Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Von: Florian
Datum: Sa. 06. März 2010 00:35:51
Thema: Mathematik
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Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?
Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.
Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.
Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.
Viel Vergnügen.
Erste Schritte
Da sich die weitere Arbeit mit der Darstellung von natürlichen Zahlen als Summe zweier Quadrate beschäftigen wird, definieren wir:
\big\ Definition$1__:
Eine natürliche Zahl n ist \big\ darstellbar\normal\ , wenn es a,b \in \IZ gibt mit n=a^2+b^2.
Wir beginnen unsere Untersuchung mit einem Satz, der bereits dem indischen Mathematiker Brahmagupta (598-668) bekannt war und der in Europa erstmals von Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, veröffentlicht wurde.
\big\ Satz$2__:
Sind n und m darstellbar, so ist auch nm darstellbar.
\stress\ Beweis:
Sei n = a^2 + b^2 und m = c^2 + d^2. n und m sind als Determinante auffassbar
(a,-b;b, a)(c,-d;d, c)=(ac-bd,-(ad+bc);ad+bc, ac-bd)
und daraus ersehen wir
nm = (a^2+b^2)\.(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\..\bigbox
Anstatt die Determinanten zu benutzen, kann man auch beide Seiten ausmultiplizieren. Aufgrund von Satz 2 ist es naheliegend, sich bei der Untersuchung der Darstellbarkeit auf Primzahlen zu beschränken, da wir jede Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben können. Die Zahl 2=1²+1² ist selbstverständlich darstellbar. Alle anderen Primzahlen sind entweder von der Form 4k+1 oder von der Form 4k+3. Für die Primzahlen der Form 4k+3 gilt:
\big\ Satz$3__:
Keine Primzahl der Form 4k+3 ist darstellbar.
\stress\ Beweis:
Für das Quadrat einer geraden Zahl gilt (2k)^2=4k^2==0 (mod 4). Bei ungeraden Zahlen führt das auf (2k+1)^2=4k(k+1)+1==1 (mod 4). Daher ist die Summe von zwei Quadraten kongruent zu 0, 1 oder 2 (mod 4).\bigbox
Zwei Beweise eines wichtigen Hilfssatzes
Nun beweisen wir ein etwas technisches Lemma, das wir später benötigen werden. Dank dieses Lemmas können wir die Beweise später sehr einfach halten und auf die Benutzung des Legendre-Symbols verzichten.
\big\ Lemma$4__:
Für Primzahlen der Form p=4k+1 hat die Gleichung s^2==-1 (mod p) zwei Lösungen s\in\ menge(1, 2, ..., p-1), für p=2 hat sie eine Lösung, und für Primzahlen der Form 4k+3 existiert keine Lösung.
\stress\ Beweis:
Für p=2 wähle s=1. Für ungerade p konstruieren wir eine Äquivalenzrelation auf der multiplikativen Gruppe \IF_p^\*. Wir identifizieren dafür jedes Element mit seinem additiven und multiplikativen Inversen in \IF_p^\*.
Im Allgemeinen besteht eine Äquivalenzklasse also aus vier Elementen
menge(x, -x, x^(-1), -x^(-1)), es könnten jedoch auch einige Elemente zusammenfallen.
(i) x~=-x ist für ungerade p unmöglich.
(ii) x~=x^(-1) ist gleichbedeutend mit x^2==1. Die beiden Lösungen x==1 und x==p-1 bilden eine Äquivalenzklasse menge(1, p-1) mit zwei Elementen. Diese Äquivalenzklasse tritt für jedes $p$ auf.
(iii) x~=-x^(-1) ist gleichbedeutend mit x^2==-1. Diese Gleichung hat entweder keine Lösung oder zwei Lösungen x_0 und p-x_0, welche dann die Äquivalenzklasse menge(x_0, p-x_0) mit zwei Elementen bilden.
