Apfelmännchen algebraisch Von: shadowking Datum: Fr. 16. Oktober 2015 19:43:06 Thema: Mathematik $\backslash huge\{\backslash textsf\{Das\; Apfelmännchen\; aus\; algebraischer\; Sicht\}\}$ Wie die Mandelbrotmenge aussieht, brauche ich jemandem, der auf diesen Seiten regelmäßig aktiv ist, nicht mehr zu erklären. Diese äußerst komplizierte fraktale Menge ist zu einem Aushängeschild für die moderne rechnergestützte Mathematik und Algorithmik geworden. Ob ein wissenschaftlicher Themenbereich "populär" wird, ist weniger eine Frage seines Inhalts oder seiner Bedeutung, sondern eine Frage der Reklame. Und dafür hatten Herr Mandelbrot und seine Mitstreiter definitiv die schöneren Bilder produziert - und das in einer Zeit, da Rechenmaschinen noch groß wie Schränke waren und weniger konnten als etwa heute ein Smartphone. Da die numerische Rechenpower heute leicht zu bekommen und kostengünstig ist, siegt allzu oft die schiere Rechnerkraft über eine Betrachtungsweise, die den Phänomenen mit klassischer Mathematik auf den Grund geht. Inhalt: 1. Einleitung 2. Notationen und Definitionen 3. Mandelbrot und Feigenbaum 4. Die Mandelbrotmenge als Bifurkationsdiagramm für Julia-Mengen 5. Zentren und Misiurewicz-Punkte 6. Hyperbolische Mengen. Bestimmung von $\backslash mathcal\{H\}\_1$ und $\backslash mathcal\{H\}\_2$ 7. Die hyperbolische Menge $\backslash mathcal\{H\}\_3$ und darüber hinaus 8. Die Form der Grenzkurven 9. Zur Selbstähnlichkeit von $\backslash mathcal\{M\}$ 10. Schluß 1. Einleitung Ich verfolge mit diesem Artikel die Absicht, mich diesem Objekt einmal nicht von der numerischen, sondern der algebraischen Sichtweise her zu nähern, womit gemeint ist, die Bestimmung von Punkten und Kurven soweit zu treiben, wie dies mit algebraischer Exaktheit (und nicht nur numerischer Präzision) möglich ist. Die ersten Mathematiker, die sich dem Thema "quadratischer Iteration" näherten, waren die Franzosen Gaston Julia und Pierre Fatou um 1910, und die hatten schließlich auch noch keinen Rechner, um sich die fraktalen Gebilde veranschaulichen zu können, mit denen sie sich beschäftigten. Sehr weit wird man mit der reinen Kraft der Algebra in diesem Gebiet allerdings dennoch nicht kommen, denn die zugrundeliegende quadratische Dynamik impliziert ein exponentielles Anwachsen der Grade der Polynome, mit denen man es zu tun bekommt und die schon für kleine Zyklenlängen nicht nur nicht mehr praktisch, sondern wegen prinzipieller algebraischer Gründe (man denke an den Satz von Abel-Ruffini) nicht mehr handhabbar sind. Wer die Berechnungen, die in diesem Artikel vorgenommen werden, nachvollziehen möchte, der sollte also über ein leistungsfähiges Computeralgebrasystem verfügen. Ich habe alles mit wxMaxima durchgerechnet, eine freie und dennoch sehr brauchbare Software. Die Plots sind mittels Gnuplot erstellt, und so gute habe ich selten gesehen.   2. Notationen und Definitionen Gegeben sei ein komplexer Parameter $c$ aus $\backslash mathbb\{C\}$ sowie die quadratische Abbildung $\backslash displaystyle\; f\_c\backslash ,:\backslash ,\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash longrightarrow\; \backslash mathbb\{C\},\backslash ,z\backslash ,\backslash mapsto\backslash ,z^2+c$. Wir betrachten die Iteration dieser Abbildung für verschiedene Startwerte $z$ aus $\backslash mathbb\{C\}$. $z,\backslash ;f\_c(z),\backslash ;f\_c^2(z):=f\_c(f\_c(z)),\backslash ;f\_c^3(z),\backslash ;\backslash ldots\backslash ;,f\_c^n(z):=f\_c(f\_c^\{n-1\}(z)),\backslash ;\backslash ldots$ Es gibt mehrere Möglichkeiten: - Es tut sich gar nichts; es handelt sich um einen Fixpunkt. - Die Iterierten streben einem Grenzwert zu. - Die Iterierten streben einem Grenzwert nicht nur für $n\backslash rightarrow\backslash infty$ zu, sondern erreichen ihn exakt nach einer endlichen Anzahl Schritte. - Die Iterierten drehen sich im Kreis; verhalten sich zyklisch. - Die Iterierten werden nach einer endlichen Anzahl Schritte periodisch. - Die Iterierten nähern sich einem Grenzzyklus asymptotisch an. - Die Iterierten wachsen betragsmäßig über jede Grenze. - Keiner der bisherigen Fälle tritt ein; die Iterierten verhalten sich scheinbar regellos (deterministisch chaotisch). Die Julia-Menge $\backslash mathcal\{J\}\_c$ zum komplexen Parameter $c$ ist die Menge aller Punkte $z$ der komplexen Ebene, für die der vorletzte Fall nicht eintritt, die Iteriertenfolge also nicht betragsmäßig gegen Unendlich divergiert. Das Verhalten hängt kritisch von dem Parameter $c$ ab. Wenn wir die Betrachtung vom Raum der Folgenglieder auf den Raum der Parameter $c$ richten, können wir $z\_0\backslash ,=\backslash ,0$ setzen und die Menge derjenigen $c$ betrachten, für die die spezielle Folge $f\_c^n(0),\backslash ,n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$, also $0,\backslash ,c,\backslash ,c^2+c,\backslash ,(c^2+c)^2+c,\backslash ,\backslash ldots$ nicht beliebig anwächst. Diese Punktmenge ist als Mandelbrotmenge definiert. Definition: Die Menge $\backslash mathcal\{M\}\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{C\}$ aller Parameter, für die die Iteration $z\backslash ,\backslash longrightarrow\backslash ,z^2+c$ für $z\_0\; =\; 0$ nicht gegen Unendlich divergiert, heißt die Mandelbrotmenge. Bei genauerer Betrachtung fällt auf, daß $\backslash mathcal\{M\}$ unzählige kleine (näherungsweise) Kopien von sich selbst enthält, also eine selbstähnliche fraktale Menge ist. Wir werden dies im folgenden streng beweisen und auch die Gründe für dieses Phänomen näher beleuchten. Zunächst sei hier nur der sprachlichen Bequemlichkeit halber festgelegt, daß diese "kleinen Kopien von $\backslash mathcal\{M\}$" innerhalb von $\backslash mathcal\{M\}$ Satelliten genannt werden. Die psychedelisch-bunten Bilder, die man von $\backslash mathcal\{M\}$ überall zu sehen bekommt, ergeben sich dadurch, daß man die Bereiche, für die die Iteriertenfolge divergiert, unterschiedlich einfärbt, je nachdem, wie schnell diese Divergenz erfolgt. Doch in aller algebraischen Strenge muß darauf hingewiesen werden, daß ein Schwarzweißbild die Situation klarer wiedergibt, da ein Parameter $c\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$ nur entweder zur Mandelbrotmenge dazugehört oder nicht.   