Diophantische Gleichungen
Von: Cluso
Datum: So. 24. März 2013 20:38:35
Thema: Mathematik

\color{blue} \Huge{ \textbf{ Diophantische Gleichungen}} Diophantische Gleichungen haben ihren Ursprung bei den Griechen, genauer gesagt bei Diophant von Alexandrien. Diophantische Gleichungen sind sehr interessant. Sie können einfach erscheinen, aber so schwierig zu lösen sein, dass man höchste Mathematik anwenden muss. Dieser Artikel soll ein grobes Grundwissen über diophantische Gleichungen enthalten, die Schwierigkeit gewisser diophantischer Gleichungen demonstrieren und eine Kurzbiografie von Diophant von Alexandrien beinhalten. \color{red} \Large{ \textbf{ Diophant von Alexandrien }}} Über ihn weiß man so gut wie gar nichts. Geboren zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr., gestorben zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr. Lediglich seine Werke sind bekannt:
  • Arithmetica (13 Bände): Wikipedia
  • De numeris polygonis
Wir interessieren uns vor allem für die Arithmetica. Denn es ist eine Sammlung von 130 arithmetischen Problemen, und die Gleichungen in dem Buch sind Diophantische Gleichungen. Diese inspirierten Pierre de Fermat den letzten Satz von Fermat aufzustellen.
 
\color{red} \Large{ \textbf{ Definition:}} Eine Diophatische Gleichung ist eine Gleichung der Form F(x_1 , x_2 , ... , x_n) = 0 \text{ mit } F \in \mathbb Z[x_1, x_2 ,... , x_n] , bei der ganzzahlige oder rationale Lösungen gesucht sind. \color{brown} \large{ \textbf{ Beispiel 1:}} Die Gleichung x^3 + y^3 - z^3 =0 hat lediglich die trivialen Lösungen, für die x=0,\, y=z oder y=0,\, x=z oder z=0,\, x=-y. Das besagt ja der letzte Satz von Fermat für den Fall n=3.
 
\color{brown} \large{ \textbf{ Beispiel 2:}} Betrachten wir die Gleichung:x^3 + y^3 + z^3 = 30 Die kleinste Lösung ist (x,y,z) = (2~220~422~932, -2~218~888~517, -283~059~965) \in \mathbb Z^3
 
\color{red} \Large{ \textbf{ Lösbarkeit:}} \color{orange} \text{ Wann ist eine Diophantische Gleichung lösbar?} Das ist eine schwierige Frage. Sie ist sogar eines der Hilbertschen Probleme: \color{orange} \text{ "Gibt es ein Verfahren, das für eine beliebige Diophantische Gleichung entscheidet, ob sie lösbar ist?"} Nein, gibt es nicht. Dieses unglaubliche Ergebnis konnte Juri Matijassewitsch 1970 beweisen. Jedoch gibt es Verfahren, mit denen man (mit etwas Glück) bestimmte Arten Diophantischer Gleichungen lösen kann. Aber auch sie bedienen sich meist höchster Mathematik.
 