Wir haben also die p-1 Elemente der multiplikativen Gruppe \IF_p^\* in Quadrupel eingeteilt, plus ein oder zwei Äquivalenzklassen der Größe zwei. Für p-1=4k+2 kann es nur eine solche geben, daher hat die Gleichung s^2==-1 keine Lösung. Für p-1=4k müssen beide Äquivalenzklassen auftreten, und daher hat s^2==-1 mindestens zwei Lösungen. \bigbox
Für die entscheidende Stelle von Lemma 4 werden wir einen zweiten Beweis betrachten. Er verwendet die Tatsache, dass ein Polynom n-ten Grades maximal n Nullstellen besitzt.
\stress\ Beweis:
Nach dem kleinen Satz von Fermat hat das Polynom X^(p-1)-1 genau p-1 Nullstellen modulo p. Wir faktorisieren es als
X^(p-1)-1=(X^((p-1)/2)-1)\.(X^((p-1)/2)+1).
Da die linke Seite p-1 Nullstellen hat, hat jeder Faktor auf der rechten Seite (p-1)/2 Nullstellen. Daher hat die Gleichung (x^((p-1)/4))^2+1==0 (mod p) genau (p-1)/2 inkongruente Lösungen g_1, ..., g_((p-1)/2) modulo p. Setzen wir s=g_i^((p-1)/4) so folgt s^2==-1 (mod p). \bigbox
Und nun kommen wir bereits zum Höhepunkt der Arbeit.
Primzahlen der Form 4k+1, die entscheidende Stelle des Beweises
\big\ Satz$5__:
Jede Primzahl der Form 4k+1 ist darstellbar.
Diesen Satz formulierte Pierre de Fermat am 25. Dezember 1640 in einem Brief an Marin Mersenne. Daher ist der Satz im englischen Sprachraum auch als "Fermat's Christmas Theorem" bekannt. Albert Girard (1595-1632) kannte den Satz einige Jahre früher, aber Fermat scheint ihn unabhängig von Girard gefunden zu haben. In dem Brief schreibt Fermat, dass er einen Beweis besitzt (ohne die Eindeutigkeit der Darstellung zu erwähnen), doch dieser Beweis ist, wie fast alle Beweise von Fermat, nicht erhalten.
Der erste publizierte Beweis stammt von Euler aus dem Jahre 1754. Euler meinte, dass ihm der Beweis einige Mühe bereitet habe. Am 6. Mai 1747 teilt er den Beweis in einem Brief Christian Goldbach mit. Euler benutzt (wie es auch Fermat gemacht haben dürfte) die Methode des unendlichen Abstieges und an einer Stelle den kleinen Satz von Fermat. Euler beweist auch, dass die Darstellung im Wesentlichen eindeutig ist.
Lagrange bewies den Satz 5 im Jahre 1770 unter der Verwendung quadratischer Formen. Von Richard Dedekind stammen mindestens zwei weitere Beweise des Satzes (1877 und 1894), mit Hilfe der ganzen Gauß'schen Zahlen. Beim Studium der ganzen Gauß'schen Zahlen stellt sich die Frage in natürlicher Weise, da die Norm jeder ganzen Gauß'schen Zahl eine Summe von zwei Quadraten ist. Ein weiter Beweis benutzt den Gitterpunktesatz von Minkowski.
Bisher waren alle erwähnten Beweise reine Existenzbeweise. Es gibt jedoch einige konstruktive Beweise mit Hilfe von Kettenbrüchen. Diese führen zu einem Algorithmus, der eine konkrete Darstellung von p als Summe zweier Quadrate liefert (siehe[8]).
Der Beweis von Euler
Als ersten wollen wir uns Beweis von Euler ansehen. Er findet sich in [3]. Euler beweist Satz 5 in vier Schritten:
\big\ Schritt 1:
Wenn eine darstellbare Zahl durch eine darstellbare Primzahl teilbar ist, so ist der Quotient darstellbar.
\stress\ Beweis:
Angenommen, a^2+b^2 ist durch eine Primzahl p^2+q^2 \in \IP teilbar. Dann teilt p^2+q^2 den Ausdruck
(pb-aq)\.(pb+aq) = p^2\.b^2 - a^2\.q^2 = p^2\.(a^2+b^2) - a^2\.(p^2+q^2).
