@pendragon302: Wie kommst du darauf, daß ein Smily die Fläche 1/68 hat? Zwischen den Smilies sind doch Lücken.

Wie DaMenge auf den Radius 1/16 kommt ist mir schon klar. Links oben sieht man eine Skizze, wie die Smilies angeordnet sind. Im unteren Bild ist dann die Skizze zur Berechnung. 

Um die Aufgabe etwas praktischer zu beschreiben erkläre ich den Sachverhalt nicht für Smilies in einem Quadrat sondern für Rollen (Zylinder) in einer Kiste. Die liegen von selbst immer unten und ordnen sich immer so an, daß sie sich berühren aber nicht Überlagern. Wie groß dürfen  68 gleich große Rollen sein, damit 68 Stück davon gerade noch in eine Kiste mit Breite 1 und Höhe 1 passen. Natürlich ist die Kiste so lang, wie eine Rolle.

Bei der links oben abgebildeten Anordnung passen in die unterste Lage offensichtlich 8 Rollen mit r = 1/16. Die Höhe der ganzen Anordnung ist, wie DaMenge schon beschrieben hat etwas komplizierter zu berechnen. Sie ergibt sich aus

H = r + 4 • (Abstand vom Mittelpunkt einer roten Kugel zum Mittelpunkt der nächsten roten Kugel)

Der Abstand von einer roten Kugel zur nächsten ist doppelt so groß wie die Höhe des Dreiecks in der unteren Abbildung. Die Höhe im Dreieck lässt sich leicht errechnen. Jede Seite ist 2r lang. Dabei ist r=1/16. Also gilt:

h² = (2r)² - r²;
h² = (2/16)² - (1/16)²;
h² = (4-1)/64;
h² = 3/64;
h ˜ 0,2165

Daraus ergibt sich für die Gesamthöhe der Rollen:

H = 2r + 4h;
H = 2/16 +4h;
H ˜ 0,991

Die 68 Rollen mit r=1/16 passen also in die Kiste.

Die Lösung ist das möglicherweise nicht. Über den Rollen ist noch Platz übrig. Man kann die Rollen also vielleicht noch etwas größer machen.

Wie groß die Rollen tatsächlich sein dürfen ist wahrscheinlich sehr schwer zu berechnen. Man muss natürlich erst heraus finden wie die Rollen angeordnet werden müssen.

Man könnte das Problem meiner Ansicht nach etwas vereinfachen. Für diese Vereinfachung taugt das Rollen-Kiste-Modell allerdings nicht. Ich gehe also von einem Quadrat aus, in das man 68 gleich große, möglichst große kreise so machen muss, daß sich die Kreise nicht überschneiden. Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius eindeutig bestimmt. Außerdem ist jeder Mittelpunkt mindestens um r vom Rand des Quadrats entfernt. Im äußeren r-breiten Streifen entlang jeder Quadratseite liegt also kein Mittelpunkt eines Kreises. Man kann also diesen Streifen ignorieren. Die Restfläche ist auch ein Quadrat. Wenn man heraus findet wie man 64 Punkte in dieser Fläche anordnen muss, daß die Abstände zwischen benachbarten Punkten möglichst groß sind, dann hat man auch die Lösung zu ersterem Problem.