\color{red} \large{ \textbf{ So schwer kann es sein, eine Diophantische Gleichung zu lösen:}} Wir nehmen dafür die Gleichung \binom{y}{k} = \binom{x}{l} \textbf{ mit } 1 Sie vollständig zu lösen ist viel zu schwer, deshalb nehmen wir für k und l Konstanten. Die Fälle (k,l) \in \{ (2,3),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(4,6) \} sind bereits mit tiefer Mathematik gelöst worden. Wir betrachten den Fall \Huge{ (k,l)=(2,5) }: \binom{y}{2} = \binom{x}{5} \Leftrightarrow 60 y (y-1) = x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) \textbf{ (2) } Zuerst suchen wir nach Lösungen von (2). Schnell finden wir die Lösungen mit: x=0,1,2,3,4,5,6,7,15 und 19. Aber: Sind das die einzigen? Wir merken, dass offensichtlicherweise x größer als 0 ist. \color{red}\large{\textbf{ Theorem 2 (Siegel).}\color{red} \color{orange}\text{Sei F ein irreduzibles Polynom in zwei Variablen } x \text{ und } y \text{ mit ganzzahligen Koeffizienten. Wenn die Lösungen von } F(x,y)=0 \text{ nicht rational parametrisiert werden können, dann hat die Gleichung nur endlich viele ganzzahlige Lösungen. } Das führt uns nicht viel weiter, aber daraus resultiert |x| < 10^{10^{10^{10^{600}}}}. Das wurde mit der Zeit zu |x| < 10^{10^{600}}. Nun betrachten wir das Problem aus einem anderen Blickwinkel: Wir werden nun unser auf den ersten Blick algebraisches Problem in ein geometrisches verwandeln. Eine Gleichung F(x,y)=0 in zwei Variablen definiert eine Teilmenge der Ebene, die aus den Punkten besteht, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Bezeichnen wir die zu (2) gehörende ebene algebraische Kurve mit C. Die Menge der ganzzahligen Punkte auf C wird mit C(\mathbb Z) bezeichnet. Sei J die Jacobi-Varietät von C, also ist J(\mathbb Z) eine abelsche Gruppe und es gilt: \color{red} \large{ \textbf{ Theorem 3 (Weil).}} \color{orange} \text{ Wenn } J \text{ die Jacobi-Varietät einer Kurve ist, dann ist die abelsche Gruppe } J (\mathbb Z) \text{ endlich erzeugt. } Man kann zeigen, dass J(\mathbb Z) eine freie abelsche Gruppe vom Rang 6 ist: J(\mathbb Z) = \sum_{i=1}^6 \mathbb Z P_i \text{ mit explizit genannten Punkten } P_1, \dotsc , P_6 \in J(\mathbb Z) Sei \iota \colon C \to J die Einbettung von C in J. J befindet sich in einem hoch-dimensionalen Raum; ganzzahlige Punkte sind durch eine Anzahl von Koordinaten gegeben. Wenn wir den Logarithmus des Absolutbetrages der Koordinaten nehmen, erhalten wir die "Größe" eines solchen Punktes. Das ergibt eine Funktion h \colon J(\mathbb Z) \to \mathbb R_{\geq 0}, die Höhe. Sie besitzt die folgenden interessanten Eigenschaften:
  • h( \iota(x,y)) \approx \log |x| \text{ für Punkte } (x,y) \in C(\mathbb Z) \text{, falls } x \text{ nicht sehr klein ist. } \textbf{ (6)}
  • h( \sum_{i=0}^6 n_i P_i ) \approx \sum_{i=1}^6 n_i^2 \textbf{ (7)}
Mit |x|<10^{10^{600}}, (6) und (7) kommt man dann auf: \color{red} \large{ \textbf{ Lemma 1.}} \color{orange} \text{ Wenn } (x,y) \in C(\mathbb Z) \text{ ist, dann haben wir } \iota(x,y) = \sum_{i=1}^6 n_i P_i \text{ mit } n_j \in \mathbb Z \text{ für die } |n_j| < 10^{300} \text{ gilt.