3. Mandelbrot und Feigenbaum Beschränkt man sich auf die reellen Zahlen, so ähneln sich die Iterationen $z\; \backslash rightarrow\; z^2+c$ und die der logistischen Abbildung $x\; \backslash rightarrow\; k\backslash cdot\; x\backslash cdot(1-x)$ so sehr, daß man die Ergebnisse der Untersuchung ihrer Parameterräume durch eine Umrechnung $c\; =\; \backslash frac\{2\backslash cdot\; k-k^2\}\{4\}$ bzw. $k=1+2\backslash cdot\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}-c\}$ von der einen auf die andere übertragen kann. Das bekannte Feigenbaumdiagramm mit seinen Periodenverdopplungskaskaden und sich in "chaotischen" Bereichen unvermittelt öffnenden "Fenstern der Ordnung" überträgt sich darum quasi unverändert auf die Mandelbrotmenge. Die Bereiche stabiler 2-, 4-, 8- etc.-Zyklen entspricht der Ansammlung von "Dutts" auf dem "Kopf" von $\backslash mathcal\{M\}$, während der größte Satellit in der "Antenne", die bis $c=-2$ reicht, dem größten Fenster der Ordnung im Feigenbaumdiagramm entspricht. Folgende markante Punkte seien hier mitsamt der exakt bestimmten Parameterwerte gegenübergestellt: Man kann die Umrechnungsfunktion entweder empirisch ermitteln und mit den einander entsprechenden Parameterwerten einen quadratischen Fit veranstalten, wie ich das zunächst gemacht habe - oder wieder algebraisch vorgehen. Dazu wähle man das dritte Parameterpaar $c\_3=-\backslash frac\{5\}\{4\},\backslash ;\; k\_3=1+\backslash sqrt\{6\}$. Das Polynom $4\backslash cdot\; X+5$ annulliert $c\_3$, also setze man eine quadratische Ansatzfunktion $c\_3\backslash ,=\backslash ,p+q\backslash cdot\; k\_3+r\backslash cdot\; k\_3^2$ für $X$ ein und vergleiche das Ergebnis koeffizientenweise mit dem Polynom $X^2-2\backslash cdot\; X\; -5$, welches $k\_3$ annulliert. Hierbei wird man praktischerweise das eine Polynom mit $-1$ multiplizieren, dadurch werden die konstanten Glieder gleich und man hat sofort $p=0$. Dann ergeben sich die anderen beiden Parameter leicht als $q=\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;r=-\backslash frac\{1\}\{4\}$. Bild 1: Die Vermittlung zwischen den Parameterwerten des Feigenbaumdiagramms und der reellen Achse der Mandelbrotmenge erfolgt über die Funktion $c=\backslash frac\{2\backslash cdot\; k-k^2\}\{4\}$   4. Die Mandelbrotmenge als Bifurkationsdiagramm im Parameterraum der Julia-Mengen In gewisser Weise ist es also angebracht zu sagen, daß die Mandelbrotmenge die Erweiterung des Feigenbaum-Diagramms ins Komplexe, oder, daß das Feigenbaum-Diagramm der "reelle Schatten" der komplexen Mandelbrotmenge ist. $\backslash mathcal\{M\}$ stellt eine Landkarte für Julia-Mengen dar, und Bifurkationslinien, an denen sich das Verhalten der Iterierten qualitativ ändert, treten auch in der Mandelbrotmenge auf. Während aber das Feigenbaum-Diagramm nicht nur den Ort dieser Stellen, sondern auch zugleich die Entwicklung des Attraktors darstellt, sieht man in $\backslash mathcal\{M\}$ nur die Örter, an denen sich das Systemverhalten ändert, aber nicht, wie es sich ändert. Wie es sich ändert, verraten die Gestaltänderungen der entsprechenden Julia-Mengen bei Überschreiten der Bifurkation. So hat der im Reellen einzig mögliche Bifurkationstyp mit Kodimension 1, die Heugabelbifurkation, im Komplexen mannigfache Entsprechungen. Ein bislang attraktiver Fixpunkt oder zyklischer Punkt kann im zweidimensionalen $\backslash mathbb\{C\}$ nicht nur in zwei, sondern in beliebig viele zyklische Punkte auseinanderspringen. Und zwar geschieht dies, wenn die Randkurve der hyperbolischen Bereiche an Stellen überschritten wird, die bei einer sinnvoll zu wählenden Parametrisierung rationalen Vielfachen von $\backslash pi$ entsprechen, wie in Abschnitt 9 dieses Artikels näher erläutert werden soll. Das eröffnet die Frage, was mit einem attraktiven Zyklus geschieht, wenn der Parameter $c$ die Hauptkardioide von $\backslash mathcal\{M\}$ etwa dort verlassen wird, wo dieser Parameter z.B. $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{4\}\backslash pi$ beträgt. Da er nicht in zyklisches Verhalten umspringen kann, sondern nur "in die Nähe einer Periodizität", könnte das Systemverhalten "fastperiodisch" oder deterministisch chaotisch werden, oder es könnte sogar langfristig Divergenz eintreten, $c$ also schon außerhalb von $\backslash mathcal\{M\}$ liegen.   