Forum:  Geometrie
Thema: Untermannigfaltigkeiten und Immersionen
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maneqed
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Dabei seit: 10.11.2019
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Themenstart: 2019-11-10 21:22

Ich hätte eine Frage bezüglich Untermannigfaltigkeiten.  
Wir haben am Anfang einen Satz beweisen der wie folgt lautet:
Sei T        \(\subset\) R^k offen und f:T \(\to\) R^k eine Immersion.
Dann gibt es zu jedem Punkt t in T eine offene Umgebung V(t), so dass die Beschränkung von f auf V  \(\to\) f(V) injektiv und ein Homöomorphiamus von V auf f(V) darstellt.

Definitiin Mannigfaltigkeit
Eine Teilmenge M\(\subset\)R^n heißt k dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt a in M eine offene Umgebung U\(\subset\) R^n gibt, sowie eine offene Teilmenge T \(\subset\) R^k und eine Immersion f: T \(\to\) R^n so dass die Menge T homöomorph auf f(T)= M\(\cap\) U abgebildet wird.


Nun zu meiner Frage,aufgrund des Satzes weiß man ja das falls f eine Immersion ist es homöomorph von T nach f(T) ist. Warum schreibt man das denn überhaupt noch in die Definition. Kann man nicht einfach schreiben, das es zu jedem a in M eine offene UmgebungU existiert und ein f von U nach f(U), mit der Bedingung das d überall vollen rang hat? Ich hab irgendwie das gefühl das ich das Thema rund um Mannigfaltigkeiten nicht richtig verstanden hab. mfg


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4389
Aus: Berlin
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-11 02:18

Hallo, willkommen im Forum.

Ein Grund ist zum Beispiel, dass eine Immersion nicht injektiv sein muss.

PS: Bitte schreibe nicht nur einzelne Symbole, sondern sämtliche Formeln in einer LaTeX-Umgebung, damit man sie gut lesen kann. Zum Beispiel $V \to f(V)$.




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Druckdatum: 2020-08-06 20:37