Kurvenintegrale
Von: pendragon302
Datum: Fr. 20. Januar 2006 10:44:01
Thema: Analysis
| Kurvenintegrale
Mit diesem Artikel möchte ich euch Kurvenintegrale vorstellen.
Dabei gehe ich auf Kurvenintegrale bezüglich der Bogenlänge und
Kurvenintegrale über Vektorfeldern ein.
Im nächsten Artikel werde ich auf Oberflächenintegrale eingehen
und im dritten Artikel über die Integralsätze von Green, Gauss
und Stokes schreiben, aber bis dahin ist es noch ein langer Weg
und genießt erstmal bis dahin diesen Artikel.
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Inhaltsverzeichnis
1.Einführung
1.1. Begriffe, Definitionen
1.2. Kurvenlänge
2. Kurvenintegral bzgl der Bogenlänge
3. Kurvenintegral über ein Vektorfeld
3.1. Näherung durch den Begriff der Arbeit
3.2. Eigenschaften der Kurvenintegrale
3.3. Kurvenintegrale über Gradientenfelder
\light\blue Einführung:
Auch in diesem Artikel werde ich einiges Grundwissen zur Analysis II voraussetzen müssen, wie z.B. den Umgang mit Gradienten. Im Laufe der Zeit werde ich hier noch ein paar Beispiele zu den schon vorhandenen hinzufügen.
\big Begriffe, Definitionen
Wir beschränken uns in diesem Artikel auf die Räume \IR^2 und \IR^3 mit der euklidischen Metrik, man kann auch Kurven in beliebigen metrischen Räumen definieren. Für uns ist eine Kurve eine stetige Abbildung p: intervall(a,b)->\IR^n, wobei n entweder Zwei oder Drei ist und intervall(a,b) ein reelles Intervall darstellt. Man nennt p auch (Parameterdarstellung der) Kurve. Dabei heißt p(a) (Anfangspunkt) und p(b) (Endpunkt) und die Kurve heißt (geschlossen), falls p(a)=p(b) ist und p heißt (doppelpunktfrei), wenn aus p(c)=p(d) folgt, dass c=d ist, mit anderen Worten, wenn sich die Kurve nicht selbst schneidet. Eine geschlossene und doppelpunktfreie Kurve heißt (Jordankurve).
Wenn C unsere Kurve ist, dann ist -C die umgekehrt durchlaufene Kurve mit der Parameterdarstellung p^- : intervall(a,b)->\IR^n, p^-(t):=p(b+a-t). Wenn der Endpunkt einer Kurve C_1 Anfangspunkt einer Kurve C_2 ist, mit den Darstellungen p_1: intervall(a,b)->\IR^n und p_2: intervall(b,c)->\IR^n mit p_1(b)=p_2(b), dann lässt sich die (zusammengesetzte) Kurve C_1+C_2 durch die Parameterdarstellung p:[a,c]->\IR^n, p(t)=fdef(p_1(t),t\el\intervall(a,b);p_2(t),t\el\intervall(b,c)) definieren. Eine Kurve heißt glatt, wenn sie stetig differenzierbar ist und p'(t)!= 0\forall t\el\intervall(a,b) ist. Das sollte erstmal an Begriffen und Definitionen genügen, schauen wir uns jetzt an, wie man ebene Kurven, also Kurven im \IR^2, beschreiben kann. Wie wir eben bei der Definition gesehen haben, können wir Kurven mit einer Parameterdarstellung (x;y)=(x(t);y(t))=p(t) darstellen, dies wird auch die Darstellung sein, die wir im folgenden Artikel am meisten benutzen werden.
Man kann Kurven auch explizit mit y=f(x) sehen, wobei f: intervall(a,b)->\IR stetig ist. Man kann daraus auch eine Parameterdarstellung p: intervall(a,b)->\IR^2 machen, indem wir p(t)=(t;f(t)) setzen. Auch die Polarkoordinatendarstellung ist eine Parameterdarstellung, denn mit r=g(\phi) und wenn g: intervall(a,b)->\IR stetig ist, ist p(\phi)=(g(\phi)cos(\phi);g(\phi)sin(\phi)). Im nächsten Abschnitt werden wir uns mit der Kurvenlänge befassen.