5. Zentren und Misiurewicz-Punkte 5.1 Zentren Jede hyperbolische Komponente in $\backslash mathcal\{M\}$ hat genau einen "Mittelpunkt". Dieser ist dadurch gekennzeichnet, daß die Folge der Iterierten zu $z=0$ nach $n$ Schritten wieder exakt in 0 zurückläuft, wobei $n$ die der Komponente zugeordnete Zyklenlänge ist. Es kann nur einen derartigen Punkt je Komponente geben, da sich bei Variation des Parameters auch die Lage der Punkte des stabilen Zyklus innerhalb der Julia-Menge etwas verschiebt und so 0 nicht mehr im Zyklus liegt. Als das Zentrum der hyperbolischen Menge $\backslash mathcal\{H\}$ wird dieser ausgezeichnete Punkt definiert. Die Bestimmung dieses Zentrums erfolgt mit der Gleichung $f\_c^n(0)=0\; \backslash Leftrightarrow\; f\_c^\{n-1\}(c)=0$. Zudem lassen sich für sämtliche Teiler der Zyklenlänge Faktoren ausdividieren, und $c=0$ ist ohnehin für jede dieser Gleichungen eine Lösung. Beispiel: Die Zentren der hyperbolischen Mengen, die zu attraktiven Zyklen der Länge 4 führen, ergeben sich aus Algebraisch können sie nicht näher bestimmt werden. Da wir wissen, daß eine hyperbolische Menge zur Zyklenlänge 4 den ersten Dutt auf der Kreisscheibe bildet und eine andere einen kleinen Satelliten weit links in der Antenne, gehören die beiden reellen Lösungen $c=-1,3107026\backslash ldots,\backslash ,c=-1,9407998\backslash ldots$ gerade zu diesen. Die weiteren Lösungen sind komplex und liegen daher paarweise vor: $c=0,2822713\backslash ldots\backslash pm\backslash ,0,5300606\backslash ldots\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}$ gehört zu einem Knospenpaar auf der Hauptkardioide dort, wo der entsprechende Fixpunkt repulsiv wird und in einen attraktiven 4-Zyklus übergeht. $c=-0,1565201\backslash ldots\backslash pm\; 1,0322471\backslash ldots\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}$ gehört dagegen zu einem Paar weiterer Satelliten, die über ein Verzweigungssystem mit den Knospen zu 3-Zyklen in $\backslash mathcal\{H\}\_3$ verbunden sind. Da in jeder hyperbolischen Menge nur genau ein Zentrum existiert, läßt sich die Anzahl der hyperbolischen Mengen in $\backslash mathcal\{M\}$ zur Zyklenlänge $n$ bequem mit $\backslash sum\_\{k|n\}\backslash mu(\backslash frac\{n\}\{k\})\backslash cdot2^\{k-1\}$ angeben, wobei $k$ die Teiler von $n$ durchläuft und $\backslash mu$ die zahlentheoretische Möbiusfunktion bezeichnet. Bild 2: Zentren aller hyperbolischer Mengen zu den Zyklenlängen 4,5 und 6. Zu den hyperbolischen Mengen $\backslash mathcal\{H\}\_1,\; \backslash mathcal\{H\}\_2$ und $\backslash mathcal\{H\}\_3$ sind deren Randkurven rot, hellgrün bzw. dunkelblau eingezeichnet. 5. 2 Echte Vorfixpunkte und präzyklische Punkte (Misiurewicz-Punkte) Die Mandelbrotmenge setzt sich nicht nur aus den hyperbolischen Mengen zusammen, sondern sie ist darüberhinaus stark verästelt. Die auffälligste Verästelung ist die "Antenne" auf der reellen Achse, die dem rechten Rand des Feigenbaumdiagramms entspricht und sich nach links bis $c=-2$ hinzieht. Innerhalb dieser "Antenne" fällt ein Satellit ins Auge, eine Miniaturausgabe der gesamten Menge $\backslash mathcal\{M\}$. Diese liegt exakt da, wo an der entsprechenden Stelle im Feigenbaumdiagramm das "Dreierfenster" liegt. Wir werden im nächsten Abschnitt dessen Parametrisierung auffinden und dabei auch erkennen, daß er keine exakte Kopie darstellt. Wenn von der "Selbstähnlichkeit" von $\backslash mathcal\{M\}$ die Rede ist, so ist dies also nicht so exakt zu verstehen wie bei den ausdrücklich als selbstähnlich konstruierten Fraktalen Drachenkurve, Sierpiński-Dreieck, Kochscher Schneeflockenkurve etc., sondern nur asymptotisch gültig. Das Kennzeichen der hyperbolischen Mengen ist, daß die dazugehörigen Julia-Mengen "gutartig" und zusammenhängend sind und ein Inneres besitzen. Alle Iteriertenfolgen nähern sich asymptotisch einem Zyklus oder erreichen ihn sogar exakt. Außerhalb der hyperbolischen Bereiche finden wir nur noch Parameter vor, die zu repulsiven Zyklen in den entsprechenden Julia-Mengen führen, d.h. ein Punkt der komplexen Ebene, der nicht exakt auf einem zyklischen Orbit oder auf dessen Vorperiode liegt, kann noch so nahe daran liegen, doch wird er sich diesem Zyklus nicht nähern, sondern sich immer weiter davon entfernen. Er kann sich statt dessen einem anderen Zyklus annähern oder auch völlig azyklisch und scheinbar chaotisch hin- und herspringen. Algebraisch faßbar sind allerdings nur noch die Punkte, die entweder sofort zyklisches Verhalten zeigen oder aber nach einer endlichen Vorperiode in ein solches übergehen. Definition: Ein Punkt $c\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$, für den $m,\; n\; >\; 0\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ existieren, so daß $f\_c^\{m+n\}(0)\backslash ,=\backslash ,f\_c^n(0)$, aber für alle $n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\},\backslash ,n>0,\backslash ,f\_c^n(0)\backslash neq\; 0$ wird, heißt Misiurewicz-Punkt. Das minimale $m$, so daß dies gilt, heißt Periodenlänge von $c$, das minimale $n$ heißt Vorperiodenlänge. Die Iterierten teilen sich auf in $n$ strikt vorperiodische Punkte und $m$ periodische Punkte. Ist $m=1$, so besteht die Periode nur aus einem Fixpunkt und die vorperiodischen Punkte heißen auch Vorfixpunkte. Misiurewicz-Punkte sind damit genau die Parameter, für die 0 ein strikt vorperiodischer Punkt ist. Rein zyklische Punkte hatten wir als die Zentren hyperbolischer Mengen identifiziert; diese Zyklen sind also immer attraktiv für ihre nahe Umgebung. Ferner ist, da die Iteration mit dem Startwert 0 beginnt, 0 für rein zyklische Punkte nicht präperiodisch. Gestattet man aber die Einschränkung, daß ein Parameter $c$ erst nach Durchlaufen einer gewissen Vorperiode in einen Zyklus einmündet, so finden wir abseits der hyperbolischen Bereiche Punkte, die entscheidbar zu $\backslash mathcal\{M\}$ gehören. Zunächst ist festzustellen, daß es Punkte mit der Vorperiode 1 nicht geben kann. Gäbe es einen solchen, so wäre $c$ der Beginn der Periode. Die Iteration $z\; \backslash rightarrow\; f\_c(z)$ besteht aber gerade darin, den Ausgabewert zu quadrieren und dann den Parameter $c$ zu addieren. Man landet also nach einem Schritt nur dann bei $c$, wenn man im vorangegangenen Schritt bei 0 stand, also ist 0 nicht strikt vorperiodisch. Minimale Vorperiodenlänge ist also $n=2$. Zur praktischen Berechnung wird also der Ansatz $f\_c^\{m+n\}(0)-f\_c^n(0)=0$ bzw. $f\_c^\{m+n-1\}(c)-f\_c^\{n-1\}(c)=0$ gemacht. Die