Wir definieren die Funktion $x\; :\; \backslash mathds\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathds\{R\}$ als die Identität, d.h. $x(t):=t$ für alle $t\; \backslash in\; \backslash mathds\{R\}$. Vielleicht mag der eine oder andere jetzt kritisieren, dass $x$ ein "kostbarer" Buchstabe ist, welcher nicht mit so etwas langweiligem wie die Identität "überschrieben" werden darf. Da ist etwas dran, aber trotzdem ein paar Gegenargumente: Namen sind Schall und Rauch. Man könnte reelle Zahlen auch mit $a,b,c,\backslash dotsc$ oder $r,s,t,\backslash dotsc$ bezeichnen. Und statt $x$ könnte man auch $X$ schreiben. Letzteres wäre ziemlich sinnvoll, zumal etwas ähnliches bereits bei Polynomen gemacht wird. Allerdings möchte ich in diesem Artikel $x$ schreiben, damit klar wird, dass die üblichen Rechnungen, die bisher für "formal falsch" gehalten worden sind, in Wahrheit richtig sind - wenn man nur das $x$ richtig definiert. Für zwei Funktionen $f,g$ sei die Funktion $f+g$ wie üblich durch $(f+g)(t):=f(t)+g(t)$ definiert. Analog werden $f-g$ und die $f\; \backslash cdot\; g$ definiert, und damit auch $f^2$ als Spezialfall von $f=g$. Man definiert außerdem die Verkettung/Komposition $f\; \backslash circ\; g$ durch $(f\; \backslash circ\; g)(t):=f(g(t)).$ Für $f=g$ erhalten wir $f^\{\backslash circ\; 2\}$ etc. Eine feste Zahl $r$ liefert eine konstante Funktion, die wir der Einfachheit halber auch mit $r$ bezeichnen. (Es handelt sich hierbei um einen abuse of notation, der allerdings keine Probleme verursachen sollte.) Mit Funktionen kann man (fast) genauso rechnen, wie man es für reelle Zahlen gewohnt ist. Man rechnet nur mit allen Funktionswerten "gleichzeitig". Natürlich muss man mit den Definitionsbereichen aufpassen, aber darauf gehe ich hier nicht weiter ein. Nach diesen Standard-Definitionen und unserer Definition der Funktion $x$ können wir nun etwa die Funktion $x^5\; -\; 2\; \backslash cdot\; x^3\; +\; 1$ hinschreiben. Das ist nämlich die Funktion, die $t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ abbildet auf $t^5\; -\; 2\; \backslash cdot\; t^3\; +\; 1$. Es ist $\backslash sin^2$ die Funktion $t\; \backslash mapsto\; \backslash sin(t)^2$, hingegen ist $\backslash sin^\{\backslash circ\; 2\}$ die (selten anzutreffende) Funktion $t\; \backslash mapsto\; \backslash sin(\backslash sin(t))$. Wir vereinbaren noch $f(g)$ als eine alternative Schreibweise für $f\; \backslash circ\; g$. Dann gilt also ganz allgemein $f(x)=f$ (sowie $x(g)=g$), denn Vorschalten (bzw. Nachschalten) der Identität ändert ja nichts. Außerdem können wir nun auch Funktionen wie zum Beispiel $\backslash cos(-x)$ hinschreiben; das ist die Funktion $t\; \backslash mapsto\; \backslash cos(-t)$. Wegen $\backslash cos(-t)=\backslash cos(t)$ für alle $t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ gilt $\backslash cos(-x)=\backslash cos(x)$ als Funktionen. Was bisher gesagt worden ist, gilt zunächst nur für Funktionen in einer reellen Variablen. Wenn man zwei braucht, definieren wir die Funktionen $x\; :\; \backslash mathds\{R\}^2\; \backslash to\; \backslash mathds\{R\},\; ~\; y\; :\; \backslash mathds\{R\}^2\; \backslash to\; \backslash mathds\{R\}$ als die Projektionen auf die erste bzw. zweite Koordinate. Dann ist etwa das Additionstheorem $\backslash sin(x+y)\; =\; \backslash sin(x)\; \backslash cdot\; \backslash cos(y)\; +\; \backslash cos(x)\; \backslash cdot\; \backslash sin(y)$ eine Gleichung von zwei Funktionen $\backslash mathds\{R\}^2\; \backslash to\; \backslash mathds\{R\}$. Was komplexe Funktionen angeht, so kann man $z\; :\; \backslash mathds\{C\}\; \backslash to\; \backslash mathds\{C\}$ als die Identität definieren. Dann ist etwa $\backslash sin\; =\; \backslash sin(z)$ die komplexe Sinus-Funktion, $z^n\; -\; 1$ ist eine komplexe polynomielle Funktion, etc. Kommen wir zu Ableitungen. Die Ableitung $f\text{'}$ einer Funktion $f$ ist durch $\backslash displaystyle\; f\text{'}=\backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x+h)-f(x)\}\{h\}$ definiert; natürlich nur auf der Teilmenge des Definitionsbereiches von $f$, wo dieser Grenzwert existiert. Die Ableitungsregeln lauten: (0) $x\text{'}=1$ (1) $r\text{'}\; =\; 0$ für $r\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ (2) $(f\; \backslash pm\; g)\text{'}\; =\; f\text{'}\; \backslash pm\; g\text{'}$ (3) $(f\; *\; g)\text{'}\; =\; f\text{'}\; *\; g\; +\; f\; *\; g\text{'}$ (4) $(f\; \backslash