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Thema: Wie zeige oder widerlege ich diese Konvergenzaussage?
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LineareAlgebruh
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Aus: Bonn
Themenstart: 2019-11-01 18:19
\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
"Sei \(a_n\) eine Folge reeller Zahlen.
Wenn \(a_n \rightarrow a^{*}\), dann \(\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}a_i\rightarrow a^{*}\)"

Okay. Ich habe mal ein paar Folgen getestet und es \({scheint}\) zu stimmen, leider weiss ich garnicht wie das zeigen kann. Das sah erst so aus, als könne man das mit einem Standard Epsilon Beweis zeigen, aber diese Summe bereitet mir Kopfschmerzen.

Ich habe ein wenig umgeformt, aber ich weiss nicht ob mir das irgendwas bringen soll.

\(|(\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}a_i) -a^*|\leq\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}|a_i - a^*|\)

 Hätte jemand vielleicht einen heißen Tipp für mich? Danke im voraus!
\(\endgroup\)

PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2469
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-01 18:33

Hallo,

einen Beweis der Aussage findest du hier:

article.php?sid=1805

Ich empfehle dir den Artikel sorgfältig zu studieren.
Jedenfalls die Beweise die du mit deinem jetzigen Stand verstehen kannst.



Conny42
Senior
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 134
Aus:
Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-01 18:39

Huhu LineareAlgebruh,

die Aussage stimmt und du kannst sie auch mit einem "Epsilon-Beweis" zeigen: Sei $\varepsilon > 0$. Dann gibt es wegen $a_n \rightarrow a^*$ ein $N \in \mathbb{N}$, so dass für alle $n\geq N$:

$|a_n-a^*| < \varepsilon$.

Jetzt kannst du die Summe für $n\geq N$ aufteilen:

$\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n a_i\right)-a^* = \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^N a_i-a^* + \frac{1}{n+1} \sum_{i=N+1}^n a_i-a^*$.

Damit bekommst du

$|\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n a_i\right)-a^*| \leq \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^N |a_i-a^*| + \frac{1}{n+1}\sum_{i=N+1}^n |a_i-a^*|$.

Versuche jetzt, beide Summen auf der rechten Seite abzuschätzen.

Liebe Grüße,
Conny





[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]




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Druckdatum: 2020-08-10 07:02