Da p^2+q^2 eine Primzahl ist, muss sie einen der beiden Faktoren teilen. Nehmen wir zuerst an, dass sie pb-aq teilt. Laut Satz 2 ist (a^2+b^2)\.(q^2+p^2) = (aq-bp)^2 + (ap+bq)^2, und daher muss p^2+q^2 die Zahl (ap+bq)^2 teilen. Daher gilt
(a^2+b^2)/(p^2+q^2)=((aq-bp)/(p^2+q^2))^2+((ap+bq)/(p^2+q^2))^2,
und wir haben wie gefordert den Quotienten als Summe von zwei Quadraten dargestellt. Der Fall, dass p^2+q^2 den Faktor pb+aq teilt, kann mit (a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap-bq)^2 + (aq+bp)^2 analog abgehandelt werden.
\big\ Schritt 2:
Wenn eine darstellbare Zahl durch eine nicht darstellbare Zahl teilbar ist, so hat der Quotient einen nicht darstellbaren Faktor.
\stress\ Beweis:
Angenommen, x ist ein Teiler von a^2+b^2, und der Quotient hat die Primfaktordarstellung p_1*p_2*...*p_n. Dann ist a^2+b^2=x*p_1*p_2*...*p_n. Falls jeder Faktor p_i darstellbar ist, können wir der Reihe nach durch p_1, p_2, ... dividieren, und nach Schritt 1 ist jeder Quotient und somit letztendlich x darstellbar. Laut Voraussetzung ist aber x nicht darstellbar, und daher gibt es ein p_i, das ebenfalls nicht darstellbar ist. \bigbox
\big\ Schritt 3:
Wenn a und b relativ prim sind, dann ist jeder Faktor von a^2+b^2 darstellbar.
\stress\ Beweis:
Sei x ein Faktor von a^2+b^2. Wir schreiben a und b in der Form a=mx\pm c bzw. b=nx\pm d. Dabei sind abs(c), abs(d)<=1/2\.abs(x). Wir erhalten
a^2+b^2=m^2\.x^2\pm 2mxc+c^2+n^2\.x^2\pm 2nxd+d^2=Ax+(c^2+d^2).
Daher muss c^2+d^2 durch x teilbar sein, und wir schreiben es als c^2+d^2=yx. Wenn c und d nicht relativ prim sind, kann der ggT(c,d) nicht x teilen \(ansonsten würde ggT(c,d) sowohl a als auch b teilen, welche laut Vorraussetzung teilerfremd sind\). Das Quadrat von g=ggT(c,d) teilt y, da es c^2+d^2 teilt, und wir erhalten e^2+f^2=zx mit e=c/g, f=d/g und z=y/g^2\.. Die Zahlen e und f sind relativ prim, und abs(z)<=1/2\.abs(x), denn
zx=e^2+f^2<= c^2+d^2<= (x/2)^2+(x/2)^2=1/2 x^2.
Nun kommen wir zum unendlichen Abstieg. Wenn x nicht darstellbar ist, dann hat nach Schritt 2 die Zahl z einen nicht darstellbaren Faktor w, welcher eine darstellbare Zahl teilt. Wir gelangen daher von einem nicht darstellbaren Teiler x einer darstellbaren Zahl zu einer betragsmäßig kleineren Zahl mit den selben Eigenschaften. Da ein unendlicher Abstieg nicht möglich ist, muss x darstellbar sein.\bigbox
\big\ Schritt 4: \normal (Satz 5)
Jede Primzahl der Form 4k+1 ist darstellbar.