circ\; g)\text{'}\; =\; g\text{'}\; *\; f\text{'}(g)$ Auch dabei handelt es sich wieder um Gleichungen von Funktionen. Es folgt zum Beispiel $(x^n)\text{'}\; =\; n\; \backslash cdot\; x^\{n-1\}$ für alle $n\; \backslash in\; \backslash mathds\{N\}^+$. Wenn mehrere Variablen $x,y,\backslash dotsc$ im Spiel sind, kann man auch die partiellen Ableitungen $\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; f,~\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}\; f,\backslash dotsc$ als (partielle) Funktionen definieren. Üblicherweise wird die Schreibweise $(x^n)\text{'}=n\; x^\{n-1\}$ als nicht präzise angesehen, mit der man aber trotzdem rechnet, und daher ist es umso besser, dass diese Gleichung in unserem Rahmen vollkommen korrekt ist. Man vergleiche das mit der üblichen Schreibweise: Definiere die Funktion $f\; :\; \backslash mathds\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathds\{R\},\; ~\; t\; \backslash mapsto\; t^n.$ Dann gilt $f\text{'}(t)=n\; t^\{n-1\}$ für alle $t\; \backslash in\; \backslash mathds\{R\}$. Man muss also immer erst, wenn man präzise sein will, der Funktion einen neuen Namen geben. Und bei der Berechnung der Ableitung schreibt man die Funktionswerte hin, obwohl man eigentlich gerne eine Gleichung von Funktionen hätte. Dieser Wunsch kommt schon alleine dadurch zum Vorschein, dass fast immer der Allquantor ("für alle", "$\backslash forall$") weggelassen wird. Und diese Umstände kommen alleine dadurch, dass man der (vermeintlich) langweiligen Funktion $\backslash mathrm\{id\}\; :\; \backslash mathds\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathds\{R\}$ keinen festen Namen gegeben hat bzw. der Name $\backslash mathrm\{id\}$ anscheinend sehr unbeliebt ist. Man hat in der Analysis keine Hemmungen $\backslash sin^2$ zu schreiben, also wieso sollte $\backslash mathrm\{id\}^2$ dann keinen Sinn machen? Mit $x^2$ wird meistens ohnehin die Funktion $t\; \backslash mapsto\; t^2$ gemeint, und insofern wäre es nur konsequent, die Definitionen so auszulegen, dass es auch stimmt. Und das geht zum Beispiel, indem man $x\; :=\; \backslash mathrm\{id\}$ definiert. Es gibt hier übrigens noch eine Art "Hintergrundgeschichte", die sich allerdings nur an die Leser richtet, die schon etwas von Kategorien gehört haben. Bekanntlich ist ein Morphismus in einer Kategorie mehr als nur eine "strukturerhaltende Abbildung" und entsprechend ist der Umgang mit Morphismen anfangs ein wenig gewöhnungsbedürftig. Ja nicht einmal die Objekte müssen "strukturierte Mengen" sein, sondern sind völlig abstrakte Gebilde (die gewissermaßen erst durch die Morphismen zum Leben erweckt werden). Es gibt nun aber die Möglichkeit, sich das ganze so vorzustellen (das geht letztlich auf den kürzlich verstorbenen Alexander Grothendieck zurück): Ein Element oder Punkt eines Objektes $X$ sei ein Morphismus $p\; :\; Y\; \backslash longrightarrow\; X.$ Dabei kann $Y$ irgendein anderes Objekt sein und es gehört zum Datum des Punktes dazu. Man spricht auch von einem $Y$-wertigen Punkt von $X$. Im Falle der Kategorie der Mengen bekommt man den üblichen Begriff eines Elements, wenn man sich auf Einpunktmengen $Y$ beschränkt. Die Erweiterung auf beliebige $Y$ zahlt sich allerdings aus. Eine vollständige Erklärung würde hier zu weit führen - ich möchte nur folgende Anwendung anmerken: Seien $f,g\; :\; X\; \backslash to\; X\text{'}$ zwei Morphismen mit $f(p)=g(p)$ für alle Punkte $p$ von $X$, wobei, wie zuvor $f(p)$ für $f\; \backslash circ\; p$ steht. Dann gilt schon $f=g.$ Tatsächlich, wir müssen lediglich den Punkt $\backslash mathrm\{id\}\_X\; :\; X\; \backslash to\; X$ einsetzen und sind sofort fertig. Auf diese Weise können wir uns nun aber Morphismen wie Funktionen vorstellen: Wenn $f\; :\; X\; \backslash to\; X\text{'}$ ein Morphismus ist, so liefert jeder Punkt $p\; \backslash in\; X$ einen Punkt $f(p)\; \backslash in\; X\text{'}$, und durch diese Wirkung auf den Punkten ist $f$ bereits vollständig bestimmt. Umgekehrt liefert jede "natürliche" Wirkung auf den Punkten einen Morphismus - das ist die Aussage des Yoneda-Lemmas. All das liegt an der Existenz eines universellen Punktes $\backslash mathrm\{id\}\_X$, den es in der klassischen Sichtweise gar nicht geben würde. Den universellen Punkt der Menge $\backslash mathbb\{R\}$ haben wir $x$ genannt. Wir können ihn auch als die "universelle reelle Zahl" sehen. Das war's schon an dieser Stelle. Scheut nicht vor Kommentaren zurück.