Einschränkungen, daß die Iteration genau nach dem $n$-ten Schritt in die Periode übergeht und nicht bereits vorher, erlaubt das Ausdividieren des Faktors $f\_c^\{m+n-2\}(c)-f\_c^\{n-2\}(c)$. Ist weiterhin $m>1$, so kann, da die Periodenlänge $m$ minimal definiert ist, zu den Koteilern $k$ jedes Primteilers $s$ von $m$ ein weiterer Faktor ausdividiert werden, und zwar $f\_c^\{n+k-1\}(c)-f\_c^\{n-1\}(c)$, wobei man darauf zu achten hat, daß man eventuell mehrfach ausdividierte Teiler nach der Methode des Einschluß-Ausschluß-Verfahrens wieder hinzumultipliziert. Insgesamt erreicht man durch das Ausdividieren von Faktoren, daß die zu erwartenden hohen Polynomgrade weitestgehend reduziert werden und man die Nullstellen sicher als Misiurewicz-Punkte des gewünschten Typs identifizieren kann, ohne in Listen nachsehen zu müssen, ob sie evtl. schon bei kleineren Vorperioden- bzw. Periodenlängen aufgetreten sind. Beispiel: Vorperiode 2, Periode 2 $\backslash mathrm\{i\}$ und $-\backslash mathrm\{i\}$ sind also die einzigen Misiurewicz-Punkte zu $m\; =\; n\; =\; 2$. Ein anderer bemerkenswerter Misiurewicz-Punkt ist die Antennenspitze $c\; =\; -2$. Hierbei handelt es sich um einen echten Vorfixpunkt, denn ihre Iteriertenfolge lautet $0,\backslash ,-2,\backslash ,2,\backslash ,2,\; \backslash ldots$ Die folgende Bilderserie zeigt für einige kleine $m,\; n$ die dazugehörigen Misiurewicz-Punkte. Vorfixpunkte sind in allen Bildern dunkelblau dargestellt. Bild 3: Einige Misiurewicz-Punkte mit der Vorperiodenlänge 2. Enthalten sind auch –2, i und –i Bild 4: Einige Misiurewicz-Punkte mit der Vorperiodenlänge 3 Bild 5: Einige Misiurewicz-Punkte mit Vorperiodenlängen 4, 5 und 6 Soweit ich die berechneten Misiurewicz-Punkte mit Fraktalprogrammen untersucht habe, waren sie alle vom Typ "Spitze" oder "Ende einer verzweigten Struktur". Wikipedia meint, es gäbe sie auch als diskrete Punkte auf der Antenne oder – was noch interessanter aufzufinden wäre – als Verzweigungspunkte in den Dendriten jenseits der Vervielfachungskaskaden der hyperbolischen Mengen. Wenn man letztere nicht abzählen mag, um festzustellen, welche Zyklenlänge zu den Punkten in ihr gehört, so kann man nämlich praktischerweise auch die Äste, die von dem über ihr liegenden Verzweigungspunkt ausstrahlen, abzählen. Der Ast, über den dieser mit dem Hauptkörper von $\backslash mathcal\{M\}$ verbunden ist, ist dabei mitzuzählen. Diese Verästelungszahl ist gleich der Zyklenlänge. Die Regel, nach der diese in den hyperbolischen Mengen entlang des Randes von $\backslash mathcal\{H\}\_1$ anwächst, kann man sich auf diese Weise nochmals bestätigen.   6. Hyperbolische Mengen. Bestimmung von $\backslash mathcal\{H\}\_1$ und $\backslash mathcal\{H\}\_2$ Wir können außer zwischen Divergenz und Nichtdivergenz auch nach dem Vorliegen der anderen unter 2. genannten Möglichkeiten fragen. Das führt auf den Begriff der hyperbolischen Menge. Dies ist ein zusammenhängender Bereich der Mandelbrotmenge mit nichtleerem Inneren, dessen Elemente zu einem ähnlichen Verhalten der Iterierten in der Julia-Menge führen. Wenn wir schauen, bei welchen Parametern nur ein Fixpunkt vorliegt, den die Iterierten entweder irgendwann erreichen oder dem sie asymptotisch zustreben, so müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein: - Es existiert ein $z$ aus $\backslash mathbb\{C\}$, für das gilt: $f\_c(z)\; =\; z$ - Der Betrag der Ableitung $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; f\_c(z)$ ist betragsmäßig höchstens 1, so daß eine Fixpunktiteration gemäß dem Satz von Banach kontrahierend ist und einer der Lösungen von $f\_c(z)=z$ zustrebt Während die erste Bedingung zur exakten Gleichung $z^2-z+c=0$ führt, ergibt sich aus der zweiten eine Betragsungleichung $|2\backslash cdot\; z|\; \backslash leq\; 1$ bzw. $|z|\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{2\}$. Um die $c$ zu bestimmen, die beides erfüllen, müssen wir die Variable $z$ eliminieren, was hier der einfachen Lösung einer quadratischen Gleichung in $\backslash mathbb\{C\}$ entspricht, die auf $\backslash left|\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}-c\}\backslash right|\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ führt. Die Randkurve, auf der diese Ungleichung mit Gleichheit erfüllt wird, ist hierbei das Interessante, denn hier wird, wenn man den Rand von innen nach außen überschreitet, gerade der bis dahin attraktive Fixpunkt repulsiv. Parametrisiert man den Einheitskreis als $w\; \backslash in\; \backslash \{\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\backslash ,|\backslash ,t\; \backslash in\; [0,2\backslash pi]\backslash \}$, so läßt sich dies in $c\; \backslash in\; \backslash \{\backslash frac\{1\}\{4\}-(-\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t))^2\; \backslash ,|\backslash ,\; t\; \backslash in\; [0,2\backslash pi]\backslash \}$ überführen (siehe Bildfolge). Dies ist die Parametrisierung einer Kardioide, der sogenannten Hauptkardioide $\backslash mathcal\{H\}\_1$. Bild 6: Transformation des Einheitskreises durch Skalieren und Verschieben - Quadrieren - Spiegeln und erneutes Verschieben - in die Hauptkardioide $\backslash mathcal\{H\}\_1$ Grundsätzlich werden wir bei dieser Vorgehensweise bleiben, auch wenn wir noch erheblich schwereres algebraisches Geschütz brauchen werden, um die Randkurve von $\backslash mathcal\{H\}\_3$ zu bestimmen. Doch zunächst sehen wir uns noch den Bereich an, der die Parameter beinhaltet, für die es in den entsprechenden Julia-Mengen einen attraktiven 2-Zyklus gibt. Das heißt nichts anderes, als daß die zweite Iterierte, $f\_c^2\; =\; f\_c(f\_c)$, einen Fixpunkt besitzt, für den die Ableitung