Released by matroid on Fr. 24. Juli 2020 20:45:42 Written by blindmessenger - (486 x read)
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Collatzsieb
Einleitung
Es seien $X$ und $Y$ die Mengen
$$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$
$$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$
Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die Menge $X$ heraussieben. So lässt sich ein Sieb für Collatzfolgen konstruieren.
Im Folgenden wird gezeigt wie man dieses Sieb herleiten kann...
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Mathematik: Ausdehnen von algebraischen Gleichungen
Released by matroid on So. 12. Juli 2020 21:52:37 Written by Triceratops - (318 x read)
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Ausdehnen von algebraischen Gleichungen
Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von Laplace, die Brahmagupta–Fibonacci-Identität und die Vier-Quadrate-Formel von Euler, die Vandermonde-Identität, die Formel für das charakteristische Polynom eines Matrixproduktes und eben den Satz von Cayley-Hamilton.
Mathematik: Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen
Released by matroid on Mi. 01. Juli 2020 18:12:01 Written by Vercassivelaunos - (277 x read)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet und gleichzeitig verstärkt: Die totale Ableitung $\D f$ einer Funktion ist jetzt im wahrsten Sinne des Wortes eine lineare Abbildung, die in einem gewissen Sinne $f$ gut nähert. Ihre Darstellungsmatrix ist die bekannte Jacobimatrix. Wir werden im Folgenden sehen, dass die Taylorentwicklung eine Verallgemeinerung dieses Konzepts der linearen Näherung darstellt. Wir werden dabei feststellen, dass auch höhere Ableitungen in mehrdimensionalen Räumen in der Sprache der linearen Algebra beschrieben werden können, wenn man höhere Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen als Multilinearformen interpretiert. Wir wollen ein tieferes Verständnis für die Taylorentwicklung auch in mehreren Dimensionen entwickeln und werden bemerken, dass die mehrdimensionale und die eindimensionale Taylorentwicklung gar nicht so verschieden sind. Wir werden dabei in der theoretischen Beschreibung vollständig auf Multiindizes, Multinomialkoeffizienten und partielle Ableitungen verzichten. Nebenbei können wir die Definition höherer Ableitungen auch noch erweitern.
Am Schluss werden einige beispielhafte Taylorentwicklungen in 2d berechnet und graphisch dargestellt.
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Released by matroid on So. 20. Mai 2007 22:31:04 Written by Buri - (8112 x read)
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Ich möchte hier eine kleine Einführung in die Theorie der rekursiven Funktionen geben. Es handelt sich ausschließlich um Funktionen, deren Argumente natürliche Zahlen sind: 0,1,2,3,... .
Der Begriff der rekursiven Funktion dient vor allem dem Zweck, Funktionen, die prinzipiell mit Hilfe eines Algorithmus berechnet werden können (berechenbare Funktionen), von solchen Funktionen abzugrenzen, die nicht berechenbar sind.
Wir werden im folgenden definieren, was man unter rekursiven Funktionen versteht.
Solche Funktionen sind, wie die Definition zeigt, berechenbar.
Sind mit den rekursiven Funktionen alle berechenbaren Funktionen ausgeschöpft?
Man weiß es nicht, aber Alonzo Church (1903-1995) meint, ja.
Diese Behauptung ist als Churchsche These bekannt, beweisen kann man sie nur, wenn man den Begriff "Berechenbarkeit" näher konkretisiert.
Das geht, solche Konkretisierungen gibt es sehr viele (Turing-Maschinen, Register-Maschinen, Loop-Programme). Es hat sich herausgestellt, daß alle irgendwie denkbaren Begriffe von Berechenbarkeit auf Turing-Maschinen zurückgeführt werden können, und daß für einen solchen Begriff von Berechenbarkeit die Churchsche These richtig ist.
Auf den Zusammenhang der rekursiven Funktionen mit Turing-Maschinen möchte ich indessen nicht näher eingehen, sondern schränke mich darauf ein, rekursive Funktionen zu definieren und ihre Eigenschaften zu untersuchen.
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Mathematik: Lineare Algebra mit dem Austauschverfahren
Released by matroid on Do. 04. Juni 2020 17:16:25 Written by lewis - (472 x read)
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Das Austauschverfahren ist ein allgemeines — inzwischen leider vernachlässigtes — Werkzeug der Linearen Algebra. Mit entsprechenden Anpassungen kann man damit
einen Basiswechsel durchführen,
den Rang einer Matrix ablesen,
Matrizen invertieren,
lineare Gleichungssysteme und Matrizengleichungen lösen,
Released by matroid on So. 31. Mai 2020 21:15:15 Written by MontyPythagoras - (499 x read)
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Domino Day
In meiner nicht enden wollenden Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich dieses Mal mit dem erstaunlich komplexen physikalischen Phänomen des Dominoeffektes befassen, und zwar soll berechnet werden, mit welcher Geschwindigkeit sich das Umfallen der Dominosteine fortpflanzt. Vor langer Zeit gab es hier auf dem Matheplaneten schon einmal einen Thread zu dem Thema, der aber über ein paar anfängliche Überlegungen nicht hinaus kam. Also bestmögliche Voraussetzungen, um beim nächsten Mal, wenn jemand vom Dominoeffekt anfängt, mit Klugscheißerwissen zu glänzen!
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Die Hydra von Strigidia Ein reverses Märchen*
Ruhe***. Bei meinen Forschungen in der Bibliothek zu Fibona fand ich in einer Sammlung alter Geschichten auch die folgende Sage:
Im Hafen von Strigidia steht die Statue einer Hydra.
Blassblau thront sie auf einer Säule mitten im Hafenbecken.
Im Hafen tummeln sich die roten Boote der Fischer, die blauen Clipper derer, die nach R-Folgen jagen, und die gelben Pontons derer,\(\endgroup\)
Now we are happy to announce that we can add two more members to this sequence. The following holds.
\[a(16)=142664107305\]
\[a(17)=1836652173363\]
Furthermore, we were able to calculate the member \(a'(43)\) for the related sequence A002849.
\[a'(43)=16852166906\]
Mathematik: Lösen von Linearen Optimierungsproblemen mit Java
Released by matroid on Di. 07. April 2020 21:44:30 Written by Delastelle - (326 x read)
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Im Rahmen meiner Diplomarbeit habe ich im Jahr 2001 C/C++ Programme von Robert J.Vanderbei zur Linearen Optimierung in Java implementiert. Kern sind 2 LP-Löser - ein Simplexartiges Verfahren und ein Innere-Punkt-Verfahren.
Damit kann man schnell kleine, mittlere und auch große Optimierungsprobleme lösen.
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Rezensiert vonDiophant: Dieser zweite Band der Analysis-Reihe von Wolfgang Walter erhebt wie auch schon der erste Band den Anspruch, durchaus auch über den Stoff üblicher Vorlesungen zur mehrdimensionalen Analysis hinauszugehen. Die aus dem ersten Band bekannten historischen Abrisse zu Beginn der Kapi ... [mehr...]
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n.n..n…neunzehn (5)
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Informatik: Rekursive Funktionen
In meiner nicht enden wollenden Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich dieses Mal mit dem erstaunlich komplexen physikalischen Phänomen des Dominoeffektes befassen, und zwar soll berechnet werden, mit welcher Geschwindigkeit sich das Umfallen der Dominosteine fortpflanzt. Vor langer Zeit gab es hier auf dem Matheplaneten schon einmal 
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