Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten

Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Koeffizientensumme $\smash{\binom{n}{k}}$ ist. Neben der allgemeinen Definition und einigen Rechenregeln charakterisieren wir sie auch mit einem nicht-kommutativen Binomialsatz und beweisen verschiedene kombinatorische Interpretationen ihrer Koeffizienten.

Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace

Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildungen. Das wesentliche technische Hilfsmittel sind äußere Potenzen.

Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle

Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des Nullpolynoms? Was ist die freie Gruppe auf der leeren Menge? Wieviele Orientierungen hat ein Punkt?

Solche und ähnliche Fragen über triviale Fälle werden in diesem Artikel beantwortet. Dabei streifen wir verschiedene Gebiete der Mathematik. Das wiederkehrende Motiv lautet hierbei, dass es sich um keine Konventionen handelt, sondern die Definitionen (wenn man sie denn richtig formuliert) die trivialen Fälle bereits mit abdecken. Sie brauchen also tatsächlich gar keine Sonderbehandlung, auch wenn das in manchen Quellen suggeriert wird, ja sogar zu uneinheitlichen Konventionen geführt hat.

Ein anderes wiederkehrendes Motiv ist, dass es tatsächlich sinnvoll ist, triviale Fälle mit einzuschließen (wenn sie nicht gerade zu einfach sind, um einfach zu sein), auch wenn sie zunächst nicht wirklich interessant erscheinen und manchmal der (falsche) Eindruck entsteht, dass sie nicht in die allgemeine Theorie passen. Tatsächlich würde der Ausschluss von trivialen Fällen die Mathematik unnötig kompliziert machen. Man stelle sich einen Würfel vor, der die Mathematik repräsentiert: wir würden doch nicht seine Ecken abschneiden, nur weil ihre Koordinaten langweilig sind. Zudem würde sich ein eckenloser Würfel nicht mehr aus kleineren eckenlosen Würfeln zusammensetzen.

Dieser Artikel ist sehr stark motiviert durch und angelehnt an die Diskussion MO/45951 auf mathoverflow. Außerdem habe ich noch einige Beispiele ergänzt, die mir über den Weg gelaufen sind. Wenn ihr weitere passende Beispiele habt, postet sie gerne in die Kommentare.

Ausdehnen von algebraischen Gleichungen

Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von Laplace, die Brahmagupta–Fibonacci-Identität und die Vier-Quadrate-Formel von Euler, die Vandermonde-Identität, die Formel für das charakteristische Polynom eines Matrixproduktes und eben den Satz von Cayley-Hamilton.