\big Kurvenlänge
Um die Kurvenlänge einer Funktion f(x) im \IR^(2) zu berechnen, hatten wir uns der Formel int(sqrt(1+f'(x)^2),x,a,b) bedient. Um diese Formel anwenden zu können, musste y=f(x) explizit gegeben sein. Hatte man hingegen nur die Parameterdarstellung der Kurve (x(t);y(t)) mit a<= t<= b,so konnte man die Kurvenlänge mit der Formel int(sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2),t,a,b) berechnen. Natürlich mussten die Funktion und die Parameterdarstellung differenzierbar sein. Haben wir nun eine Kurve C im \IR^3 gegeben, so gilt allgemein für die Bogenlänge dieser Kurve l=int(,l,C). Hat C die Parameterdarstellung (x(t);y(t);z(t)) mit a<= t<= b ,dann lässt sich die Bogenlänge dieser Kurve auch mit l=int(sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2),t,a,b) berechnen. Die folgende Abbildung zeigt solch eine Kurve C
Schauen wir uns dazu einen kleinen Teilbogen an :
Die Länge \Delta l_i kann durch die Länge der Sekante \Delta s_i angenähert werden, welche die Länge \sqrt((\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2) hat. Damit gilt für die Gesamtlänge der Kurve C
l=\Delta l_1+...+\Delta l_(n-1)\approx\Delta s_1+...+\Delta s_(n-1)
=\sqrt((\Delta x_1)^2+(\Delta y_1)^2+(\Delta z_1)^2)+...+\sqrt((\Delta x_(n-1))^2+(\Delta y_(n-1))^2+(\Delta z_(n-1))^2)
Nach dem Grenzübergang n->\inf nähert sich \Delta s_i der Teilbogenlänge \Delta l_i an und es gilt dl=ds, wobei ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)* dt damit ist dann
l=int(,l,C)=int(sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt.
Damit haben wir unsere Grundlage geschaffen das Kurvenintegral bezüglich der Bogenlänge einzuführen. An dieser Stelle werde ich keine Beispiele zeigen, sondern im nächsten Kapitel.
\light\blue Kurvenintegral bzgl der Bogenlänge
Wird jedem Punkt unserer Kurve C ein Wert zugeordnet, sei es die Dichte, Ladung, Energie oder sonst dergleichen, dann spricht man davon, dass die Kurve belegt ist. Solch eine Belegung kann durch ein Skalarfeld f(x,y) beschrieben werden. Natürlich muss f stetig sein. Jedem Punkt aus der Ebene \IR^2 wird ein Wert zugeordnet, also auch unserer Kurve. Befinden wir uns im dreidimensionalem Raum, so kann das Skalarfeld durch f(x,y,z) beschrieben werden. Ist die Belegung f konstant, also f== f_0, so ist die Gesamtbelegung f_0* l, wobei l die Länge der Kurve ist. Sei zum Beispiel die Dichte d_0 konstant auf der Kurve C der Länge l, so ist die Gesamtmasse d_0*l. Zerlegen wir unser Parameterintervall intervall(a,b) wie oben in der Abbildung, so können wir jedem Teilbogen die mittlere Belegung aus der Maximalbelegung und Minimalbelegung aus diesem Teilintervall zuordnen. Sei B_i die mittlere Belegung auf dem Teilbogen p_i : intervall(t_i,t_(i+1)) -> \IR^n mit der Länge l_i, so gilt für die Gesamtbelegung B\approx B_1* l_1+...+B_n* l_n. Dabei ist B_i=f(x(t_k),y(t_k),z(t_k)) für ein t_k \el intervall(t_i,t_(i+1)).
Beim Grenzübergang n->\inf ermitteln wir unsere Gesamtbelegung durch Integration, dabei ist B=int(f(x,y,z),l,C). Wie wir im Abschnitt über die Kurvenlänge gesehen haben, gilt dl=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt, dabei sind x,y,z Funktionen von t. Also gilt
B=int(f(x(t),y(t),z(t))*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2),t,a,b)
Dieses Integral wird häufig auch als (Kurvenintegral erster Art) bezeichnet.