\stress\ Beweis:
Wenn p die Form 4k+1 hat, so ist nach dem kleinen Satz von Fermat jede der Zahlen 1^4k, 2^4k, 3^4k, ..., (4k)^4k kongruent zu 1 modulo p. Die Differenzen
2^4k-1^4k, 3^4k-2^4k, ..., (4k)^4k-(4k-1)^4k sind daher kongruent 0 modulo p. Jede dieser Differenzen läßt sich aber als
a^4k-b^4k=(a^2k+b^2k)(a^2k-b^2k)
faktorisieren. Da p eine Primzahl ist, muss sie einen der beiden Faktoren teilen. Falls p den ersten Faktor teilt, so ist p nach Schritt 3 darstellbar \(a und b sind teilerfremd, da sie sich nur um eins unterscheiden\). Es genügt daher zu zeigen, dass p nicht immer den zweiten Faktor teilen kann. Falls p alle 4k-1 Zahlen 2^2k-1^2k, 3^2k-2^2k, ..., (4k)^2k-(4k-1)^2k teilt, so teilt p auch die 4k-2 Differenzen dieser Zahlen und die 4k-3 Differenzen der Differenzen usw. Nun sind die r\-ten Differenzen der Folge 1^r, 2^r,... alle gleich r! \(siehe Anhang\), daher sind die 2k\-ten Differenzen gleich 2k!, was sicher nicht durch p teilbar ist. Daher kann p nicht immer die zweiten Faktoren teilen und ist daher darstellbar. \bigbox
Der Beweis von Thue
Unser zweiter Beweis von Satz 5 beruht im Wesentlichen auf einer geschickten Verwendung des Schubfachprinzips. Die Idee stammt von dem norwegischen Zahlentheoretiker Axel Thue. Der Beweis findet sich in [1].
\stress\ Beweis:
Sei p von der Form 4k+1. Wir betrachten geordnete Paare ganzer Zahlen (x',y') mit 0 <= x',y' <= \sqrt(p). Daher sind x',y' \in menge(0, 1, ..., floor(sqrt(p))). Es gibt (floor(\sqrt(p))+1)^2 solcher Paare. Nun ist (floor(\sqrt(p))+1)^2>sqrt(p)^2=p, und daher haben wir mehr als p solcher Paare. Für ein beliebiges s\in\IZ können daher die Werte x'-sy' nicht alle modulo p verschieden sein. Daher gibt es für jedes s zwei verschiedene Paare (x',y') und (x'',y'') mit
x'-sy'==x''-sy'' (mod p).
Nun definieren wir x:=abs(x'-x'') und y:=abs(y'-y'') und erhalten x==\pm sy(mod p). Nach Satz 4 können wir s so wählen, dass s^2==-1 (mod p). Wenn wir die Gleichung quadrieren, erhalten wir x^2==s^2 y^2==-y^2 (mod p) und daher 0
Der Beweis von Zagier
Der dritte Beweis wurde von Roger Heath-Brown 1971 entdeckt und 1984 veröffentlicht[6]. Don Zagier vom Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn komprimierte den Beweis und veröffentlichte eine aus nur einem Satz bestehende Version (siehe [9]). Der Beweis besteht aus drei überraschend zusammenwirkenden Involutionen. Eine Involution ist eine selbstinverse Abbildung. Wir werden zwei Versionen des Beweises betrachten, einmal die originale 1-Satz-Version und dann eine ausführlichere, leichter verständliche, welche sich an [1] orientiert.
\stress\ Beweis: \normal\(In einem einzigen Satz)
Die Involution auf der endlichen Menge S=menge((x,y,z)\in\IN^3 : x^2+4yz=p), definiert durch
(x,y,z)|-> cases((x+2z,z,y-z-x),falls x2y)
hat genau einen Fixpunkt, daher ist abs(S) ungerade und die Involution, definiert durch (x,y,z)|->(x,z,y), hat ebenfalls einen Fixpunkt. \bigbox
\stress\ Beweis: \normal\(ausführliche Version)
Sei p von der Form 4k+1. Wir betrachten die Menge
S:=menge((x,y,z)\in\IZ : 4xy+z^2=p, x>0, y>0).
Diese Menge ist endlich, da 0 S, (x,y,z) |-> (y,x,-z).
Klarerweise bildet f die Menge S auf sich selbst ab und ist eine Involution, eine zweimalige Abbildung ist die Identität. Die Funktion f hat keine Fixpunkte, denn aus z=0 folgt 4xy=p, was unmöglich ist. Weiter bildet f die Punkte in
T:=menge((x,y,z)\in S : z>0)
auf die Punkte in S \\ T mit z<0 ab. Da f die Vorzeichen von x-y und z vertauscht, bildet es die Punkte in
U:=menge((x,y,z)\in S : (x-y)+z>0)
auf die Punkte in S \\ U ab. Es darf dabei keinen Punkt mit (x-y)+z=0 geben, was aber p=4xy+z^2=4xy+(y-x)^2=(x+y)^2 bedeuten würde.
