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Mathematik: Elemente der Kategorientheorie
Freigegeben von matroid am So. 31. Dezember 2017 10:31:20
Verfasst von Nichtarchimedes - (504 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb}\newcommand{\IN}{\numberset{N}}\newcommand{\IZ}{\numberset{Z}}\newcommand{\IQ}{\numberset{Q}}\newcommand{\IR}{\numberset{R}}\newcommand{\IC}{\numberset{C}}\newcommand{\IH}{\numberset{H}}\newcommand{\IA}{\numberset{A}}\newcommand{\IP}{\numberset{P}}\newcommand{\IF}{\numberset{F}}\newcommand{\IT}{\numberset{T}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\ev}{\operatorname{ev}}\newcommand{\pt}{\operatorname{pt}}\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}\newcommand{\categoryname}{\mathbf}\newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}}\newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}}\newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}}\newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}}\newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}}\newcommand{\calligraphic}{\mathcal}\newcommand{\C}{{\calligraphic{C}}}\)

Elemente der Kategorientheorie



Elemente und Kategorientheorie in derselben Überschrift? Passt das zusammen? Es passt. In diesem Artikel soll eine Möglichkeit vorgestellt werden, den Elementkalkül der elementaren Mengenlehre in allgemeinen Kategorien zu entwickeln und mit der neu gewonnen Sichtweise Konzepte aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien zu übertragen. Bei diesem Vorgehen werden wir ganz natürlich (wie passend!) auf das bekannte Yoneda-Lemma stoßen, welches uns den Artikel über begleiten wird. Anschließend werden wir einige Konzepte, wie Teilmengen, kartesische Produkte, und Gruppen in allgemeinen Kategorien interpretieren. Zur Lektüre wird kein Vorwissen über Kategorien vorausgesetzt, alles Nötige wird im Artikel eingeführt. Tatsächlich könnte man den Artikel auch als eine unkonventionelle Einführung in einige Konzepte der Kategorientheorie verstehen.

Hier gibt es eine PDF-Version des Artikels (aktualisiert am 02.01.2018).
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mehr... | 36005 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch
Freigegeben von matroid am Fr. 16. Oktober 2015 19:43:06
Verfasst von shadowking - (1843 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)


<math>\huge{\textsf{Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht}}</math>


Wie die Mandelbrotmenge aussieht, brauche ich jemandem, der auf diesen Seiten regelmäßig aktiv ist, nicht mehr zu erklären. Diese äußerst komplizierte fraktale Menge ist zu einem Aushängeschild für die moderne rechnergestützte Mathematik und Algorithmik geworden. Ob ein wissenschaftlicher Themenbereich "populär" wird, ist weniger eine Frage seines Inhalts oder seiner Bedeutung, sondern eine Frage der Reklame. Und dafür hatten Herr Mandelbrot und seine Mitstreiter definitiv die schöneren Bilder produziert - und das in einer Zeit, da Rechenmaschinen noch groß wie Schränke waren und weniger konnten als etwa heute ein Smartphone. Da die numerische Rechenpower heute leicht zu bekommen und kostengünstig ist, siegt allzu oft die schiere Rechnerkraft über eine Betrachtungsweise, die den Phänomenen mit klassischer Mathematik auf den Grund geht.


\(\endgroup\)
mehr... | 52825 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Matheplanet-Award: MP-Awards für 2017
Freigegeben von matroid am Sa. 30. Dezember 2017 00:00:28
Verfasst von matroid - (719 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}\newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Abstimmung zum Matheplanet-Award für 2017





 
  Matheplanet-Mitglieder-Award
für 2017


Awards werden in 10 Kategorien vergeben. Für die Awards sollen Mitglieder nominiert werden, die im Jahr 2017 in der jeweiligen Kategorie positiv hervorgetreten sind.

Grundsätzlich kann jedes Mitglied jedes Mitglied nominieren und wählen.

Bitte gib Deine Stimme ab, denn damit drückst Du Deine Zufriedenheit und Anerkennung aus. Wähle in jeder Kategorie Deinen Favoriten unter den Nominierten, oder trage Deine Nominierung ein.

Jedes Mitglied kann in jeder Kategorie beliebig viele Stimmen abgeben, solange die Stimmen verschiedenen Kandidaten gegeben werden. Um weitere Stimmen abzugeben, rufe das Wahlformular bitte mehrfach auf.

