Mathematik: Quaternionen und Möbiustransformationen
Released by matroid on Fr. 27. Januar 2023 19:43:49
Written by Gestath - (103 x read)
Analysis  \(\begingroup\)

Quaternionen und Möbiustransformationen

Sei H die Menge der Quaternionen und S^2=menge(x \el\ H, abs(x)=1, x=-x^-) die Menge der reinen Quaternionen mit Betrag 1. Bewiesen wird der folgende Satz: Eine Möbiustransformation f: S^2->S^2 hat die Gestalt: f(x)=(ax-b)(bx+a)^(-1), a,b \el\ H, a<>0 oder b<>0 , b^(-1)*a \notel\ S^2 Abschließend wird noch eine koordinatenfreie Definition von reellen Unterräumen in einem komplexen projektiven Raum angerissen. \(\endgroup\)
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Mathematik: Verleihung der 21. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Released by matroid on So. 22. Januar 2023 15:00:00
Written by matroid - (619 x read)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Verleihung
der 21. Matheplanet-Mitglieder-Awards

22. Januar 2023
\(\endgroup\)
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Mathematik: Kartenbauten
Released by matroid on Mo. 02. Januar 2023 22:15:25
Written by Delastelle - (202 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Schon ein einfaches Skatspiel mit 32 Karten genügt um etwas zu Bauen. Ich kenne 3 Typen von Bauten. Hier werden sie vorgestellt. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch
Released by matroid on Fr. 16. Oktober 2015 19:43:06
Written by shadowking - (2965 x read)
Mathematik  \(\begingroup\) \huge{\textsf{Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht}} Wie die Mandelbrotmenge aussieht, brauche ich jemandem, der auf diesen Seiten regelmäßig aktiv ist, nicht mehr zu erklären. Diese äußerst komplizierte fraktale Menge ist zu einem Aushängeschild für die moderne rechnergestützte Mathematik und Algorithmik geworden. Ob ein wissenschaftlicher Themenbereich "populär" wird, ist weniger eine Frage seines Inhalts oder seiner Bedeutung, sondern eine Frage der Reklame. Und dafür hatten Herr Mandelbrot und seine Mitstreiter definitiv die schöneren Bilder produziert - und das in einer Zeit, da Rechenmaschinen noch groß wie Schränke waren und weniger konnten als etwa heute ein Smartphone. Da die numerische Rechenpower heute leicht zu bekommen und kostengünstig ist, siegt allzu oft die schiere Rechnerkraft über eine Betrachtungsweise, die den Phänomenen mit klassischer Mathematik auf den Grund geht. \(\endgroup\)
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Matheplanet-Award: MP-Awards für 2022
Released by matroid on Fr. 30. Dezember 2022 11:37:43
Written by matroid - (342 x read)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Abstimmung zum Matheplanet-Award für 2022


Award-Gala Sonntag 15h!


 
  Matheplanet-Mitglieder-Award für 2022

Awards werden in 9 Kategorien vergeben. Für die Awards sollen Mitglieder nominiert werden, die im Jahr 2022 in der jeweiligen Kategorie positiv hervorgetreten sind.

Grundsätzlich kann jedes Mitglied jedes Mitglied nominieren und wählen.

Bitte gib Deine Stimme ab, denn damit drückst Du Deine Zufriedenheit und Anerkennung aus. Wähle in jeder Kategorie Deinen Favoriten unter den Nominierten, oder trage Deine Nominierung ein.

Jedes Mitglied kann in jeder Kategorie beliebig viele Stimmen abgeben, solange die Stimmen verschiedenen Kandidaten gegeben werden. Um weitere Stimmen abzugeben, rufe das Wahlformular bitte mehrfach auf.

Du kannst abstimmen ab dem 1.1.2023 und bis zum 20.1.2023. Die feierliche Verleihung der Matheplanet-Awards findet am 22.1.2023 hier auf dem Matheplaneten statt.



>>> Zum Wahlformular (Abstimmen ist beendet)
 
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Mathematik: Zerfällungsalgebren
Released by matroid on Di. 20. Dezember 2022 15:47:56
Written by Triceratops - (227 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Zerfällungsalgebren