array(Beispiel:)__ Dem Ellipsenbogen g: x^2/4+y^2/9=1, x,y>=0 wird die variable Dichte d(x,y)=xy zugeordnet. Man bestimme die Gesamtmasse des Ellipsenbogens. Zur Lösung müssen wir zuerst den Ellipsenbogen mit einer Parameterdarstellung versehen. Diese sieht wie folgt aus p(\phi)=(x(\phi);y(\phi))=(2cos(\phi);3sin(\phi)),\phi\el\ intervall(0, \pi/2). Damit gilt für die Gesamtmasse M=int(x(\phi)* y(\phi)*sqrt((dx/d\phi)^2+(dy/d\phi)^2),\phi,0,\pi/2)
mit dx/d\phi=-2sin(\phi), dy/d\phi=3cos(\phi) erhalten wir M=int(2* cos(\phi)* 3* sin(\phi)*sqrt((-2* sin(\phi))^2+(3* cos(\phi))^2),\phi,0,\pi/2)=38/5
\light\blue\ Kurvenintegral über ein Vektorfeld
\big\ Näherung des Kurvenintegrals durch den Begriff der Arbeit
Durchläuft unsere Kurve kein Skalarfeld, sondern ein Vektorfeld, wie zum Beispiel ein Kraftfeld oder Magnetfeld, so können wir nicht mehr mit unserem obigen Kurvenintegral bzgl der Bogenlänge rechnen, sondern müssen ein neues einführen. Dazu müssen wir uns erst einmal einige Sachen klar machen, die ich jetzt vorstellen möchte. Wir nähern uns dem Kurvenintegral durch den Begriff der Arbeit. Wird ein Punkt P mit der Kraft K in Richtung vec(r), norm(vec(r))=1 um die Länge l verschoben, dann gilt für die Arbeit (Kraft mal Weg) A=(vec(K)*vec(r))* l=vec(K)*(vec(r)* l)=vec(K)*vec(x)
Dies ist unsere Grundlage, um unser Kurvenintegral einzuführen. Wir setzen ein stetiges Vektorfeld und eine glatte Kurve voraus. Unsere Kurve befindet sich nun in einem Vektorfeld. Stellt euch einen Punkt im Raum vor, dieser wird entlang unserer Kurve mit der immer wechselnden Kraft K(x,y,z) verschoben. Die Frage ist nun, wie groß ist die Arbeit, die verrichtet werden muss. Die folgende Abbildung zeigt uns ein Vektorfeld (grüne Pfeile) und eine Kurve.
Betrachten wir nun ein kleines Bogenelement dl; wir werden dort die Arbeit dA berechnen. Wir können den Bogen dl durch die Tangente T(x,y,z) mit norm(T)=1 approximieren, dann ist die Arbeit die in diesem Bogenelement wirkt dA=(K* T)dl=K*(T* dl)=K* d vec(x).
Die gesamte Arbeit A erhalten wir dann, wenn wir integrieren,
A=int(K,vec(x),C,)=int(K* T,l,C)
Dabei ist natürlich zu beachten, dass K jedem Punkt auf der Kurve einen Vektor zuordnet, sodass K wie folgt aussehen könnte: K(x,y,z)=(u(x,y,z);v(x,y,z);w(x,y,z))
Ist unsere Kurve C durch p(t)=(x(t);y(t);z(t)) beschrieben, so gilt für den allgemeinen Tangentialvektor im Punkt p(t)=(x;y;z) T_(allg)(x,y,z)=p'(t)=(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt), normieren wir noch T_(allg), so erhalten wir
T(x,y,z)=1/norm(T_(allg))* T_(allg)=1/sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt)
Beachten wir noch, dass für die Länge des Bogenelements dl=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt gilt, lässt sich dA=K* Tdl schreiben mit dA=K* T*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)*dt=K(x(t),y(t),z(t))*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt)dt
also ist A=int(K(x(t),y(t),z(t))*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt),t,a,b) oder auch kürzer A=int(K(p(t))* p'(t),t,a,b). Dieses Integral wird auch als (Kurvenintegral zweiter Art) bezeichnet. Wir haben uns dem Kurvenintegral über dem Begriff der Arbeit genähert, indem wir eine Kurve über ein Kraftfeld integriert haben, doch unsere Definition lässt sich auch auf ein beliebiges auf der Kurve C stetiges Vektorfeld definieren. Ist vec(h) ein auf der Kurve C: p(t)=(x(t);y(t);z(t)), t\el\intervall(a,b) stetiges Vektorfeld, so ist das Kurvenintegral über vec(h) entlang der Kurve C
int(vec(h)(p),vec(x),C)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b)
Führen wir eine Parametertransformation durch, die die Durchlaufrichtung nicht ändert, so ist das Kurvenintegral gleich. Sei r eine Abbildung von intervall(c,d) auf intervall(a,b) stetig. Da r die Durchlaufrichtung nicht ändern darf, muss r' auf intervall(c,d) größer Null sein. Sei dazu P(u)=p(r(u)), u\el\intervall(c,d) dann müssen wir zeigen, dass
