Reihen für Potenzen von Pi
Von: Hans-Juergen
Datum: Mo. 17. Februar 2014 12:27:41
Thema: Mathematik
| Über Reihen für Potenzen von
Im Zusammenhang mit Fourier-Reihen (und sicherlich auch auf andere Weise)
erhält man Reihen wie diese:
\pi^2/6 = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... | (1)
\pi^3/32 = 1 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 - + ...
\pi^4/96 = 1 + 1/3^4 + 1/5^4 + 1/7^4 + ... .
Die Reihe (1) erregte seinerzeit großes Aufsehen. Sie ist die Lösung
des "Basler Problems", welches aus der Frage bestand: "Wie groß
ist die Summe der Kehrwerte der Quadrate aller natürlicher Zahlen?"
Gestellt wurde die Aufgabe bereits 1644 in Italien, und mehrere
namhafte Forscher bemühten sich vergeblich um ihre Lösung, darunter
Angehörige der Schweizer Mathematikerfamilie Bernoulli.
Erst im Jahre 1733 fand Leonhard Euler, ebenfalls Schweizer,
das obige Ergebnis (1), und zwar ohne Verwendung von Fourier-Reihen.
Wie er dabei vorging, wird u. a. bei Wikipedia erklärt.[1]
Diese Erklärung ist kurz und nicht für jeden unmittelbar verständlich.
Bei ihr wird von einer Produktdarstellung Gebrauch gemacht,
die auch von Euler stammt.
In der Folge bewies Euler die Gültigkeit der Reihe (1) mehrfach
auf verschiedene Weise. Sein ursprünglicher Ansatz wird im Internet
in [2] zitiert. Entscheidend ist dabei der dort ohne Begründung
angeführte Satz:
"Bei einer algebraischen Gleichung, deren absolutes Glied den Wert 1
hat, ist der Koeffizient des Gliedes mit der ersten Potenz der
Unbekannten gleich der negativen Summe der reziproken Werte der
Gleichungswurzeln."
(Weiteres dazu s. unten.)
Selber möchte ich das Verfahren an einem anderen Beispiel demonstrieren:
Gesucht seien zunächst alle Zahlen, die die Gleichung
x/2!-x^2/4!+x^3/6!-x^4/8!+ - ... = 2
erfüllen. Sie enthält die Reihenentwicklung für die Cosinusfunktion und
hat als Lösungen Zahlen der Form (k)², wobei k eine ungerade ganze Zahl ist.
Um Eulers Satz anzuwenden, formen wir die Gleichung so um:
1-x/(2*2!)+x^2/(2*4!)-x^3/(2*6!)+x^4/(2*8!)- + ... = 0 |(2)
und erhalten nach ihm:
2(1/\pi^2+1/(3^2*\pi^2)+1/(5^2*\pi^2)+1/(7^2*\pi^2) + ... ) = 1/(2*2!),
woraus als weitere Reihe zu den oben aufgeführten folgt:
\pi^2/8=1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+ ...
Anmerkung: die 2 vor der obigen Klammer rührt daher, daß die
Lösungen von (2), also die Zahlen (+)² und (-)², (+3)² und
(-3)², usw., obwohl numerisch gleich, alle mitberücksichtigt
werden müssen; es ist wie bei einem (endlichen) Polynom mit
doppelten Nullstellen.
Nach demselben Schema kann man auch Reihen für selbst gewinnen,
d. h. für die erste Potenz. Zum Beispiel aus der Gleichung sin(x)=1/2
die Reihe
\pi/6=1/2+1/(5*7)-1/(11*13)+1/(17*19)- + ... | (3)
Sie ist leicht zu programmieren und konvergiert schneller als die Leibnizreihe
(Vergleich, jeweils 10000 Summanden: Leibniz: 3,14149...;
(3): 3,141592652...; =3,141592653...), doch ist auch sie ungeeignet,
wenn man viele Nachkommastellen von haben möchte.
Abschließend ein möglicher Anfang einer Begründung für den weitgehend
unbekannten Satz von Euler:
Sei (x-x_1)(x-x_2)=x^2-x_2*x-x_1*x+x_1*x_2=0,
dann kann man, falls x_1,|x_2!=0, dafür schreiben:
1/(x_1*x_2)*x^2-(x_1+x_2)/(x_1*x_2)*x + 1 = 0 | (4)
oder auch
1/(x_1*x_2)*x^2-(1/x_1+1/x_2)*x + 1 = 0.
In Worten: Der Koeffizient von x ist gleich der negativen Summe
der Kehrwerte der Lösungen der Gleichung (4).
Entsprechendes gilt, falls
(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0 ist. Für x_1,|x_2,|x_3!=0 läßt sich das
schreiben als
-1/(x_1*x_2*x_3)*x^3 + (x_1+x_2+x_3)/(x_1*x_2*x_3)*x^2-(1/x_1+1/x_2+1/x_3)*x+1=0.
Auch hier haben wir dasselbe, und ich sehe keinen Grund dafür, daß es
bei Gleichungen 4., 5., ... Grades anders sein wird. Eulers Ausdehnung auf
Gleichungen vom Grad "unendlich" wurde von Kritikern als "kühn"
und "gewagt" bezeichnet.
[1] de.wikipedia.org/wiki/Basler_Problem
[2] http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/13424/1/staeckel_Euler_Abh.pdf, S. 42
Hans-Jürgen
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