In Algebra-Vorlesungen lernt man den Zerfällungskörper eines Polynoms über einem Körper kennen. Tatsächlich ist dieser Körper nicht eindeutig bestimmt, nur bis auf nicht-eindeutige Isomorphie, und besitzt keine konstruktive Konstruktion. Zerfällungsringe bzw. Zerfällungsalgebren beheben dieses Problem. Sie lassen sich sehr elegant über eine universelle Eigenschaft kennzeichnen, sind also bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmt, und ihre Existenz lässt sich leicht und konstruktiv beweisen. Zerfällungskörper kann man wiederum als geeignete Quotienten davon gewinnen. Die Grundidee ist, dass man für normierte Polynome $f \in R[X]$, wobei hier nun $R$ ein beliebiger kommutativer Ring sein kann, eine in einem gewissen Sinne kleinste Ringerweiterung $R \subseteq S$ sucht, sodass $f$ in $S[X]$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Zerfällungsalgebren sind nicht so bekannt wie sie sein sollten, und ihre Behandlung in diesem Artikel unterscheidet sich insofern von der relativ spärlichen Literatur, dass wir eine allgemeine Quotientenkonstruktion für Algebren verwenden und konsequent universelle Eigenschaften verwenden, um mit wenig Rechnung zu denselben Resultaten zu kommen. Abgesehen von der Existenz von Zerfällungskörpern besprechen wir noch zwei weitere Anwendungen, nämlich dass ganze Elemente unter Ringoperationen abgeschlossen sind sowie die Existenz eines ringtheoretischen algebraischen Abschlusses.
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buhs Montagsreport: DAR**: Was, wenn es so gewesen wäre?
Released by matroid on Do. 15. Dezember 2022 18:19:09
Written by buh - (171 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\) Urlogo für buhs Montagsreport DAR**: Was, wenn es so gewesen wäre? Und was, wenn nicht? Zinbiel. Und immer hat alles ein Ende. Oder einen. Und wenn etwas nicht endet, dann ist es wohl die Dummheit. Dass buhs MontagsReport keines hat, ist wohl falsch. Und wenn maskenbewehrte Punks ihre Esel zum Glühweinstand durchs Schneetreiben treiben und inflationsbedingt rufen: "Hastema ßwei Eyro?", wenn GottschGutte den Rückblick starten, wenn (reaktiviert) Werner Hansch und Waldi zur vierten Kerze das WM-Finale kommentieren, dann ist es an buhs MontagsReport, zurückzublicken auf des Le Prophezeiungen und zu berichten, wie es wirklich war. \(\endgroup\)
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Mathematik: Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen
Released by matroid on So. 27. November 2022 13:20:12
Written by nzimme10 - (1084 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\)

Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen

Wir schreiben das Jahr 2022. Man findet im Internet einen alten Artikel des Mathematikers Jean Dieudonné und liest von einer "Perversion der schönsten Ideen von Graßmann". Tristan Needham spricht in seinem exzellenten Buch "Visual Differential Geometry and Forms" von einem jahrhundertlangen "Skandal" ohne Aussicht auf Besserung. Was wohl passiert sein mag? Konkret geht es sowohl Dieudonné als auch Needham um die Vektoranalysis im $\mathbb R^3$. Der "Skandal" dabei ist, dass es spätestens seit dem Jahre 1940 eine schönere, wesentlich allgemeinere und oftmals sehr viel einfachere Theorie gibt: die Differentialgeometrie mit Élie Cartan's Differentialformen. Dennoch arbeiten viele (vor allem) Physiker auch heute noch regelmäßig mit der "Perversion, die die Vektoranalysis ist". Der noch verrücktere "Skandal" ist, dass viele Physikstudenten und auch Mathematikstudenten im Laufe ihres Studiums manchmal gar keinen und oft nur sehr wenig Kontakt mit Differentialformen haben. (Zumindest ist das die Erfahrung, die ich regelmäßig mache.) Dieser Artikel möchte einen Beitrag dazu leisten, das zu ändern. Wir betrachten die schöne und einfache Theorie der Differentialformen auf dem $\mathbb R^n$ und zeigen, warum diese Theorie alles schöner und einfacher macht. Zum Abschluss demonstrieren wir diese Behauptung auch an den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik. Dieser Artikel richtet sich in erster Linie an Physikstudenten. \(\endgroup\)
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Mathematik: Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie
Released by matroid on Fr. 11. November 2022 09:17:20
Written by nzimme10 - (589 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\)

Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie

Ein Tensor ist ein Objekt, das wie ein Tensor transformiert. In etwa das ist die Definition in manchen Physikbüchern oder einführenden Vorlesungen. Diese "Definition" eignet sich zwar um Berechnungen durchführen zu können, aber wirklich verstehen kann man sie (zumindest am Anfang) nicht. Wenn man sich mit der Differentialgeometrie beschäftigt stellt man schnell fest, dass man in der Regel kein globales kanonisches Koordinatensystem mehr hat. Auf Mannigfaltigkeiten können daher nur Konzepte definiert werden, die unabhängig von den gewählten (lokalen) Koordinaten sind, die also intrinsisch definiert sind. Viele der Konzepte der Differentialgeometrie sind dafür gemacht, die Mittel der linearen und multilinearen Algebra darauf anzuwenden. Tensoren und Tensorfelder, das wird sich zeigen, sind dann genau die mathematischen Objekte, die diese koordinatenunabhängige Beschreibung verschiedener Eigenschaften möglich machen. Dieser Artikel möchte einen Beitrag zum Verständnis dieser Konzepte aus Sicht der Differentialgeometrie leisten.
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