betragsmäßig höchstens 1 wird. $f\_c^2(z)$ ist zwar schon ein Polynom 4. Grades, doch werden mit der Fixpunktgleichung $f\_c^2(z)=z$ auch bereits die Fixpunkte der Abbildung selbst erfaßt, so daß nach dem Ausdividieren von $f\_c(z)-z$ nur noch ein Polynom 2. Grades übrigbleibt, und zwar $z^2+z+(c+1)$. Die Betragsbedingung lautet $|z\backslash cdot(z^2+c)|\backslash leq\backslash frac\{1\}\{4\}$. Da hier der Grad des Polynoms in Betragsstrichen größer ist als der dessen, welches exakt zu erfüllen ist, können wir eine Polynomdivision durchführen und nur deren Rest weiterbetrachten, was uns sofort auf $|c+1|\backslash leq\backslash frac\{1\}\{4\}$ bringt. Der Bereich der Parameter, denen in der Julia-Menge attraktive 2-Zyklen entsprechen, ist also exakt eine Kreisscheibe mit Radius $\backslash frac\{1\}\{4\}$ um $-1$. Wir werden noch sehen, daß dies der einzige exakte Kreis im Rand von $\backslash mathcal\{M\}$ ist. Bild 7: So weit haben wir die Mandelbrotmenge nun schon erzeugt. Man sieht: Es wird...   7. Die hyperbolische Menge $\backslash mathcal\{H\}\_3$ und darüber hinaus Nun werden wir mit dieser Methodik noch den Bereich der stabilen 3-Zyklen untersuchen. Auch wenn wir es jetzt nicht mehr mit leichten Einsichten zu tun haben, sondern wir das ganze Instrumentarium von Lösung linearer Systeme über die Auflösung polynomialer Gleichungen bis hin zur Körpertheorie in Anschlag bringen müssen, bleibt uns hierbei doch das Glück hold. Exakt zu erfüllen: $\backslash displaystyle\backslash frac\{f\_c(f\_c(f\_c(z)))-z\}\{f\_c(z)-z\}=0$ bzw. Betragsmäßig zu erfüllen: $\backslash displaystyle\backslash left|\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}f\_c(f\_c(f\_c(z)))\backslash right|\backslash leq\; 1$ bzw. $|z\backslash cdot\; (z^2+c)\backslash cdot((z^2+c)^2+c)|\backslash leq\backslash frac\{1\}\{8\}$ Nach der Polynomdivision durch bleibt in Betragsstrichen $|c\backslash cdot\; z^4+(2c^2+c)\backslash cdot\; z^2+c\backslash cdot\; z+(c^3+2c^2+c+1)|\backslash leq\backslash frac\{1\}\{8\}$. Wenn wir hierin zur Randkurve übergehen, können wir dies zu gegebener Zeit als $\backslash exists\; \backslash ,\; t\; \backslash in\; [0,2\backslash pi]\; \backslash ,:\backslash ,\; cz^4+(2c^2+c)z^2+cz+(c^3+2c^2+c)=-1+\backslash frac\{\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\}\{8\}$ umschreiben. Als nächstes haben wir die Variable $z$ zu eliminieren. Dazu suchen wir ein Polynom, $R(c,w)$ über $\backslash mathbb\{Z\}[c]$, welches unter der Voraussetzung, daß $z$ die Gleichung 6. Grades $P(c,z)=0$ erfüllt, die algebraische Zahl $cz^4+(2c^2+c)z^3+cz+c^3+2c^2+c$ annulliert. Wir wissen aus der Körpertheorie, daß dies ebenfalls eine ganz-algebraische Zahl 6. Grades über $\backslash mathbb\{Z\}[c]$ ist, und machen also den Ansatz $R(w)\backslash ,=\backslash ,w^6+k\backslash cdot\; w^5+l\backslash cdot\; w^4+m\backslash cdot\; w^3+p\backslash cdot\; w^2+q\backslash cdot\; w+r=0$, in welches wir den zu annullierenden Term einsetzen. Dies ergibt zwar ein Polynom 24. Grades, dessen Koeffizienten von $c$ abhängen, doch nachdem wir wiederum $P$ ausdividiert haben, bleibt als Rest formal ein Polynom 5. Grades (konkret in diesem Fall sogar 4. Grades), dessen Koeffizienten Linearkombinationen der Koeffizienten $k,l,m,p,q$ und $r$ über $\backslash mathbb\{Z\}[c]$ sind. Diese Linearkombinationen setzen wir alle gleich Null, so daß sich ein lineares Gleichungssystem mit 6 Gleichungen in 6 Unbekannten ergibt, welches wir lösen. Dabei stellt sich heraus, daß 4 dieser 6 Gleichungen redundant sind, d.h. von den 6 Koeffizienten sind 4 frei wählbar und nur der des quadratischen und der des konstanten Gliedes sind von diesen abhängig. Wenn wir schon die freie Wahl haben, machen wir es uns so einfach wie möglich und wählen alle freien Koeffizienten des linearen Systems gleich Null. Damit ergibt sich für $R$: $\backslash displaystyle\; R(c,w)\; =\; w^6+(-3c^6-8c^5-5c^4)\backslash cdot\; w^2-(2c^9+11c^8+20c^7+12c^6)$ Und wir haben noch ein zweites Mal Glück. Dieses Polynom faktorisiert praktischerweise in drei in $w$ quadratische Polynome, und zwar ist $R(c,w)=(w^2-2c^3-3c^2)\backslash cdot(w^2+cw+c^3+2c^2)\backslash cdot(w^2-cw+c^3+2c^2)$. Nur der letzte dieser Faktoren hat tatsächlich eine Bedeutung für die Randkurve; die beiden übrigen Faktoren haben wir uns durch die Methode eingehandelt, die der Anwendung einer Polynomfunktion 6. Grades auf beiden Seiten entspricht. Da wir $R$ so gewählt hatten, daß $R(c,w)=R(c,cz^4+(2c^2+c)z^2+cz+c^3+2c^2+c)=0$, wandelt sich die Betragsungleichung in $|w+1|\backslash leq\backslash frac\{1\}\{8\}$, was die Parametrisierung von $w$ als $-1+\backslash frac\{\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\}\{8\}$ gestattet. Wenn wir dies in $w^2-cw+c^3+2c^2=0$ für $w$ einsetzen, definiert dies implizit die Randkurve von $\backslash mathcal\{H\}\_3$, wobei $t$ von $0$ bis $2\backslash pi$ läuft. Lösen wir diese Gleichung nach $c$ auf – hierbei haben wie das Cardanosche Verfahren anzuwenden –, so gewinnen wir eine Parametrisierung der Randkurven sämtlicher Zusammenhangskomponenten von $\backslash mathcal\{H\}\_3$. Hier ist der komplexe Term für die "Hände" von $\backslash mathcal\{M\}$ und die kardioidenähnliche Kurve bei $-\backslash frac\{7\}\{4\}$. Ein scharfer Vergleich im nächsten Abschnitt wird zeigen, daß es sich um keine exakten Kreise und keine exakte Kardioide handelt. $k$ nimmt wie üblich die Werte 0, 1, 2 an. Einsetzen von $-1+\backslash frac\{\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\}\{8\}$ für $w$ liefert eine explizite Parametrisierung der blauen Bereiche im folgenden Plot. Bild 8: Wir haben die "Hände" des Apfelmännchens exakt