Rückblick auf das Experiment
Von: cow_gone_mad
Datum: Fr. 04. Februar 2005 20:04:24
Thema: Physik

In Fortsetzung zu Weiterführende Rechnungen Rückblick auf das Experiment Ich werde in diesem Artikel meine logische Schuld abtragen und zeigen, wie sich mein Experiment vom Anfang mit dem mittlerweile entwickelten theoretischen Modell verträgt. Dazu werde ich als erstes auf das Gefundene zurückblicken, und danach den Diffusionskoeffizienten für unsere Bewegung auf dem Blattpapier berechnen.

Zusammenfassung

Ich möchte jetzt noch einmal die Resultate aus den letzten Artikeln zusammentragen. \ In dem Artikel Einsteins Model habe ich aus Annahmen folgende Differential\- gleichung für die Wahrscheinlichkeit n ein Teilchen zum Zeitpunkt t an der Stelle x anzutreffen abgeleitet: \ll(1)(\pd n)/(\pd t) = D * (\pd^2 n)/(\pd x^2) Hierbei ist n eine Funktion von x und t. D steht hier für den Diffusions\- koeffizienten, der Durch die Formel: \ll(2) D = 1/\tau int(\Delta^2/2 \phi(\Delta),\Delta,-\inf,\inf) gegeben war, wobei \tau eine Zeiteinheit, \Delta eine infinestesimale Schrittweite, und \phi(\Delta) die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Schritt darstellte
 
\ In dem nächsten Artikel habe ich dann, die Lösung der Gleichung (1) mit: \ll(3) n(x,t)=1/( sqrt(4 \pi D t)) exp(-x^2/(4 D t)) postuliert, und argumentiert, dass diese wirklich die Gleichung löst. Aus dieser Gleichung habe ich dann die Formel zur Berechnung des mittleren Verschiebungsquadrat abgeleitet. Diese ist durch: \ll(4) x_(rms) = sqrt(2 D t) gegeben. Diese Formel ist eigentlich, die für uns wirklich interessante, da sie beschreibt was wir beim ersten Experiment gemessen haben. Diesem Vergleich werde ich mich jetzt nun noch im letzten Absatz widmen.
 

Diffusionskoeffizient auf dem Blattpapier

\ Ich habe den Diffusionkoeffizenten D mit folgender Formel charakterisiert: D = 1/\tau int(\Delta^2/2 \phi(\Delta),\Delta,-\inf,\inf) Hierbei war \tau eine Zeiteinheit, \Delta die Schrittweite, und \phi(\Delta) ihre Wahrscheinlichkeit. Als erstes müssen wir uns überlegen, was das Integral hier bedeutet. Wir haben nämlich wieder einen diskreten Vorgang vorliegen, deswegen wird aus dem Integral eine Summe. Unsere Zeitschritte waren die Male wo gefürfelt wurde. Diese haben immer 1 gezählt, also gilt \tau = 1. Die Schrittweite war immer ein Strich weiter, also ist die Länge \Delta = 1, und die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Schritt war \phi(\Delta) = 1\/4. Dies führt dann mit einsetzen zu der Formel: D = 1/1 sum(1^2/2 * 1/4,i=1,4) = 1/2 Jetzt vergleichen wir, dass mit den Formeln für den Abstand hatten wir: x_rms = sqrt(2 * D * t) Also wäre hier der Zusammenhang x = sqrt(t), was genau das ist, was meine Computersimulation ergab. Womit bestätigt ist, das Modell beschreibt das Experiment. Ich habe hier geschummelt, weil ich nur den 1 dimensionalen Fall betrachtet habe. Das es auch für den 2 dimensionalen Fall klappt, müsst ihr mir glauben, oder selber herleiten, ist eine schöne Übung.
 

Schlusswort

So dass war jetzt für das erste meine Artikelserie zum Randomwalk. Ich hoffe es hat euch Spass gemacht sie zu lesen. Ich danke hier ausserdem noch einmal Matroid, der mir das Experiment am Anfang unter eurer Beteiligung erlaubt hat zu realisieren. Natürlich danke ich auch allen, die mitgemacht haben. Ich möchte noch anmerken, dass Einsteins Arbeit wesentlich umfassender war, als das was ich hier vorgestellt habe. Denn er gab auch ein Verfahren an, wie man aus der Geschwindigkeit der Teilchen auf ihre Grösse zurückschliessen kann. Mit Hilfe dieses Verfahrens konnte dann sogar auch die Grösse von den Atomen bestimmt werden. Dies war einer der ersten Nachweise für deren Existenz.
 

Inhalt der Artikelserie zum Randomwalk

  • Der betrunkene Wanderer
  • Auswertung des Randomwalks
  • Einsteins Modell
  • Weiterführende Rechnungen
  • Rückblick auf das Experiment
     


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