} Wir haben jetzt einen enormen Heuhaufen H := \{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6 \in \mathbb Z^6 : |n_j| < 10^{300} \}. Die Nadeln suchen wir nicht, indem wir jeden Strohhalm rausnehmen und gucken, ob sich dahinter eine Nadel verbirgt, sondern wir decken ganz große Bereiche auf einmal ab: Unsere Objekte J, C und \iota \text{ sind über } \mathbb Z definiert. Also können wir die definierenden Gleichungen modulo p nehmen, wobei p eine Primzahl ist. Bezeichnen wir den Körper \mathbb Z /p \mathbb Z mit p Elementen als \mathbb F_p. Die Menge der Koordinaten aus \mathbb F_p, die die definierenden Gleichungen erfüllen mod p erfüllen bezeichnen wir mit C(\mathbb F_p) \text{ und } J( \mathbb F_p). Nun ist für endlich viele p (die Ausnahmen können explizit angegeben werden) J(\mathbb F_p) wieder eine abelsche Gruppe, und sie enthält das Bild \iota( C(\mathbb F_p)) von C(\mathbb F_p). Weiterhin kommutiert das folgende Diagramm, und die geometrische Gruppenstruktur impliziert, dass die rechte senkrechte Abbildung ein Gruppenhomomorphimus ist: \begin{xy} \xymatrix{ C(\mathbb Z) \ar[r]^{\iota} \ar[d] & J(\mathbb Z) \ar[d] \ar@{=}[r] & \mathbb \mathbb{Z}^6 \ar[dl]^{\alpha_p} \\ C(\mathbb F_p) \ar[r]_{\iota_p} & J(\mathbb F_p) } \end{xy} Die senkrechten Abbildungen erhält man durch das Reduzieren der Koordinaten mod p. Die diagonale Abbildung \alpha_p ist wieder ein Gruppenhomomorphismus, der durch das Bild der Erzeuger P_1,...,P_6 von J(\mathbb Z) festgelegt ist. Nun ist das Folgende klar: \Large{ \color{red} \textbf{ Lemma 2.}} \color{orange} \text{ Seien }(x,y) \in C(\mathbb Z) \text{ und }n_1,...,n_6 \in \mathbb Z \text{ mit } \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \iota(x,y)=\sum_{i=1}^6 n_i P_i \\ \\ \text{ Dann ist} \\ \\ \alpha(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6) \in \iota(C(\mathbb F_p)). Die Teilmenge \Lambda_p = \alpha_p^{-1} ( \iota_p (C (\mathbb F_p))) \subseteq \mathbb{Z}^6 ist (normalerweise, wenn \alpha_p surjektiv ist) eine Vereinigung von | ( \mathbb F_p)| Nebenklassen einer Untergruppe vom Index | J(\mathbb F_p) | \text{ in } \mathbb Z^6. Da man zeigen kann, dass | C(\mathbb F_p) | \approx p \text{ und } | J(\mathbb F_p)| \approx p^2 (hier zeigen sich die Dimensionen 1 und 2), sehen wir, dass die Schnittmenge unseres Heuhaufens H mit \Lambda_p nur ungefähr \frac{1}{p} mal so viele Elemente hat wie der ursprüngliche Heuhaufen. Das hilft uns noch nicht viel, aber wir können versuchen, die Einschränkungen vieler Primzahlen zu kombinieren. Wenn S eine (endliche, aber große) Menge von Primzahlen ist, dann setzen wir \Lambda_S = \bigcap_{ p \in S } \Lambda_p und erhalten \iota(C (\mathbb Z)) \subset \Lambda_S \cap H. Wenn wir S genügend groß konstruieren, (ca. 1.000 Primzahlen), dann ist es sehr warscheinlich, dass die Menge auf der rechten Seite ziemlich klein ist, also können wir leicht die verbleibenden Möglichkeiten überprüfen. \color{red} \large{ \textbf{Theorem 4 (Bugeaud, Mignotte, Siksek, Stoll, Tengely).} Seien x,\,y ganze Zahlen, die die Gleichung \binom{y}{2} = \binom{x}{5} erfüllen. Dann ist x \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,15,19\}. So aufwändig wurde also die Gleichung gelöst! So kompliziert!
 
Dieser Artikel ist ein weitgehend wörtlich übernommener Auszug aus dem von Prof. Dr. Michael Stoll (Mathematisches Institut der Universität Bayreuth) verfassten Kapitel "Wie man Diophantische Gleichungen löst" des Buches "Eine Einladung in die Mathematik - Einblick in aktuelle Forschung", herausgegeben von Dirk Schleicher und Malte Lackmann, Springer Verlag 2013. Eine vollständige (englische) Version seines Beitrages hat Prof. Dr. Michael Stoll im Internet hier veröffentlicht. Ich freue mich über jede Kritik an diesen Artikel, jede Bemerkung ist herzlich willkommen! Ich hoffe, es hat euch gefallen! Gruß Cluso
 


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