Da f die Mengen T und U mit ihren Komplementen vertauscht, vertauscht es ebenso die Punkte in T \\ U mit denen in U \\ T, also abs(T \\ U)=abs(U \\ T). Nun ist abs(U)=abs(U \\ T)+abs(U\cap T) und abs(T)=abs(T \\ U)+abs(U\cap T) und daher abs(U)=abs(T).
2) Die zweite Involution arbeitet auf der Menge U:
g:U ->U, (x,y,z) |-> (x-y+z,y,2y-z).
Das ist eine wohldefinierte Abbildung, denn wenn (x,y,z)\in U, dann ist y>0 und x-y+z>0 und 4(x-y+z)y+(2y-z)^2=4xy+z^2 und somit g(x,y,z)\in S. Da (x-y+z)-y+(2y-z)=x>0, ist g(x,y,z)\in U.
Die Abbildung g ist eine Involution, denn g(x,y,z)=(x-y+z,y,2y-z) und g(x-y+z,y,2y-z)=((x-y+z)-y+(2y-z),y,2y-(2y-z))=(x,y,z). Als letztes stellen wir fest, dass g genau einen Fixpunkt hat:
(x,y,z)=g(x,y,z)=(x-y+z,y,2y-z)
gilt genau dann, wenn y=z. Dann gilt p=4xy+y^2=y(4x+y), und somit folgt y=z=1 und x=(p-1)/4. Wenn g genau einen Fixpunkt hat, muss die Kardinalität von U ungerade sein.
3) Unsere dritte Abbildung ist eine triviale Involution auf T:
h:T -> T, (x,y,z) |-> (y,x,z).
Die Abbildung h ist offensichtlich wohlgeformt und eine Involution. Wir wissen, dass abs(T)=abs(U), und dass U eine ungerade Kardinalität hat. Wenn h aber eine Involution auf einer endlichen Menge ungerader Kardinalität ist, muss h einen Fixpunkt haben. Es gibt also einen Punkt (x,y,z)\in T mit x=y. Dieser Punkt erfüllt
p=4x^2+y^2=(2x)^2+y^2\.. \bigbox
Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes
Nun benötigen wir nur mehr zwei kleine Lemmata, um den Zwei-Quadrate-Satz beweisen zu können.
\big\ Lemma$6__:
Ist $n=a^2+b^2$ darstellbar, so ist auch $z^2\.n=(za)^2+(zb)^2$ darstellbar.
\stress\ Beweis:
Siehe oben.
\big\ Lemma$7__:
Teilt eine Primzahl p der Form 4k+3 eine darstellbare Zahl n, dann ist p^2 ein Teiler von n, und n//p^2 ist darstellbar.
\stress\ Beweis:
Angenommen, n=a^2+b^2==0 (mod p) und p\teiltnicht\ a. Wenn a!==0 (mod p), dann hat a ein multiplikatives Inverses a^(-1) in \IF_p^\*. Durch die Multiplikation von a^2+b^2==0 (mod p) mit (a^(-1))^2 erhalten wir 1+(a^(-1)\.b)^2==0 (mod p), was für Primzahlen der Form 4k+3 nach Satz 4 unmöglich ist. Also p\|a \and\ p\|b und somit
p^2 \| a^2 \and\ p^2 \| b^2 => p^2 \| n.
Nach Lemma 6 ist n//p^2 darstellbar. Für p\teiltnicht\ b ist der Beweis analog zu führen. \bigbox
Nun haben wir nun alle Bausteine beisammen und können den eigentlichen Zwei-Quadrate-Satz beweisen.
\big\ Satz$8__: \normal\(Euler\-Fermat)
Eine natürliche Zahl n ist genau dann Summe zweier Quadrate, wenn in der Primfaktorzerlegung von n alle Primzahlen der Form 4k+3 mit geradem Exponenten auftreten.