int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b) ist. Aus der Gleichung P(u)=p(r(u)) folgt, dass P'(u)=p'(r(u))* r'(u) ist. Also ist int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(r(u)))* p'(r(u))* r'(u),u,c,d), nun substituieren wir t=r(u)=> dt=r'(u)* du und beachten, dass r(c)=a und r(d)=b ist, folgt
int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b)
array(Beispiel:)__ Sei das Vektorfeld vec(h) gegeben durch h(x,y,z)=(xy;yz;xz) und eine Kurve durch p(t)=(t;t^2;t^3), t\el\[-1,1] dann ist vec(h)(p(t))* p'(t)=vec(h)(t,t^2,t^3)*(1;2t;3t^2)
=(t* t^2;t^2* t^3;t* t^3)*(1;2t;3t^2)=t* t^2* 1+t^2* t^3* 2t+t* t^3* 3t^2=t^3+5t^6 und damit ist
int(t^3+5t^6,t,-1,1)=10/7
\big Eigenschaften der Kurvenintegrale
Additivität: Besteht die Kurve C aus mehreren stückweise glatten Kurven C_1, C_2, ..., C_n, so ist
int(,,C) =int(,,C_1)+int(,,C_2)+...+int(,,C_n)
Linearität: Sind vec(h) und vec(g) zwei Vektorfelder auf der Kurve C und a ein Skalar, so gilt:
int(a*(vec(h)+vec(g)),vec(x),C,)=a*(int(vec(h),vec(x),C,)+int(vec(g),vec(x),C,))
Umgekehrter Durchlaufsinn: Seien C und -C dieselben Kurven nur mit entgegengesetztem Durchlaufsinn so gilt:
int(vec(h),vec(x),C,)=-int(vec(h),vec(x),-C,)
Das macht man sich schnell klar, wenn man sich die Tangente anschaut. Sei p(t) die Parametrisierung von C dann ist r(t)=p(a+b-t) und deren Tangentenvektor r'(t)=-p'(a+b-t)
\big Kurvenintegrale über Gradientenfelder
Ist unser Vektorfeld vec(h) der Gradient einer stetig differenzierbaren sklalaren Funktion f(x,y,z), also vec(h)=\Nabla f ist, so hängt der Wert des Kurvenintegrals nicht vom Weg ab, sondern nur von den Endpunkten des Weges. Sei p(t) unsere Kurve und dann gilt:
int( \Nabla f,vec(x),C)=f(p(b))-f(p(a))
Zum Beweis benötigen wir lediglich die Kettenregel df(p(t))/dt=\Nabla f(p(t))* p'(t). Also ist
int(\Nabla f,vec(x),C)=int(\Nabla f(p(t))* p'(t),t,a,b)
=int(df(p(t))/dt,t,a,b)=int(,f(p(t)),a,b)=f(p(b))-f(p(a))
Damit lässt sich leicht einsehen, dass entlang geschlossener Kurven in einem Gradientenfeld der Wert des Kurvenintegrals stets Null ist. Für geschlossene Kurven gilt p(a)=p(b).
Das Bild zeigt ein Gradientenfeld und drei Kurven. Wäre die Aufgabe entlang C_1 zu integrieren, könnten wir C_1 auch durch C_2 oder C_3 ersetzen, je nachdem für welchen Weg es sich leichter integrieren lässt.
array(Beispiel:)__ Wir wollen das Vektorfeld vec(h)=(P(x,y);Q(x,y))=(y^2;2xy-e^y) entlang des Kreisbogens p(t)=(cos(t);sin(t)), t\el\intervall(0,\pi/2) integrieren. Zuerst überprüfen wir, ob es sich wirklich um ein Gradientenfeld handelt. Dazu müssen wir (\partial P(x,y))/(\partial y)=(\partial Q(x,y))/(\partial x) nachweisen. Dies wird erfüllt, da beides gleich 2y ist. Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten: Wir integrieren das Vektorfeld irgendeines Weges der diese beiden Endpunkte hat, also nicht unbedingt entlang des Kreisbogens, oder wir bestimmen die Funktion f, die als Gradient dieses Vektorfeld hat. Wir nehmen den zweiten Weg. Es gelte also (\partial f)/(\partial x)=y^2, (\partial f)/(\partial y)=2xy-e^y. Integrieren wir die erste Gleichung nach x, so erhalten wir f(x,y)=xy^2+g(y) Dies leiten wir wieder nach y ab und setzen es gleich der zweiten Gleichung: (\partial f)/(\partial y)=2xy+g'(y)=2xy-e^y => g'(y)=-e^y => g(y)=-e^y+c
Also ist f(x,y)=xy^2-e^y+c. Damit erhalten wir als Wert des Integrals f(p(\pi/2))-f(p(0))=f(0,1)-f(1,0)=-e+c-(-1+c)=1-e.
Thematisch hätte der Integralsatz von Green hier hinein gepasst, denn er verbindet die Kurvenintegrale mit Mehrfachintegralen. Aber wie ich in der Einleitung schon erwähnt habe, möchte ich die drei wichtigen Integralsätze in einem Artikel zusammengefasst darstellen. Meine gesammelten Artikel sind hier zu finden. Ich hoffe euch hat dieser Artikel gefallen.
Mit freundlichem Gruß
Artur Koehler
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