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Re: Gepackte Smilies
von: Eckard am: Di. 15. Oktober 2002 08:24:52
\(\begingroup\)Hallo Matroid,

danke, ich geb das Kompliment gern zurück: der Matheplanet ist dank deines Einsatzes ein tolles Forum für Mathematik-Begeisterte, und das auf einem anspruchsvollen Niveau. Du liegst völlig richtig: n=68 ist zum einen der erste unbezwungene Gipfel im density-Profil, und das hat m.E. mit den noch vorhandenen blauen Kreisen zu tun. Zwar haben auch n=59,67 noch blaue Kreise, aber diese Packungen sind eben keine Gitter- oder Fast-Gitter-Packungen.

Meine Versuche haben gezeigt, dass das Nicht-Vorhandensein von blauen Kreisen noch kein Kriterium für Optimalität der Packung ist. Du findest zwischendurch Packungen, die nur aus gelben Kreisen bestehen, und die sich dann immer noch verbessern lassen. Ich glaube, dass ist eine Frage der Struktur der Packung, wie noch auszuführen ist. Wenn nur gelbe bzw. rote Kreise vorhanden sind, bedeutet das, dass die Packung rigide ist. Es gibt hier auch die "inverse" Fragestellung: Wie sieht eine Packung für gegebenes n aus, die rigide und dabei möglichst dünn ist?

Die erreichbare density geht übrigens gegen Pi/sqrt(12) = 0.9068..., der Dichte der hexagonalen Packung (du bekommst die Zwischenräume zwischen eng aneinanderliegenden Kreisen auch für n->inf nicht weg). Es gibt verbesserte Abschätzungen von oberen und unteren Schranken der Dichte von Peter Gabor Szabo.

Es ist gerade die Begrenztheit des Containers, also dessen Randes, die die optimale hexagonale Packung zerstört. Das sieht man insbesondere bei sehr großen n, wo sich in der Mitte (also weitab vom Rand) mehrere Cluster mit hexagonaler Struktur bilden, die von "Korngrenzen" getrennt werden. Zum Rand hin wird die Packung irregulär.

Viele Grüße,
-Eckard\(\endgroup\)
 
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