\stress\ Beweis:
(i) Die Zahlen 1=1^2+0^2 und 2=1^2+1^2 sind darstellbar. Jede Primzahl der Form 4k+1 ist darstellbar \(Satz 5).
(ii) Das Produkt zweier darstellbarer Zahlen ist darstellbar \(Satz 2).
(iii) Ist n=a^2+b^2 darstellbar, so ist auch z^2\.n=(za)^2+(zb)^2 darstellbar \(Lemma 6).
(iv) Teilt eine Primzahl p der Form 4k+3 eine darstellbare Zahl n, dann ist p^2 ein Teiler von n, und n//p^2 ist darstellbar \(Lemma 7).
Aus (i), (ii) und (iii) folgt, dass alle Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung die Primzahlen der Form 4k+3 mit geradem Exponenten auftreten, darstellbar sind. Aus (iv) folgt, dass auch die Gegenrichtung gilt. \bigbox
Über Primzahlen der Form 4k+1 bzw. 4k+3
Nachdem wir uns nun ständig mit Primzahlen der Form 4k+3 bzw. der Form 4k+1 beschäftigt haben, wollen wir noch zwei kleine Sätze über diese Primzahlen zeigen. Für den zweiten Satz benötigen wir das vorher erworbene Wissen aus Satz 8.
\big\ Satz$9__:
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4k+3.
\stress\ Beweis:
Wir nehmen an, dass es nur endlich viele Primzahlen p_1, p_2, ..., p_m der Form 4k+3 gibt. Die Zahl M:=4\times p_1 \times p_2 \times ... \times p_m -1 ist von der Form 4k+3, lässt sich aber durch keine der Zahlen p_1, p_2, ..., p_m teilen. Es können nicht alle Primteiler von M die Form 4k+1 haben, da ein Produkt solcher Zahlen wieder die Form 4k+1 hat. Sie hat daher mindestens einen Primteiler p_(m+1) der Form 4k+3 mit p_(m+1)\notin menge(p_1, p_2, ..., p_m). Wid.\bigbox
\big\ Satz$10__:
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4k+1.
\stress\ Beweis:
Wir nehmen wieder an, dass es nur endlich viele Primzahlen array(p_1\, p_2\, ...\, p_n) der Form 4k+1 gibt. Die Zahl N:=(p_1 \times p_2 \times ...\times p_n)^2+2^2 lässt sich durch keine der Zahlen p_1, p_2, ..., p_n teilen. Sie hat keine Primteiler der Form 4k+3, denn laut dem Beweis von Lemma 7 müsste ein solcher beide Quadrate teilen (insbesondere 2^2). Sie hat daher einen Primteiler p_(n+1) der Form 4k+1 mit p_(n+1)\notin menge(p_1, p_2, ..., p_n). Wid.\bigbox
Die wesentlich verschiedenen Darstellungen einer Zahl als Summe von zwei Quadraten
In Satz 9 haben wir gezeigt, welche Zahlen sich darstellen lassen. Im weiteren stellt sich die Frage, wie viele Darstellungen eine Zahl besitzt. Diese Frage wird von Satz 13 beantwortet.
\big\ Definition$11__:
Sei n eine darstellbare Zahl, dann bezeichnet \big\ r_2(n) \normal\ die Anzahl der Darstellungen von n. Für eine darstellbare Zahl n wollen wir die Darstellungen n=(\pm a)^2+(\pm b)^2=(\pm b)^2+(\pm a)^2 als \big\ im Wesentlichen gleich \normal\ bezeichnen. Andere Darstellungen bezeichnen wir als davon \big\ wesentlich verschieden\normal\ .
\big\ Definition$12__:
Wir bezeichnen mit \big\ d(n) \normal\ die Anzahl der Teiler d einer Zahl n und mit \big\ d_a(n) \normal\ die Anzahl der Teiler mit d==a (mod 4).