Du kannst abstimmen bis zum 19.1.2018. Die feierliche Verleihung der Matheplanet-Awards findet am 21.1.2018 hier auf dem Matheplaneten statt.
\(\endgroup\)
mehr... | 10531 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | Matheplanet-Award


Mathematik: Divisormatrizen
Freigegeben von matroid am Do. 28. Dezember 2017 13:25:59
Verfasst von blindmessenger - (813 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Divisormatrizen:

Für ungerade Zahlen lassen sich Divisormatrizen erzeugen, die eine Struktur aufweisen, aus der man bestimmte Eigenschaften schließen kann. Wie man diese Divisormatrizen erzeugt und was für Eigenschaften man daraus ableiten kann will ich euch in diesem Artikel näher bringen:

Zuerst definieren wir eine Matrix, die ich im folgenden Mersennematrix $M_M$ nennen will.

\(\endgroup\)
mehr... | 11341 Bytes mehr | 36 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Physik: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
Freigegeben von matroid am Mi. 27. Dezember 2017 00:09:40
Verfasst von Frances - (413 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)
In diesem Artikel werden nicht-relativistische Herleitungen des Äquivalenzprinzips Energie-Masse und der dynamischen Massenformel gezeigt. \(\endgroup\)
mehr... | 2182 Bytes mehr | 11 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


buhs Montagsreport: Der Letzte Report - Am Ende der Zeit
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Dezember 2017 19:42:42
Verfasst von leonardo_ver_wuenschmi - (190 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Der Letzte Report

Am Ende der Zeit
 

Zinbiel: Unerbittlich naht es. Das Ende der Zeit. Und damit naht auch die Nachzeit, in der auf allen Kanälen resümiert, also Fazit gezogen wird. Nach dem Ende.
Noch ist die Vorzeit-Zeit, in der Facetten noch eine Rolle spielen und man in der Fußgängerzone auch auf tierische Esel trifft.
Zeit also ist es wieder für den LETZTEN REPORT, für die Abrechnung zum Tag des Längsten Gesichts, Zeit auch für die Spenden an K.Mehl@buhnet.com für die bedauernswerten Menschen, denen der Rechen fehlt.
Und weil es im Dezember schon immer so war, ist es auch in diesem Jahr im Dezember letztmalig endzeitig so, dass buhs Montagsreport bilanziert, wie, ob und wodurch die Prophezeiungen des Le eingetreten sind:
\(\endgroup\)
mehr... | 7873 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Mathematik: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
Freigegeben von matroid am Mo. 11. Dezember 2017 21:20:41
Verfasst von Marbin - (641 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Im folgenden Artikel zeigen wir die Identität \[ -\frac{4}{3}\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot \left ( \psi^{(0)} \left (k+\frac{1}{2} \right)+\gamma +\ln(4) \right)}{k}=\zeta (2). \]
\(\psi^{(0)}\) ist hier die Digamma-Funktion und \(\gamma\) die Euler-Mascheroni-Konstante. \(\endgroup\)
mehr... | 331 Bytes mehr | 13 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Ein kleines Programm zum Zeichnen des Apfelmännchens in Java
Freigegeben von matroid am So. 03. Dezember 2017 21:19:56
Verfasst von Delastelle - (331 x gelesen)
Software  \(\begingroup\)
Leider wurden das DOS-Programm Fractint und das Windows-Programm Winfract nicht mehr weiterentwickelt. Um trotzdem Fraktale zu erzeugen, habe ich hier ein Java-Programm zur Erzeugung des Apfelmännchens. Im Anschluss noch einige Fraktale, die mit Fractint erzeugt wurden. \(\endgroup\)
mehr... | 7437 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Physik: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. November 2017 10:30:38
Verfasst von StefanVogel - (650 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)
Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz

Über die Maxwell-Gleichungen ist an verschiedenen Stellen zu lesen, dass davon nur einige Gleichungen physikalische, experimentell bestätigte Annahmen sein müssen und die übrigen sind geometrische und mathematische Schlussfolgerungen. Auch bei der Auswahl der physikalischen Annahmen kann man anscheinend variieren, entweder man leitet aus den einen die anderen her oder umgekehrt. In diesem Artikel möchte ich so eine Herleitung versuchen, und zwar ausgehend

von der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \)

und dem Satz von Schwarz \( {\dfrac {\partial }{\partial x}}\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\dfrac {\partial }{\partial y}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right) \).

\(\endgroup\)
mehr... | 13708 Bytes mehr | 8 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


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