15:48
Verfasst von buh - (406 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
WO ist PAUL?*

Muss ich alles alleine machen?

 
Vor der ersten Halbzeitpause. Kaum sind vier Jährchen vorbei, ist schon wieder Zeit für Kathrinchen, der ich schon nach 2006 und vor den guten Ratschlägen ein Denkmal gesetzt hatte. Diesmal erklärt sie uns beim ZDF den Zusammenhang von Plattenhart und den Plattenbauten von Moskau, während die Schlaumeier*** zu Hause in Badens Spielbank bleiben und die Ergebnisse unter sich auszocken \(\endgroup\)
mehr... | 2221 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Stern Mathematik: kleine mathematische Hilfe für potentielle Schwiegermütter
Freigegeben von matroid am Mi. 23. November 2005 20:31:34
Verfasst von N-man - (5184 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
BildSehr geehrte potentielle Schwiegermütter,

dieser kleine Artikel soll Ihnen helfen die liebreizende Tochter bzw. den werten Sohn endlich zufriedenstellend unter die Haube zu bringen.
Dabei wird nur erklärt werden, wie man solch ein zufriedenstellendes Schwiegerkind findet. Die Aufgabe, das eigene Kind von dieser Wahl anschließend zu überzeugen, obliegt Ihnen und den Früchten Ihrer dominanten Erziehung. \(\endgroup\)
mehr... | 41907 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Umsetzung der Datenschutz-Grundverordnung (DSGVO)
Freigegeben von matroid am Mi. 23. Mai 2018 19:03:18
Verfasst von matroid - (613 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}\newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Liebe Mitglieder und Besucher!

Sicher haben Sie von der neuen Datenschutz-Grundverordnung ("DSGVO") gehört, die am 25. Mai 2018 in Kraft tritt. Um die Einhaltung der DSGVO-Einwilligungserfordernisse zu unterstützen, müssen wir bestätigen, dass Sie Inhalte von uns erhalten möchten.

Darum werden wir Ihnen ab jetzt nur noch dann unseren Newsletter zusenden, wenn Sie dies ab heute neuerlich wünschen und erlauben. Alle Einstellung bzgl. Newsletter-Versand von vor dem heutigen Tage, haben wir zurückgesetzt. Wenn Sie jetzt nichts unternehmen, erhalten Sie keine Newsletter mehr. Als Mitglied finden Sie die Einstellmöglichkeit bzgl. Newsletterversand in Ihrem Benutzerprofil.
Ein Versand von Newsletters an Nicht-Mitglieder werden wir nicht mehr durchführen. Alle bisher von Nicht-Mitgliedern hier gespeicherten Email-Adressen wurden heute gelöscht.

Weiter stellen wir heute den Service "Einen Freund auf einen Artikel aufmerksam machen" ein, weil wir hier nicht kontrollieren können, ob der Adressat die von Ihnen an ihn abgesendet Mail wirklich haben möchte.

Mehr Auskunft über die Daten, die wir hier von unseren Mitgliedern gespeichert haben, erhalten Sie in unserer Datenschutzerklärung.

Bitte wenden Sie sich an den im Impressum genannten Kontakt, wenn Sie Fragen haben oder Auskünfte erhalten möchten.

Ihr / Euer Matroid
Solingen am 23.5.2018


Ergänzung am 28.5.2018: Die Domains matheplanet.at matheplanet.ch matheplanet.com matheplanet.de matheplanet.eu matheplanet.org www.matheplanet.at www.matheplanet.ch www.matheplanet.com www.matheplanet.de www.matheplanet.eu www.matheplanet.org sind nun durch ein Zertifikat gesichert und die Datenverbindung zum Server ist verschlüsselt.
Ebenso gesichert ist fedgeo.de fedgeo.com fed.matheplanet.de fed.matheplanet.com usw. sowie chat.matheplanet.de.
\(\endgroup\)
mehr... | 16 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Einstieg für Laien in die Finanzmathematik
Freigegeben von matroid am Do. 26. April 2018 17:14:18
Verfasst von Gerhardus - (510 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik

Die ersten vier Kapitel sind Basiswissen der Schule. Der Text danach entstand aus zwei Kursen über Finanzmathematik für Laien, die erstmals im Winter 2017/2018 im Bildungsforum Dortelweil e.V. in Bad Vilbel stattfanden, dank der Geschichten aus dem Leitfaden-Buch Bernd Luderer, Mathe, Märkte und Millionen, 2013 (siehe Literaturliste L5) und dank des vorliegenden Lehrtextes, der das benötigte Wissen möglichst einfach erklärt. Nur der Abschnitt 7.3 und das Kapitel 9 erfordern Differenzialrechnung und Oberstufen-Stochastik.
Das Äquivalenzprinzip erlaubt, künftige Zahlungen mit gegenwärtigen zu vergleichen, abhängig vom Zinsmodell. Modelle spielen in der Finanzmathematik eine große Rolle, ihre Stärken und Schwächen werden untersucht. So ist auch das No-Arbitrage-Prinzip notwendig für jedes Modell, auch wenn Börsianer etwas anderes glauben.
Die erwähnten Modelle können den Finanzmarkt organisieren und bewerten. Modellieren heißt hier nicht, Gleichungen aufzustellen, sondern mit den Regeln der Produkte ein System auf Prinzipien aufzubauen. Der wirkliche Finanzmarkt ist aber völlig anders als die Modelle.
Der Lehrtext liegt hier als pdf-Datei vor. Aufmerksame Leser, Kritik und Fehlerhinweise sind stets willkommen.

Inhalt
1. Beispiele für das Rechnen mit prozentualen Proportionen
2. Einfache Zinsrechnung
3. Zinseszinsrechnung (8. Schuljahr)
4. Über Potenzen und Logarithmen (9. Schuljahr)
4.1 Die Umkehrfunktion
4.2 Stetige Verzinsung
4.3 Durchschnittliche und logarithmierte Rendite
5. Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
5.1 Äquivalenz von Zahlungsströmen
5.2 Höhere Rendite dank Vorschusszinsen
5.3 Effektivzinssatz laut gesetzlicher Preisangabenverordnung (PAngV)
5.4 Unterschiedliche Zinsperioden
6. Vergleich von monatlicher und jährlicher Rate bei einfacher Verzinszung
7. Vergleich von jährlichen Zahlungen mit einer Einmalzahlung beim Zinseszins
7.1 Kursformel einer Anleihe
7.2 Annuitätenkredit
7.3 Risikokennzahl und Duration
8. Zinsstrukturen und Forward Rates als Derivate von Spot Rates
8.1. Vereinbarung über einen zukünftigen Zinssatz (FRA)
8.2. Das No-Arbitrage-Prinzip
8.3. Zins-Swaps
9. Optionsscheine
9.1. Basiswissen
9.2. Der Weg zum Black-Scholes-Modell: Die Option als Portfolio
9.3. Stochastische Aktienmodelle
10. Literaturliste


\(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Mathe.Abitur.2018
Freigegeben von matroid am Di. 24. April 2018 11:47:06
Verfasst von buh - (432 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Mathe.Abitur.2018

Hier geht’s lang
 

Berlin: Noch eine gute Woche, dann wird es ernst*: Am 2. Mai (2018) schreiben Berliner und Brandenburger ihre Mathematik-Abitur-Klausuren. Wie wohl wird sich diesmal die Kontextorientierung in den Aufgabentiteln widerspiegeln? \(\endgroup\)
mehr... | 3353 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Mathematik: Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren
Freigegeben von matroid am Mi. 11. April 2018 09:55:02
Verfasst von Triceratops - (341 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren

Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell
$$\overline{m}(a,a)=a, \quad \overline{m}(a,b)=\overline{m}(b,a).$$Es gilt auch
$$\overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a',b'))= \overline{m}(\overline{m}(a,a'),\overline{m}(b,b')),$$weil beide Seiten $(a+b+a'+b')/4$ sind. Zwar erfüllt $\overline{m}$ auch weitere Relationen wie z.B. $\overline{m}(\lambda \cdot a,\lambda \cdot b) = \lambda  \cdot \overline{m}(a,b)$, aber hierbei wird die Skalarmultiplikation $\cdot$ genutzt, welche also eigentlich eine weitere Operation darstellt. Wir möchten uns aber auf die Operation $\overline{m}$ beschränken. Tatsächlich kann man zeigen, dass $\overline{m}$ keine weiteren Relationen erfüllt; natürlich abgesehen von denen, die aus den genannten Relationen folgen, wie etwa
$$\overline{m}(a,\overline{m}(b,c)) = \overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a,c)).$$Mit dem Begriff der Mittelpunkt-Algebra und insbesondere der Struktur von freien Mittelpunkt-Algebren lässt sich diese Aussage genauer fassen und auch beweisen. Für das allgemeine arithmetische Mittel
$$\overline{m}(a_1,\dotsc,a_q) = (a_1+\cdots+a_q)/q$$kann man dann genauso vorgehen.
\(\endgroup\)
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