Forum:  Teilbarkeit
Thema: Anzahl aller Teiler einer großen Potenz bestimmen
Themen-Übersicht
nusskuchen44
Neu
Dabei seit: 01.11.2019
Mitteilungen: 4
Aus:
Themenstart: 2019-11-01 16:05

Hi, es geht um folgende Problemstellung:


"Seien \(p_1,\ldots,p_n\) paarweise verschiedene Primzahlen und \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{N}\). Wie viele Teiler hat die Zahl \(x := p_1^{\lambda_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{\lambda_n}\)?"


Ich hab mir da schon ein paar Gedanken zu gemacht, und eigentlich erscheint die Lösung recht trivial, trotzdem bin ich verunsichert. Ich weiss, da die Zahlen prim und paarweise verschieden sind, dass alle Zahlen der Form:
\[ p_1^{0\leq\eta_1\leq \lambda_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{0\leq\eta_n \leq \lambda_n} \]
eben die Teiler der Zahl \(x\) sind. Stimmt das so?

Und wenn das stimmt, dann sollte deren Anzahl doch kombinatorisch berechnen lassen, und eben \(\prod_{i=1}^{n}\lambda_i\) sein, da ich für jeden der Exponenten \(\eta_i\) eben genau \(\lambda_i\) viele Möglichkeiten habe, richtig?

Was mich noch wundert, was jetzt **nicht** Teil der Aufgabe ist, aber was ist wenn die \(\lambda_i\) 0 sein können? Dann macht mir das ja das ganze Produkt kaputt. Muss man diese dann ausschliessen?

Danke für die Hilfe!  :-)

P.S: Tut mir Leid wenn ich Grammatikfehler eingebaut habe. Kann (noch) nicht so gut Deutsch.


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1628
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-01 16:18
\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Hallo nusskuchen44,

2019-11-01 16:05 - nusskuchen44 im Themenstart schreibt:
Ich hab mir da schon ein paar Gedanken zu gemacht, und eigentlich erscheint die Lösung recht trivial, trotzdem bin ich verunsichert. Ich weiss, da die Zahlen prim und paarweise verschieden sind, dass alle Zahlen der Form:
\[ p_1^{0\leq\eta_1\leq \lambda_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{0\leq\eta_n \leq \lambda_n} \]
eben die Teiler der Zahl \(x\) sind. Stimmt das so?
Das ist richtig.


Und wenn das stimmt, dann sollte deren Anzahl doch kombinatorisch berechnen lassen, und eben \(\prod_{i=1}^{n}\lambda_i\) sein, da ich für jeden der Exponenten \(\eta_i\) eben genau \(\lambda_i\) viele Möglichkeiten habe, richtig?
Das ist falsch.


Was mich noch wundert, was jetzt **nicht** Teil der Aufgabe ist, aber was ist wenn die \(\lambda_i\) 0 sein können? Dann macht mir das ja das ganze Produkt kaputt. Muss man diese dann ausschliessen?
Die 0en stören nicht. Was meinst du mit "Produkt kaputtmachen"?
\(\endgroup\)

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5410
Aus: Milchstraße
Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-01 16:26

Hallo nusskuchen44,

2019-11-01 16:05 - nusskuchen44 im Themenstart schreibt:
\[ p_1^{0\leq\eta_1\leq \lambda_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{0\leq\eta_n \leq \lambda_n} \]

So würde ich das nicht schreiben. Besser
\[p_1^{\eta_1}\cdot...\cdot p_n^{\eta_n}\text{ mit }0\leq\eta_i\leq\lambda_i\]


nusskuchen44
Neu
Dabei seit: 01.11.2019
Mitteilungen: 4
Aus:
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01 16:27

Hallo tactac und Danke für dein Antwort,

Ich denke ich habe jetzt verstanden wo das Problem liegt. Ich habe die 0 vergessen. Es sollte
\[\prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)\] sein, korrekt?

Liebe Grüsse

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


nusskuchen44
Neu
Dabei seit: 01.11.2019
Mitteilungen: 4
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01 16:29

Hallo StrgAltEntf,

danke für deinen Beitrag. Ich verstehe dass das nicht sehr formal korrekt ist. Ich studiere Elektrotechnik, und wir nutzen überall solch unsauberen Notationen; genau solche Exponenten kommen in meinem Skript und den Übungen ständig vor, deswegen will ich mich da anpassen :)

Aber vielen Dank für den Hinweis.


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1628
Aus:
Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-01 16:42
\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-11-01 16:27 - nusskuchen44 in Beitrag No. 3 schreibt:
[...]
Es sollte
\[\prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)\] sein, korrekt?
Ja.
\(\endgroup\)

nusskuchen44
Neu
Dabei seit: 01.11.2019
Mitteilungen: 4
Aus:
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01 16:55

Vielen Dank, tactac!





Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=244137=9000
Druckdatum: 2020-01-22 05:44