Forum:  Integration im IR^n
Thema: Minimalen Volumenanteil abhängig vom Radius bestimmen
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loop_
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Themenstart: 2018-07-17 17:31

Hey MMPler, ich frage mich ob man Folgendes auch exakt/analytisch bestimmen kann.





Definiert sei der Volumenanteil \(\eta = \frac{|\Omega_i \cap \Omega |}{ |\Omega_i |} = \frac{ |\Omega^{tr}_i |}{h^d}\) wobei \(d\in\mathbb{N}\) durch \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) definiert ist.

Ich würde nun gerne den kleinsten Volumenanteil bestimmen, der ja abhängig ist vom Radius \(R\) des Loches. Bisher gefunden habe ich die Relation \(R = \sqrt{\frac{1}{8} - \sqrt{\frac{\eta_R}{2}}\cdot h}\). Damit habe ich glaube ich nur eine obere Schranke für den kleinsten Volumenanteil. Frage ist, ob man den Kleinsten auch analytisch bestimmen kann.


lg, loop_


Buri
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-17 18:02

Hi loop_,
es ist unklar, was hier variiert werden soll und wie die Zielfunktion (Fläche) lautet.
Gruß Buri


loop_
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-17 18:56

HEy Buri,

ich habe leider auch nicht so viel mehr Informationen diesbezüglich. Es geht soweit ich weiß darum, dass bei Rotation der Fläche bei fixem Radius die \(\Omega^{tr}_i\) an Fläche dazubekommen bzw. verlieren. Die Frage ist, ob man eine analytische Formel angeben kann, die abhängig von Radius und Rotation ist, um den minimalen Volumenanteil zu bestimmen.


loop_
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-18 11:00

Okay ich glaube ich bin schon einen Schritt weiter. Die Fläche der \(\Omega_i^{tr}\) die durch den inneren Kreis geschnitten sind, verändern sich nicht durch Rotation. Damit geben diese schon einmal eine obere Schranke für den minimalen Volumenanteil an.

Es geht also im Endeffekt nur noch darum, wie die Fläche sich bei Rotation durch eine Gerade bzw. zwei Geraden ändert. Richtig soweit?


Buri
Senior
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Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-18 18:01

2018-07-18 11:00 - loop_ in Beitrag No. 3 schreibt:
... Richtig soweit?
Hi loop_,
nein. Eine Rotation um eine Gerade ist etwas Dreidimensionales, dein Problem ist aber zweidimensional. Es kann sich höchstens um Rotationen um einen Punkt handeln.
Gruß Buri


loop_
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-19 08:05

Hey Buri,

dass die Rotation um einen Punkt ist, ist mir soweit klar. Jedoch meine ich mit Gerade hier die Kanten des Gebietes, die durch die Rotation mitbewegt werden und dem entsprechend die Fläche der Zelle\(\Omega_i\) schneiden.


So habe ich bei der Anfangsposition Zellen am äußeren Rand, die lediglich den selben Rand haben wie das Gebiet (siehe links im Bild). Nach Rotation um den Punkt (Mittelpunkt des Loches) jedoch Zellen die durch den Rand des Gebietes geschnitten werden, wodurch kleinere Volumenanteile entstehen können (siehe rechts im Bild).







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Druckdatum: 2019-06-26 04:07