\big\ Satz$13__:
Sei n=2^f\.n_1\.n_2 mit n_1=produkt(p^r,p==1 (mod 4),) und n_2=produkt(q^s,q==3 (mod 4),). Falls einer der Exponenten s ungerade ist, gilt r_2(n)=0. Falls alle s gerade sind, haben wir
r_2(n)=1/2\.d_1(n_1)=1/2\.(d_1(n)-d_3(n))
im Wesentlichen verschiedene Darstellungen von n.
\big\ Korollar$14__:
Jede Primzahl der Form 4k+1 hat eine im Wesentlichen eindeutige Darstellung.
\big\ Beispiel$15__:
Wir wollen die die Zahl 2340=2^2 \times 3^2 \times 5\times 13 als Beispiel für Satz$13 betrachten. Die Teiler von 2340 sind in der folgenden Tabelle dargestellt:
\boxon
array(\grey 1\white,2,\light 3\white,4,\grey 5\white,6,\grey 9 \white,10,12;\grey 13\white,\light 15\white,18,20,26,30,36,\light 39\white,\grey 45\white;52,60,\grey 65\white,78,90,\grey 117\white,130,156,180;\light 195\white,234,260,390,468,\grey 585\white,780,1170,2340)
\boxoff
Teiler der Form 4k+1 sind dunkelgrau unterlegt während Teiler der Form 4k+3 hellgrau unterlegt sind. Es ergibt sich:
r_2(2340)=1/2 d_1(5\times 13)=1/2 4=2
bzw.
r_2(2340)=1/2 (d_1(2340)-d_3(2340))=1/2 (8-4)=2.
Und tatsächlich hat 2340 nur die beiden im wesentlichen verschiedenen Darstellungen
2340=6^2+48^2=24^2+42^2.
Wir sehen, dass Satz 13 eine weit stärkere Aussage als der Zwei-Quadrate-Satz ist. Der Satz wurde erstmals von Jacobi (1829) in "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" bewiesen. Dort führt Jacobi die Thetafunktionen ein, um elliptische Funktionen zu definieren. Mittels dieser beweist er eine ganze Reihe
zahlentheoretischer Sätze, unter anderem Satz 13. Da der Beweis den Rahmen dieses Artikels sprengen würde, sei auf [4] verwiesen. Ein Satz, der zu Satz 13 äquivalent ist, wurde allerdings auch schon 1801 von Carl Friedrich Gauß in seinen "Disquisitiones Arithmeticae" mittels quadratischer Formen bewiesen. Die Eindeutigkeit der Darstellung ein Primzahl der Form 4k+1 folgt aus Satz 13, lässt sich aber auch einfach direkt zeigen (über Gauß'sche Primzahlen).
Wir wollen zum Abschluss dieses Artikels noch einmal den Bogen zu Euler spannen, von dem unser erster Beweis von Satz 5 stammt. Von ihm stammt auch dieser Beweis dafür, daß eine Primzahl der Form 4k+1 im Wesentlichen nur eine Darstellung besitzt.
\stress\ Beweis:
Es sei x^2+y^2=u^2+v^2=p, wobei wir o.B.d.A. 0
Anhang
In dem Beweis von Euler wird nicht näher ausgeführt, dass die n\-ten Differenzen von 1^n, 2^n, 3^n, ... alle gleich n! sind. In [3] findet sich die Bemerkung, dass dies eine Übungsaufgabe in Arithmetik sei :-). Diese wollen wir hier nachtragen, um keine Lücke im Beweis zu lassen. Betrachten wir zuerst als Beispiel die 3\-ten Differenzen von i^3.
-4³ -3³ -2³ -1³ 0³ 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ 6³ 7³
-64 -27 -8 -1 0 1 8 9 64 125 216 343
37 19 7 1 1 7 19 37 61 91 127
18 12 6 0 6 12 18 24 30 36
6 6 6 6 6 6 6 6 6
Als erstes zeigen wir eine Formel für die n\-ten Differenzen beliebiger Zahlen a_0, a_1,...,a_n.
\frameon
sum((n;i)\.(-1)^i\.a_(n-i),i=0,n)
\frameoff
Wir zeigen diese Formel mit Induktion.
