Worin unterscheiden sich f und f(x)?
Von: Martin_Infinite
Datum: Mi. 03. Dezember 2014 20:43:50
Thema: Mathematik

\textbf{\Large{Worin unterscheiden sich $f$ und $f(x)$?}}

Bekanntlich muss man zwischen einer Funktion f : \mathds{R} \to \mathds{R} und ihren Funktionswerten f(t) (t \in \mathds{R}) unterscheiden. Zum Beispiel ist t^2 für eine feste Zahl t etwas anderes als die Funktion t \mapsto t^2. In diesem kurzen Artikel schlage ich eine Notation vor, mit der f(x) tatsächlich gleich f ist. Dazu muss man lediglich x selbst als Funktion auffassen. Es wird außerdem gezeigt, warum diese Notation praktisch ist.
Wir definieren die Funktion x : \mathds{R} \to \mathds{R} als die Identität, d.h. x(t):=t für alle t \in \mathds{R}. Vielleicht mag der eine oder andere jetzt kritisieren, dass x ein "kostbarer" Buchstabe ist, welcher nicht mit so etwas langweiligem wie die Identität "überschrieben" werden darf. Da ist etwas dran, aber trotzdem ein paar Gegenargumente: Namen sind Schall und Rauch. Man könnte reelle Zahlen auch mit a,b,c,\dotsc oder r,s,t,\dotsc bezeichnen. Und statt x könnte man auch X schreiben. Letzteres wäre ziemlich sinnvoll, zumal etwas ähnliches bereits bei Polynomen gemacht wird. Allerdings möchte ich in diesem Artikel x schreiben, damit klar wird, dass die üblichen Rechnungen, die bisher für "formal falsch" gehalten worden sind, in Wahrheit richtig sind - wenn man nur das x richtig definiert. Für zwei Funktionen f,g sei die Funktion f+g wie üblich durch (f+g)(t):=f(t)+g(t) definiert. Analog werden f-g und die f \cdot g definiert, und damit auch f^2 als Spezialfall von f=g. Man definiert außerdem die Verkettung/Komposition f \circ g durch (f \circ g)(t):=f(g(t)). Für f=g erhalten wir f^{\circ 2} etc. Eine feste Zahl r liefert eine konstante Funktion, die wir der Einfachheit halber auch mit r bezeichnen. (Es handelt sich hierbei um einen abuse of notation, der allerdings keine Probleme verursachen sollte.) Mit Funktionen kann man (fast) genauso rechnen, wie man es für reelle Zahlen gewohnt ist. Man rechnet nur mit allen Funktionswerten "gleichzeitig". Natürlich muss man mit den Definitionsbereichen aufpassen, aber darauf gehe ich hier nicht weiter ein. Nach diesen Standard-Definitionen und unserer Definition der Funktion x können wir nun etwa die Funktion x^5 - 2 \cdot x^3 + 1 hinschreiben. Das ist nämlich die Funktion, die t \in \mathbb{R} abbildet auf t^5 - 2 \cdot t^3 + 1. Es ist \sin^2 die Funktion t \mapsto \sin(t)^2, hingegen ist \sin^{\circ 2} die (selten anzutreffende) Funktion t \mapsto \sin(\sin(t)). Wir vereinbaren noch f(g) als eine alternative Schreibweise für f \circ g. Dann gilt also ganz allgemein f(x)=f (sowie x(g)=g), denn Vorschalten (bzw. Nachschalten) der Identität ändert ja nichts. Außerdem können wir nun auch Funktionen wie zum Beispiel \cos(-x) hinschreiben; das ist die Funktion t \mapsto \cos(-t). Wegen \cos(-t)=\cos(t) für alle t \in \mathbb{R} gilt \cos(-x)=\cos(x) als Funktionen. Was bisher gesagt worden ist, gilt zunächst nur für Funktionen in einer reellen Variablen. Wenn man zwei braucht, definieren wir die Funktionen x : \mathds{R}^2 \to \mathds{R}, ~ y : \mathds{R}^2 \to \mathds{R} als die Projektionen auf die erste bzw. zweite Koordinate. Dann ist etwa das Additionstheorem \sin(x+y) = \sin(x) \cdot \cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y) eine Gleichung von zwei Funktionen \mathds{R}^2 \to \mathds{R}. Was komplexe Funktionen angeht, so kann man z : \mathds{C} \to \mathds{C} als die Identität definieren. Dann ist etwa \sin = \sin(z) die komplexe Sinus-Funktion, z^n - 1 ist eine komplexe polynomielle Funktion, etc. Kommen wir zu Ableitungen. Die Ableitung f' einer Funktion f ist durch \displaystyle f'=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} definiert; natürlich nur auf der Teilmenge des Definitionsbereiches von f, wo dieser Grenzwert existiert. Die Ableitungsregeln lauten: (0) x'=1 (1) r' = 0 für r \in \mathbb{R} (2) (f \pm g)' = f' \pm g' (3) (f * g)' = f' * g + f * g' (4) (f \circ g)' = g' * f'(g) Auch dabei handelt es sich wieder um Gleichungen von Funktionen. Es folgt zum Beispiel (x^n)' = n \cdot x^{n-1} für alle n \in \mathds{N}^+. Wenn mehrere Variablen x,y,\dotsc im Spiel sind, kann man auch die partiellen Ableitungen \frac{\partial}{\partial x} f,~\frac{\partial}{\partial y} f,\dotsc als (partielle) Funktionen definieren. Üblicherweise wird die Schreibweise (x^n)'=n x^{n-1} als nicht präzise angesehen, mit der man aber trotzdem rechnet, und daher ist es umso besser, dass diese Gleichung in unserem Rahmen vollkommen korrekt ist. Man vergleiche das mit der üblichen Schreibweise: Definiere die Funktion f : \mathds{R} \to \mathds{R}, ~ t \mapsto t^n. Dann gilt f'(t)=n t^{n-1} für alle t \in \mathds{R}. Man muss also immer erst, wenn man präzise sein will, der Funktion einen neuen Namen geben. Und bei der Berechnung der Ableitung schreibt man die Funktionswerte hin, obwohl man eigentlich gerne eine Gleichung von Funktionen hätte. Dieser Wunsch kommt schon alleine dadurch zum Vorschein, dass fast immer der Allquantor ("für alle", "\forall") weggelassen wird. Und diese Umstände kommen alleine dadurch, dass man der (vermeintlich) langweiligen Funktion \mathrm{id} : \mathds{R} \to \mathds{R} keinen festen Namen gegeben hat bzw. der Name \mathrm{id} anscheinend sehr unbeliebt ist. Man hat in der Analysis keine Hemmungen \sin^2 zu schreiben, also wieso sollte \mathrm{id}^2 dann keinen Sinn machen? Mit x^2 wird meistens ohnehin die Funktion t \mapsto t^2 gemeint, und insofern wäre es nur konsequent, die Definitionen so auszulegen, dass es auch stimmt. Und das geht zum Beispiel, indem man x := \mathrm{id} definiert. Es gibt hier übrigens noch eine Art "Hintergrundgeschichte", die sich allerdings nur an die Leser richtet, die schon etwas von Kategorien gehört haben. Bekanntlich ist ein Morphismus in einer Kategorie mehr als nur eine "strukturerhaltende Abbildung" und entsprechend ist der Umgang mit Morphismen anfangs ein wenig gewöhnungsbedürftig. Ja nicht einmal die Objekte müssen "strukturierte Mengen" sein, sondern sind völlig abstrakte Gebilde (die gewissermaßen erst durch die Morphismen zum Leben erweckt werden). Es gibt nun aber die Möglichkeit, sich das ganze so vorzustellen (das geht letztlich auf den kürzlich verstorbenen Alexander Grothendieck zurück): Ein Element oder Punkt eines Objektes X sei ein Morphismus p : Y \longrightarrow X. Dabei kann Y irgendein anderes Objekt sein und es gehört zum Datum des Punktes dazu. Man spricht auch von einem Y-wertigen Punkt von X. Im Falle der Kategorie der Mengen bekommt man den üblichen Begriff eines Elements, wenn man sich auf Einpunktmengen Y beschränkt. Die Erweiterung auf beliebige Y zahlt sich allerdings aus. Eine vollständige Erklärung würde hier zu weit führen - ich möchte nur folgende Anwendung anmerken: Seien f,g : X \to X' zwei Morphismen mit f(p)=g(p) für alle Punkte p von X, wobei, wie zuvor f(p) für f \circ p steht. Dann gilt schon f=g. Tatsächlich, wir müssen lediglich den Punkt \mathrm{id}_X : X \to X einsetzen und sind sofort fertig. Auf diese Weise können wir uns nun aber Morphismen wie Funktionen vorstellen: Wenn f : X \to X' ein Morphismus ist, so liefert jeder Punkt p \in X einen Punkt f(p) \in X', und durch diese Wirkung auf den Punkten ist f bereits vollständig bestimmt. Umgekehrt liefert jede "natürliche" Wirkung auf den Punkten einen Morphismus - das ist die Aussage des Yoneda-Lemmas. All das liegt an der Existenz eines universellen Punktes \mathrm{id}_X, den es in der klassischen Sichtweise gar nicht geben würde. Den universellen Punkt der Menge \mathbb{R} haben wir x genannt. Wir können ihn auch als die "universelle reelle Zahl" sehen. Das war's schon an dieser Stelle. Scheut nicht vor Kommentaren zurück.

 


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