Forum:  Relationen und Abbildungen
Thema: Aussagen über Äquivalenzrelationen beweisen
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ds1337
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Themenstart: 2019-11-10 20:14

Hallo liebe Community,

ich stehe derzeit vor einem Problem in Bezug auf Äquivalenzrelationen. Es soll folgendes bewiesen werden:

Seien $$R1, R2 \subseteq M \times M$$ zwei Äquivalenzrelationen über der Menge M. Entscheiden Sie ob die folgenden Relationen ebenfalls reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind und ob es sich um Äquivalenzrelationen handelt. Geben Sie zu jeder Aussage einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.

a) $$R1 \cap R2$$
b) $$R1 \cup R2$$
Ich hab leider keinen Ansatz wie das zu überprüfen ist. Ich weiß im Allgemeinen was Äquivalenzrelationen sind und was die einzelnen Eigenschaften wie reflexiv etc. bedeuten aber der Zusammenhang mit der Schnittmenge und Vereinigung verwirrt mich sehr.


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-10 20:42

Hallo,


Ich weiß im Allgemeinen was Äquivalenzrelationen sind

Bist du dir sicher, dass dir klar ist, was eine Äquivelanzrelation, bzw. eine Relation im allgemein ist?

Denn Möglicherweise verwechselst du Relation mit Relationszeichen.
Weshalb dich


der Zusammenhang mit der Schnittmenge und Vereinigung verwirrt

Eine Relation ist erstmal nur eine Menge von Paaren. (Es gibt auch n-stellige Relationen)

Eine Äquivalenzrelation $R$ auf einer Menge $M$ ist also erstmal nur eine Menge von Paaren.

Daher $R\subseteq M\times M$.

Außerdem gelten noch ein paar Eigenschaften.

Kleines Beispiel:

Wir haben $M=\{1,2,3\}$. Nun könnte eine Relation gegeben sein durch

$R=\{(1,1), (1,2),(2,2), (3,3)\}\subseteq M\times M$

Wäre diese Relation eine Äquivalenzrelation?

Im obigen Beispiel steht das Element 1 in Relation zum Element 1 und 2.
Das Element 2 steht in Relation zum Element 2 und das Element 3 steht in Relation zum Element 3.

Normalerweise schreibt man eine Relation aber nicht so wie oben auf, sondern gibt eine definierende Eigenschaft wann zwei Elemente in Relation stehen.

Also etwa das Element $a$ steht in Relation zum Element $b$, wenn $a<b$.

Kurzum:

Relationen sind eigentlich nur Mengen.
Deshalb kann man mit Relationen Mengenoperationen durchführen.

Nun sollst du entscheiden, ob für zwei Äquivalenzrelationen $R_1, R_2$ auch der Schnitt $R_1\cap R_2$ eine Äquivalenzrelation ist.

Dafür musst du die üblichen Eigenschaften nachprüfen.

Etwa die Reflexivität:

$R_1\cap R_2$ ist reflexiv falls gilt $x\sim x$ für alle $x\in R_1\cap R_2$.

Sei also $x\in R_1\cap R_2$.
Dann gilt ...

Führe dies nun weiter aus. Warum steht $x$ in Relation zu sich selbst?

Gelten auch die anderen definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation?

Wie zeigst du diese?


Als nächstes sollst du entscheiden ob auch $R_1\cup R_2$ eine Äquivalenzrelation ist.
Wie machst du das?








ds1337
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Dabei seit: 10.11.2019
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10 21:18

Erstmal vielen lieben Dank für deine umfassende Erklärung! Hat das Bild aufjedenfall schonmal deutlich klarer für mich gemacht. Um deine Fragen zu beantworten:

- Warum steht x in Relation zu sich selbst? -> Weil wenn x Element der Schnittmenge ist, bedeutet das ja, dass x sowohl in R1 als auch in R2 vorkommt und daher das geordnete Paar (x,x) gebildet wird.

- Gelten auch die anderen definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation? -> Ob die Schnittmenge jetzt auch symmetrisch und transitiv ist, da bin ich mir nicht sicher aber eigentlich enthält doch die Schnittmenge von R1 und R2 folgende Elemente: (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b),(a,c),(c,a) weil ja R1 und R2 reflexiv, symm. und trans. sind und die Schnittmenge von R1 und R2 ja quasi exakt dieselben Elemente beinhaltet.

- Als nächstes sollst du entscheiden ob auch R1 vereinigt mit R2 eine Äquivalenzrelation ist. -> Das dürfte eigentlich keine Äquivalenzrelation sein, weil es allein schon an der reflexivität scheitern, da x ja nur einmal in der Vereinigung vorkommen kann.

Ich hoffe meine Gedankengänge waren korrekt.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-10 21:35


- Warum steht x in Relation zu sich selbst? -> Weil wenn x Element der Schnittmenge ist, bedeutet das ja, dass x sowohl in R1 als auch in R2 vorkommt und daher das geordnete Paar (x,x) gebildet wird.

Deine Begründung ist nicht klar genug.
Wieso folgt aus $x\in R_1$ und $x\in R_2$, dass ein Paar $(x,x)$ gebildet wird?

Hier ist der Zusammenhang nicht klar, und auch nicht korrekt.

Was bedeutet denn $x\in R_1$?

Bedenke auch, dass $x\in R_1\cap R_2$ bzw. $x\in R_1$ bedeutet, dass $x$ ein Element der Relation ist.
Also ist $x$ ja bereits ein Paar.

Ich hätte da selber eine sorgfältigere Notation verwenden sollen. Sorry.

Also für die Reflexivität ist zu zeigen, dass $(x,x)\in R_1\cap R_2$ für alle $x\in M$.


eigentlich enthält doch die Schnittmenge von R1 und R2 folgende Elemente: (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b),(a,c),(c,a)

Was ist $a,b,c$?

Schreibe dir auf was nach Definition zu zeigen ist.
Wenn du dir das klar machst, wird dir der Beweis vermutlich gelingen.

Was ist nach Definition für Symmetrie zu zeigen?
Was ist für Transitivität zu zeigen?


Als nächstes sollst du entscheiden ob auch R1 vereinigt mit R2 eine Äquivalenzrelation ist. -> Das dürfte eigentlich keine Äquivalenzrelation sein, weil es allein schon an der reflexivität scheitern, da x ja nur einmal in der Vereinigung vorkommen kann.

Nein, an der Reflexivität wird es nicht scheitern.

Gib ein konkretes Gegenbeispiel an.
Versuche im Vorfeld zu entscheiden an welcher Eigenschaft es kaputt geht. Das wird dir helfen ein Gegenbeispiel zu finden.







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Druckdatum: 2020-01-22 05:33