IA:$$$$$$$$n=0 $ $$$$ (n;0)\.(-1)^0\.a_(0-0)=a_0
IS: sum((n;i)\.(-1)^i\.a_(n+1-i),i=0,n)-sum((n;i)\.(-1)^i\.a_(n-i),i=0,n)=
=sum((n;i)\.(-1)^i\.a_(n+1-i),i=0,n)-sum((n;i-1)\.(-1)^(i+1)\.a_(n+1-i),i=1,n+1)=
=a_(n+1)+sum(((n;i-1)+(n;i))\.(-1)^i\.a_(n+1-i),i=1,n)-(-1)^(n+2)\.a_0=
=sum((n+1;i)\.(-1)^i\.a_(n+1-i),i=0,n+1) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ \bigbox
Jetzt setzen wir unsere Potenzenfolge ein und untersuchen die n\-ten Differenzen der Folge ..., (s-4)^n, (s-3)^n, (s-2)^n, (s-1)^n, (s-0)^n mit s\in\IZ. Wir wollen also zeigen, dass:
\frameon
sum((n;i)\.(-1)^i\.(s-i)^n,i=0,n)=n!
\frameoff
Nun ist
sum((n;i)\.(-1)^i\.(s-i)^n,i=0,n)=
=sum((n;i)\.(-1)^i\.sum((n;j)\.s^j\.(-i)^(n-j),j=0,n),i=0,n)=
=sum((n;j)\.s^j\.sum((n;i)\.(-1)^i\.(-1)^(n-j)\.i^(n-j),i=0,n),j=0,n)=
=sum((n;j)\.s^j\.(-1)^j\.sum((n;i)\.(-1)^(n-i)\.(-i)^(n-j),i=0,n),j=0,n)
mit 0^0:=1.
Es genügt also zu zeigen, dass die innere Summe
sum((n;i)\.(-1)^(n-i)\.i^(n-j),i=0,n)=cases(n!,für j=0;0,sonst)
ist. Dazu differenzieren wir beiden Seiten der Gleichung
(x-1)^n=sum((n;i)\.x^i\.(-1)^(n-i),i=0,n),
multiplizieren anschließend mit x und erhalten
n\.x\.(x-1)^(n-1)=sum((n;i)\.i\.x^i\.(-1)^(n-i),i=0,n).
Das wiederholen wir insgesamt (n-j)\-mal, dann haben wir auf der rechten Seite für x=1 unseren gewünschten Ausdruck stehen. Auf der linken Seite steht eine komplizierte Summe, allerdings entfallen für x=1 alle Terme, die den Faktor (x-1)^k enthalten. Es ist also ausreichend, auf der linken Seite die kleinste Potenz von (x-1) zu betrachten. Es ergibt sich
n\.(n-1)....(j+1)\.x^(n-j)\.(x-1)^j+P*(x-1)^(j+1)=sum((n;i)\.i^(n-j)\.x^i\.(-1)^(n-i),i=0,n)
mit einem Polynom P. Wie man leicht sieht, ist die linke Seite mit x=1 für j>0 gleich Null und für j=0 ist sie n!. \bigbox
Quellen
[1] M. Aigner, G. M. Ziegler: "Proofs from THE BOOK", Springer, 3. Aufl., 2004.
[2] P. Bundschuh: "Einführung in die Zahlentheorie", Springer, 3. Aufl., 1996.
[3] H. M. Edwards: "Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory", Springer, 5. Aufl., 2000.
[4] E. Grosswald, "Representations of integers as sums of squares", Springer, 1985.
[5] G. H. Hardy, E. M. Wright: "An introduction to the theory of numbers",
Clarendon Press, 5. Aufl., 1988.
[6] D. R. Heath-Brown, "Fermat's two squares theorem", Invariant 11, 1984, S. 3-5
[7] H. Scheid, "Zahlentheorie", Spektrum Akad. Verl., 3. Aufl., 2003.
[8] S. Wagon, "Editor's corner: The euklidean algorithm strikes again", Amer. Math. Monthly 97, 1990, S. 125-129.
[9] D. Zagier, "A one sentence proof that every prime p==1 (mod 4) is a sum of two squares", Amer. Math. Monthly 97, 1990, S. 144.
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