Forum:  Topologie
Thema: Sind Teilmengen kompakt bezüglich gegebener Metrik
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Euler_eleluler
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Themenstart: 2019-07-17 20:13

Hallöchen zusammen,

vorab, ich bin ein ziemlicher Anfänger im ganzen Gebiet metrische Räume. Nun zur Aufgabe:

Wir betrachten die Menge $\mathbb{R}$. Darauf sind einmal $d_1$ die Standardmetrik und $d_2$ die diskrete Metrik.

Welcher der folgenden Mengen sind auf $d_1$ bzw. $d_2$ kompakt?:

$M_1=\{0,1\} \hspace{1cm} M_2=[0,1] \hspace{1cm} M_3=\mathbb{N}$


Meine Ideen zu $d_1$. Ich weiß, dass kompakte Teilmengen abgeschlossen und beschränkt sein müssen. Nun, $M_3$ ist schon mal nicht beschränkt, das fällt also raus. $M_2$ und $M_1$ sind ja nun offensichtlich beide beschränkt und abgeschlossen... Sehe ich das richtig?

Für $d_2$: Dann gibt es noch die Definition, dass eine "Teilmenge A kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von einer Teilmenge A eine endliche Teilüberdeckung enthält." Wenn ich damit arbeite, seh ich doch, dass $M_2$ dies nicht erfüllt, weil die Menge unendlich Punkte enthält oder? Dabei ist sie doch abgeschlossen und beschränkt (offensichtlich).

Bringe ich da mit den Definitionen was durcheinander? Es müssten doch beide immer gelten.

Hoffe wir bekommen zusammen etwas Licht in den Tunnel. LG


darkhelmet
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-17 20:35

Hi,

das mit den Überdeckungen ist die Definition. Dann gibt es einen Satz (!), dass Teilräume von $\mathbb{R}$ (oder auch $\mathbb{R}^n$) mit der Standardmetrik genau dann kompakt sind, wenn sie beschränkt und abgeschlossen in $\mathbb{R}$ (bzw. $\mathbb{R}^n$) sind. Für Teilräume von $\mathbb{R}$ mit $d_2$ gilt dieser Satz nicht. Diskrete Räume sind genau dann kompakt, wenn sie endlich sind, wie du glaube ich schon selbst erkannt hast.


Euler_eleluler
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Dabei seit: 02.02.2019
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17 21:16

Sehr schön, damit wäre einiges geklärt. Danke dafür!




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Druckdatum: 2019-09-22 20:38