parametrisiert, und auch der Hauptkörper des größten Satelliten in der Antenne zeigt sich bereits. Kenneth Falconer nennt in [3] diese Strukturen "kreisförmig (circular)" - hat er damit recht? Mit dem hier angewendeten Verfahren, ein nichtlineares System aus zwei Polynomgleichungen in zwei Variablen zu lösen, ließe sich prinzipiell auch die Bestimmung sämtlicher hyperbolischer Mengen angehen. Man hat allerdings zu beachten, daß durch die Anwendung einer höhergradigen Polynomfunktion die Lösungsmenge vergrößert wird, d.h. es wird so sein, daß das aufgefundene Polynom zwar stets faktorisiert, doch daß dessen Faktoren nicht alle zu einer Randkurve einer hyperbolischen Menge in $\backslash mathcal\{M\}$ gehören. So findet man für den Rand der hyperbolischen Menge $\backslash mathcal\{H\}\_4$ ein Polynom 12. Grades $R(c,w)$, doch nur dessen Faktor $F\_3(c,w):=w^3+c^2\backslash cdot\; w^2-(c^4+c^3-3c^2)\backslash cdot\; w-(c^6+3c^5+4c^4+4c^3)$ entsprechen tatsächlich die Ränder sämtlicher hyperbolischer Bereiche, deren Elementen in den ihnen entsprechenden Julia-Mengen attraktive Zyklen der Länge 4 zuzuordnen sind. Das rasche Anwachsen der Polynomgrade mit der Zyklenlänge verdeutlicht aber, wie rasch die Grenzen der Bestimmbarkeit exakter Grenzkurven erreicht ist. Die explizite Darstellung des Randes von $\backslash mathcal\{H\}\_4$ ist schon aufgrund des Satzes von Abel-Ruffini nicht mehr möglich. Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten dieses Bereichs ist übrigens, wie man aufgrund des Beispiels $\backslash mathcal\{H\}\_3$ vermuten könnte, durch den Grad dieses Polynoms in $c$ festgelegt. $F\_3$ hat Grad 6 in $c$, und es existieren 6 hyperbolische Zusammenhangskomponenten: zwei sind die 4-Knospen an der Hauptkardioide rechts von den "Händen" von $\backslash mathcal\{M\}$, eine bildet den "Dutt" am "Kopf" $\backslash mathcal\{H\}\_2$ des Apfelmännchens, eine vierte bildet den kardioidenartigen Hauptkörper eines kleinen Satelliten in der "Antenne" von $\backslash mathcal\{M\}$ bei $c=-\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash cdot(1+\backslash sqrt[3]\{4\})\backslash ,=\backslash ,-1,9405507\backslash ldots$ (diese Zahl ist nebenbei für mich das schönste Ergebnis dieser Befassung mit der Materie überhaupt), und die übrigen beiden sind kardioidenförmige hyperbolische Bereiche, die im Komplexen innerhalb von Verästelungen liegen, die von den beiden "Händen" von $\backslash mathcal\{M\}$ ausgehen. Wurzeln Doch auch wenn es nicht möglich ist, die gesamte Randkurve eines hyperbolischen Bereichs zu bestimmen, um sie sich z.B. plotten zu lassen, so läßt sich zumindest der zu $t=0$ gehörige Punkt bestimmen. Für diesen nimmt $w$ den Wert $-1+\backslash frac\{1\}\{2^n\}$ an, wobei $n$ die Zyklenlänge ist. Das sich so ergebende Polynom in $\backslash mathbb\{Z\}[c]$ läßt sich stets in Faktoren zerlegen, denn es gibt für jedes $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ hyperbolische Bereiche auf den Hauptkörpern der Mandelbrotmenge, die an ausgezeichneten Punkten der Randkurven als "Knospen" sitzen. Deren Aufsitzpunkte erfüllen also stets Polynomgleichungen niedrigeren Grades. (Welche das sind, wird in Kapitel 9 näher erörtert.) Für die übrigen hyperbolischen Bereiche - man denke an kleine Satelliten irgendwo in den Verästelungen von $\backslash mathcal\{M\}$ - hat man aber weitere Faktoren, die mit den Standardverfahren im Allgemeinen nicht mehr faktorisierbar sind. Doch kann zumindest numerisch im Komplexen dieser Anfangspunkt gefunden werden. Als dieser ist die Wurzel der hyperbolischen Menge definiert. Zwei Fälle sind also möglich: Die Wurzel sitzt entweder auf der Randkurve eines größeren hyperbolischen Bereichs, dann ist die hyperbolische Menge kreisähnlich, oder sie hängt in den Verästelungen des Randes von $\backslash mathcal\{M\}$ und ähnelt dann einer Kardioide, an der sich sämtliche Substrukturen der gesamten Mandelbrotmenge unter leichter Verzerrung wiederentdecken lassen. Die Zyklenlänge, denen die Elemente dieser Substrukturen jeweils entsprechen, ergibt sich dabei aus der Zyklenlänge, die der mit dieser verbundenen Kardioide zugeordnet ist, multipliziert mit der Zyklenlänge der gleichartigen Knospe an der Hauptkardioide $\backslash mathcal\{H\}\_1$.   8. Die Form der Grenzkurven Noch einmal zurück zu den Knospen von $\backslash mathcal\{H\}\_3$. Deren gesamte Randkurve gliedert sich in drei Zusammenhangskomponenten: eine liegt symmetrisch auf der reellen Achse bei $z\; =\; -\backslash frac\{7\}\{4\}$, innerhalb der reellen "Antenne" der Mandelbrotmenge und ähnelt einer verkleinerten Kopie der Hauptkardioide. Die anderen beiden liegen symmetrisch bezüglich der reellen Achse und berühren die Hauptkardioide genau dort, wo diese waagerechte Tangenten hat. Kenneth Falconer behauptet in [3], diese Kurven seien "kreisförmig (circular)". Ich habe mich gefragt: Sind dies wirklich exakte Kreise und, falls ja, warum lassen sich ihre Gleichungen nicht einfacher auffinden, warum muß man dafür so tief in die algebraische Werkzeugkiste greifen? Um die Frage zu beantworten, verlassen wir kurz die strengen Pfade der Algebra und bedienen uns der komplexen Analysis, um den Schmiegekreis der Zusammenhangskomponente im Kontaktpunkt mit der Hauptkardioide zu bestimmen. Dazu setzen wir $K\_\{q,r,\backslash xi\}\backslash ,:=\backslash ,\backslash \{q+\backslash mathrm\{i\}r\backslash xi\backslash cdot(1-\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t))\backslash ,|\backslash ,t\; \backslash in\; [0,2\backslash pi]\backslash \}$ an und wählen die drei Parameter $q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$, $\backslash xi\; \backslash