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Thema: Faktorgruppe allgemeine lineare Gruppe GL(n,R)
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SergejGleitman
Junior
Dabei seit: 13.11.2019
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Themenstart: 2019-11-13 20:40

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Gegeben ist die Faktorengruppe $GL(n,\mathbb{R})/GL^+(n, \mathbb{R})$, hierbei ist $GL^+(n, \mathbb{R}) = \{A\in GL(n,\mathbb{R})| det(A)>0\}$.
Ich habe schon verifiziert, dass $GL^+(n, \mathbb{R})$ Normalteiler in $GL(n, \mathbb{R})$ ist.
Nun soll ich die Faktorengruppe beschreiben bzw. eine mir bekannte dazu isomorphe Gruppe nennen.
Ich habe gehört, dass für $n = 2$, $\mathbb{Z}$ und für $n>2$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ in Frage kommen, verstehe allerdings nicht warum.
Grade letzteres würde ja implizieren, dass es nur 2 Repräsentantenklassen gibt, wohingegen ersteres sogar abzählbar viele Repräsentantenklassen impliziert.
(Oder liege ich da falsch?)

Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?  frown


wladimir_1989
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-13 21:07

Hallo Sergej und willkommen auf dem Matheplaneten,

tatsächlich gilt für alle n, dass die Faktorgruppe isomorph zu \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
Zum Beweis: nehme zwei beliebige Elemente, die nicht in \(G^+(n,\mathbb{R})\) liegen. Zeige, dass diese Elemente zur gleichen Nebenklasse gehören.


lg Wladimir



SergejGleitman
Junior
Dabei seit: 13.11.2019
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 22:27

2019-11-13 21:07 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Sergej und willkommen auf dem Matheplaneten,

tatsächlich gilt für alle n, dass die Faktorgruppe isomorph zu \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
Zum Beweis: nehme zwei beliebige Elemente, die nicht in \(G^+(n,\mathbb{R})\) liegen. Zeige, dass diese Elemente zur gleichen Nebenklasse gehören.


lg Wladimir



Vielen Dank für die schnelle Hilfe.

Wenn ich nun $A,B\notin G^+(n,\mathbb{R})$ nehme dann gilt ja $-E_n\cdot (-A) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$ sowie $-E_n\cdot (-B) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$, denn $-A,-B \in G^+(n,\mathbb{R})$, da $det(A)<0>det(B)$.
Jetzt habe zwei Nebenklassen, die disjunkt sind und deren Vereinigung $G(n,\mathbb{R})$ ergibt.
Dann kann ich mir einen Isomorphismus definieren, der anhand der Determinante auf 1 oder 0 abbildet und bin fertig.

Habe ich deine Argumentation richtig verstanden?

Liebe Grüße Sergej


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-13 23:11

Hi,


2019-11-13 22:27 - SergejGleitman in Beitrag No. 2 schreibt:

Wenn ich nun $A,B\notin G^+(n,\mathbb{R})$ nehme dann gilt ja $-E_n\cdot (-A) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$ sowie $-E_n\cdot (-B) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$, denn $-A,-B \in G^+(n,\mathbb{R})$, da $det(A)<0>det(B)$.
Jetzt habe zwei Nebenklassen, die disjunkt sind und deren Vereinigung $G(n,\mathbb{R})$ ergibt.
Dann kann ich mir einen Isomorphismus definieren, der anhand der Determinante auf 1 oder 0 abbildet und bin fertig.

Habe ich deine Argumentation richtig verstanden?

Liebe Grüße Sergej

leider verstehe ich nicht so wirklich, was du machst. Im Übrigen gilt
\[\text{det}(-A)=(-1)^n\text{det}(A)\],
die Determinante von -A ist also nicht unbedingt positiv. Ich wollte eigentlich auf Folgendes hinaus: seien \(A, B\) gegeben mit det(A)<0 und det(B)<0, dann gilt \(\text{det}(AB^{-1})>0\) und damit liegen A und B in der selben Nebenklasse. Der Isomorphismus ist richtig, das ist hier aber im Prinzip nicht nötig, da es sowieso bis auf Isomorphie nur eine Gruppe mit 2 Elementen gibt.


lg Wladimir


SergejGleitman
Junior
Dabei seit: 13.11.2019
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 23:27

2019-11-13 23:11 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hi,

leider verstehe ich nicht so wirklich, was du machst. Im Übrigen gilt
\[\text{det}(-A)=(-1)^n\text{det}(A)\],
die Determinante von -A ist also nicht unbedingt positiv. Ich wollte eigentlich auf Folgendes hinaus: seien \(A, B\) gegeben mit det(A)<0 und det(B)<0, dann gilt \(\text{det}(AB^{-1})>0\) und damit liegen A und B in der selben Nebenklasse. Der Isomorphismus ist richtig, das ist hier aber im Prinzip nicht nötig, da es sowieso bis auf Isomorphie nur eine Gruppe mit 2 Elementen gibt.


lg Wladimir

Okay, das hat mir geholfen. Aber warum weiß ich, dass A und B in der selben Nebenklasse liegen, wenn \(\text{det}(AB^{-1})>0\) gilt?

LG Serj


Triceratops
Aktiv
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-13 23:31

$\det : \mathrm{GL}(n,\IR) \to \IR^{\times}$ ist ein surjektiver Homomorphismus in eine abelsche Gruppe mit $\det^{-1}(\IR^+) = \mathrm{GL}^+(n,\IR)$. Daraus folgt (ohne weitere Rechnung), dass $\mathrm{GL}^+(n,\IR)$ ein Normalteiler mit $\mathrm{GL}(n,\IR) / \mathrm{GL}^+(n,\IR) \cong \IR^{\times}/ \IR^{+}$ ist. Darüber hinaus ist natürlich $\IR^{\times} / \IR^{+} \cong \{\pm 1\}$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
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Aus: Freiburg
Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-14 00:33

Hallo


Okay, das hat mir geholfen. Aber warum weiß ich, dass A und B in der selben Nebenklasse liegen, wenn \(\text{det}(AB^{-1})>0\) gilt?

LG Serj

Die Äquivalenzrelation zu \(G/H\) ist ja gerade so definiert, dass \(a \sim b\), falls \(ab^{-1} \in H\) oder \(Ha=Hb\). Wegen det\((AB^{-1})>0\) haben wir aber gerade \(AB^{-1} \in GL^+(n,\mathbb{R})\).

lg Wladimir


SergejGleitman
Junior
Dabei seit: 13.11.2019
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 08:06

2019-11-14 00:33 - wladimir_1989 in Beitrag No. 6 schreibt:

Die Äquivalenzrelation zu \(G/H\) ist ja gerade so definiert, dass \(a \sim b\), falls \(ab^{-1} \in H\) oder \(aH=bH\).  

Alles klar, das ist natürlich smart. Vielen lieben Dank!

LG Serj




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Druckdatum: 2020-01-26 21:11