in\; S^1$, $r\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\_\{>0\}$ so, daß für $t\; =\; 0$ am Kreis die reellen und imaginären Aufpunktkoordinaten, die Richtung des Tangentenvektors sowie die Krümmung $\backslash kappa(t)=\backslash frac\{1\}\{r(t)\}=\backslash frac\{\backslash dot\{x\}(t)\backslash cdot\backslash ddot\{y\}(t)-\backslash dot\{y\}(t)\backslash cdot\backslash ddot\{x\}(t)\}\{\backslash left(\backslash dot\{x\}^2(t)+\backslash dot\{y\}^2(t)\backslash right)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$ ($x(t)$ und $y(t)$ sind Real- bzw. Imaginärteil der Parametrisierung der Randkurve) mit denjenigen der Randkurve identisch werden. Wir erhalten: Wäre die Zusammenhangskomponente der Randkurve tatsächlich ein Kreis, so müßte sie nicht nur lokal im Kontaktpunkt, sondern global mit ihrem eigenen Schmiegekreis $K\_\{q,r,\backslash xi\}$ zusammenfallen. Schaut man sich den entsprechenden Plot sehr genau an, so erkennt man aber, daß die Kurven in dem Bereich, der zwischen "halb elf" und "halb zwei" auf dem Schmiegekreis liegt, auseinanderlaufen. Die Ausschnittsvergrößerung bestätigt die Diskrepanz, und ebenso täte dies ein Nachrechnen – welches wir uns aber an dieser Stelle ersparen, da der Augenschein deutlich genug ist. Diese Teile der Randkurve von $\backslash mathcal\{H\}\_3$ sind also tatsächlich keine Kreise - wenn auch die Abweichung unter 1% liegt. Bild 9: Vergleich der oberen "Hand" des Apfelmännchens, eines Teils des Randes von $\backslash mathcal\{H\}\_3$, mit ihrem Schmiegekreis $K\_\{q,r,\backslash xi\}$ im Kontaktpunkt mit der Hauptkardioide. Bei exakter Kreisform müßten die Kurven überall übereinstimmen; es erweist sich jedoch, daß sie dies nicht tun Bild 10: Ausschnittvergrößerung des linken oberen Bildbereichs Man kann sich dies auch anderweitig überlegen, indem man die Entstehung der Kurve aus dem Kreis nachvollzieht, mit dem wir das Argument der Betragsungleichung parametrisiert haben: $s(t)=-1+\backslash frac\{\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\}\{8\}$. Dieser wird einer polynomialen Abbildung 2. Grades unterworfen, und solche Abbildungen überführen im Allgemeinen einen Kreis in eine Epizykloide, wie wir am Beispiel der Hauptkardioide bereits sahen. Doch in diesem Fall wird noch eine inverse polynomiale Abbildung nachgeschaltet, und zwar eine, die ein Polynom 3. Grades invertiert – ein Term, der dritte Wurzeln enthält. Die Mehrdeutigkeit dieses Wurzelausdrucks ist auch dafür verantwortlich, daß die Randkurven der höheren hyperbolischen Mengen nicht mehr zusammenhängend sind, sondern in so viele Zusammenhangskomponenten zerfällt, wie der Grad des Polynoms in $c$ angibt. Es gilt jedoch: Je kleiner der Radius des Ausgangskreises und je weiter seine Peripherie vom Koordinatenursprung entfernt bleibt, desto geringer fallen die Abweichungen von einem exakten Kreis nach den beiden Transformationen aus. Hieraus können wir den Schluß (zumindest aber die begründete Vermutung) ziehen, daß die beiden spiegelsymmetrischen Knospen von $\backslash mathcal\{H\}\_3$ diejenigen unter den nicht-kardioidenförmigen hyperbolischen Mengen in der ganzen Mandelbrotmenge sind, die am stärksten von der exakten Kreisform abweichen. Bild 11: Vergleich des kardioidenartigen Hauptkörpers des Satelliten innerhalb von $\backslash mathcal\{H\}\_3$ mit einer exakten Kardioide, die in der Symmetrieachse die gleiche Breite hat.   9. Zur Selbstähnlichkeit von $\backslash mathcal\{M\}$ Wir werden uns zum Abschluß mit der Frage beschäftigen, welchen Regeln die Knospenbildung auf der Randkurve einer hyperbolischen Menge gehorcht. Es wird dazu hilfreich sein, sich den verwandten Vorgang der Periodenverdopplung im Feigenbaum-Szenario vor Augen zu führen. Der Fixpunkt $x\; \backslash in\; [0,1]$ bzgl. $f\_k$ wird repulsiv, wenn $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; f\_k(x)$ bei stetiger Variation von $k$ den Wert 1 überschreitet, wobei rechts und links von $x$ ein neues Paar Fixpunkte der zweiten Iterierten von $f\_k$ entsteht, die ab dann einen attraktiven 2-Zyklus bilden. Dieser Typ der Bifurkation heißt aufgrund seiner Form Heugabelbifurkation. Es ist dies der einzig mögliche Bifurkationstyp im Reellen mit der Kodimension 1, weshalb sich im Feigenbaum-Szenario Zyklen mit ungerader Länge nur durch spontanes Aufreißen eines Fensters im Chaos ergeben können. Da in den Julia-Mengen wesentlich die gleiche Situation, allerdings im Komplexen, vorliegt, sind hier auch Bifurkationen mit Kodimension 1 möglich, bei denen sich beim Repulsivwerden eines Fixpunktes oder eines Zyklus mehrere Fixpunkte einer höheren als der zweiten Iterierten von $f\_c$ ergeben. Damit z.B. ein 3-Zyklus entsteht, muß die dritte Iterierte von $f\_c$ lokal um den Fixpunkt $z\_c$ wie $(z-z\_c)+w\backslash cdot(z-z\_c)^4,\backslash ,\; w\backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$ aussehen. Den entsprechenden Bifurkationstyp könnte man z.B. "Dreifußbifurkation" nennen. Sehen wir uns an, was beim Iterieren von $f\_c$ in der Nähe von dessen Fixpunkt geschieht, wenn $c$ den kritischen Wert annimmt: nicht nur $f\_c(z)$ stimmt mit $z$ überein, sondern auch $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; f\_c(z)$ wird Eins. $q$-faches Iterieren von $f\_c$ ändert an dieser Tatsache wenig, da sich die Funktion sehr eng an die komplexe Hauptdiagonale anschmiegt. Liegt $c$ auf dem Rand der Hauptkardioide $\backslash \{\backslash frac\{\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\}\{2\}-\backslash frac\{\backslash exp(2\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\}\{4\}\backslash ,|\backslash ,t\backslash in\; [0,2\backslash pi]\backslash \}$, so entspricht ihm ein kritischer Fixpunkt $z\_c$ auf dem Kreis $\backslash \{\backslash frac\{\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)\}\{2\}\backslash ,|\backslash ,t\backslash in\; [0,2\backslash pi]\backslash \}$. Es ist $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; f\_c(z)=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; (z^2+c)=\; 2\backslash cdot\; z$. Unter welchen Bedingungen geht aus $z\_c$ ein attraktiver $q$-Zyklus hervor? Die Ableitung der $q$-ten Iterierten, die sich nach mehrfacher Anwendung der Kettenregel als Produkt gleicher Faktoren entpuppt, ist gleich 1, denn die Iterierte wird lokal, ebenso wie die Ausgangsfunktion, durch $z$ approximiert; erst der $q+1$-te Taylorkoeffizient der Entwicklung von $f\_c^q(z)$ um $z\_c$ ist von Null verschieden, was das Auftreten des neuen $q$-Zyklus bedingt. Folglich ist $z\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash zeta\_q^k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash exp(\backslash frac\{2k\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\backslash pi\}\{q\})$ mit $k\; \backslash in\; \backslash \{0,1,\backslash ldots,q-1\; \backslash ,|\backslash ,\; \backslash mathrm\{ggT\}(k,q)=1\backslash \}$. Auf die Kardioide umgerechnet: $c=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash exp(\backslash frac\{2k\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\backslash pi\}\{q\})-\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot\backslash exp(\backslash frac\{4k\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\backslash pi\}\{q\})$. Für $k=0$ ergibt dies gerade die Spitze der Hauptkardioide; diese Lösung kann also fallengelassen werden. Für $q>1$ existieren am Hauptkörper des Apfelmännchens also $\backslash varphi(q)$ Knospen ($\backslash varphi$ ist die Eulersche Phi-Funktion, die zu $q$ teilerfremde Zahlen zählt), in welchen sich diejenigen Parameter finden, in deren Julia-Mengen attraktive $q$-Zyklen auftreten. In analoger Weise kann man auch von beliebigen hyperbolischen Mengen über deren Rand in weitere Knospen von $\backslash mathcal\{M\}$ vorstoßen. Es gilt dabei, daß die der Knospe entsprechende Zyklenlänge sich als das Produkt aus derjenigen der ihr entsprechenden Knospe, die mit $\backslash mathcal\{H\}\_1$ über gemeinsame Randpunkte verbunden ist, und derjenigen des kardioidenförmigen Hauptkörpers, mit dem sie selbst über gemeinsame Randpunkte verbunden ist, ergibt. Wir betrachten zum Beweis die $p\backslash cdot\; q$-te Iteration von $f\_c$ am Ort eines $p$-zyklischen Punktes $z\_\{\backslash mathrm\{zykl\}\}$, dessen Zyklus kritisch ist, d.h. der unitäre Ableitung hat. Diese entspricht lokal bis in $p$-te Näherung der Identität; insbesondere ist ihre Ableitung gerade 1. Für deren Ableitung gilt $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; f\_c^\{p\backslash cdot\; q\}(z)|\_\{z=z\_\{\backslash mathrm\{zykl\}\}\}=\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; f\_c^p(z)|\_\{z=z\_\{\backslash mathrm\{zykl\}\}\}\backslash right)^q$, und der Betrag dieser Ableitung ist, so wie wir die Randkurve parametrisiert haben, gleich 1, also ist $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; f\_c^p(z)|\_\{z=z\_\{\backslash mathrm\{zykl\}\}\}=\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)$ für ein $t\; \backslash in\; [0,2\backslash pi]$. Demnach ist $\backslash exp(q\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\; t)=1$ und $t=\backslash frac\{2k\backslash cdot\backslash pi\}\{q\}$ mit $k\; \backslash in\; \backslash \{s\; \backslash ,|\backslash ,\; \backslash mathrm\{ggT\}(s,q)=1\backslash \}$ (bei $t=0$ liegt der Kontaktpunkt mit dem Hauptkörper oder, falls die Knospe kardioidenähnlich ist, deren Spitze, und bei $t=\backslash frac\{s\}\{q\}$ mit $\backslash mathrm\{ggT\}(s,q)\backslash neq\; 1$ befinden sich Knospen mit geringerer Zyklenlänge), d.h. überall dort, wo der Parameter $t$ ein rationales Verhältnis zu $\backslash pi$ aufweist, dessen Nenner $q$ ist, befindet sich eine Unterknospe, die solche Parameter $c$ enthält, in deren Julia-Mengen Zyklen auftreten, die $q$-mal so lang sind wie diejenigen, die den Punkten in der Oberknospe zugeordnet sind. Die übrigen hyperbolischen Bereiche gleicher Zyklenlänge liegen dann nicht als Knospen vor, sondern als Hauptkörper von Satelliten. Man kann die hyperbolischen Mengen am Rand eines Hauptkörpers also mit einem Indexpaar $(s,r)$ indizieren:   10. Schluß Damit soll es genug sein. Längst noch nicht alles ist bekannt und erforscht an der wohl bekanntesten Menge der Mathematik. So weiß man zwar, daß $\backslash mathcal\{M\}$ zusammenhängend, aber nicht, ob es wegzusammenhängend ist. Es ist bekannt, daß auch die Komplementärmenge $\backslash mathbb\{C\}\backslash backslash\backslash mathcal\{M\}$ zusammenhängend ist; die Insel $\backslash mathcal\{M\}$ umschließt also keine Löcher oder Binnenseen. Der Flächeninhalt von $\backslash mathcal\{M\}$ ist nicht bekannt; eine abenteuerliche Schätzung lautet $A(\backslash mathcal\{M\})\; =\; \backslash sqrt\{6\backslash pi-1\}-\backslash mathrm\{e\}$. Quellen: [1] Lexikon der Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999 [2] Wikipedia, Artikel "Mandelbrot-Menge" [3] Kenneth Falconer, Fraktale Geometrie. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1993 Freie Software, ohne die dieser Artikel nicht entstanden wäre: wxMaxima Fraqtive Gnuplot VirtualBox LibreOffice Linux Mint Subjektiver Schlußsatz: "Algebra ist Disziplin; Analysis eine Neigung."   Dieser Artikel kommt von Matroids Matheplanet https://matheplanet.de Die Url für diesen Artikel ist: https://matheplanet.de/default3.html?article=1703